Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Воспользуемся равенством (8.19 ) и сделаем замену переменной Ц соз 9. Тогда из условий (8.17), (6.18) мы получим известную краевую задачу ~2 у И (1- ф) — — 2~ — + ч(ч+1) — — з 0; И~2 4~ 1-~' В~ И~ — а и в в . Кроме того, при 9=0 функция ~ должна быть ограниченной. Решением этой задачи являются присоединенные сферические функции и 8- Р (соз 9), ч, номера которых совпадают с корнями уравнения ИР"(сои в) =а при 9- 9,.
д(сои 9) Таким образом, решении краевой задачи (8.12)-(8.14) имеют вид: 2ч +1 ()1~ (,+1) У ч (соз в, ч+ 3 (ч +1)П + (6.22) 2ч,+1 ч, (ч, +1)(1-Ь ) 2ч,+1 И(ч,+1)Ь ' + ч,1 Систему функции (6.22) можно выбрать в качестве системы координатных функций. ПРимечание. Если угол ео мал, так что можно положить совео= = 1-0(ей), где и — амплитуда волны, то формулы (9.22) дают решение задачи о свободных колебаниях жидкости в конусе. -137- функций О, удовлетворяюших условию (6.12 ) и второму из условий (8.18). Для построения системы координатных функций к этим условиям следует добавить условие И/дг= ойдо при 1' 1.
Решение сформулированной краевой задачи имеет вид п Ц =1' Рч (сои 8), са ч . (6.25) и= ч, Решение вариационной задачи (8,11 ) и в этом случае ишется в виде (8.23), где функции 0 вычисляются по формулам (8.25). Условия минимума дают систему (8.27), коэффициенты которой вычисляются по формулам, аналогичным (8,24). У Результаты вычислений первой собственной частоты Х одноузловых колебаний (Н Ц показаны на рис. 38, где приведена зависимость Х от угла 86. Там же точками даны результаты экспериментов 1201 .
Л„юга У.а О ю 20,ю Фу я7 дР яу ж ж Ряб. 38 ПрИМЕЧаНИЕ. Если вспомнить результаты решении задачи о свободных колебаниих жидкости в наклонном пилиндре, приведенные в предыдушем параграфе, то можно утверждать, что аналогичным образом следует решать задачу о колебаниих жидкости в наклонных конусах. В качестве координатных функпий надо брать систему функпий, определенных соответственно формулами (6.22) и 16.25).
— 139— ~ 3. Задача о колебаниях жидкости в сферическом сосуде' ) Рассмотрим задачу о колебаниях жидкости в сфере радиуса Й. С пентром сферы свяжем систему координат ох'у'х', ось х' которой направлена в сторону, противоположную вектору ц . Глубину жидкости )1 будем отсчитывать, как показано на рис.ЗО. Перейдем к безразмерным переменным х- х'/й1 у-у'/й; х-х'/й и введем сферические координаты 1', 9, ~1 по формулам Рис. 39 Х =1'в1п есоа т~; у= 1'э1п еа1п~; Х=1'соа 9. В этих переменных задача о колебаниях жидкости сво- дится к краевой задаче: (6.26) ЬФ О в области т; 1)Ф О д1 при 1'=1; (6.27) дФ вЂ” ХФ при Х=)1 — 1, (6.28) ах Г(Ф)=Г( ) 4 -) Х 'а. (6.29) т Я Будем разыскивать минимум функционала (6.29) в, классе гармонических функций. Тогда, применяя формулу Грина, этот функционал можно преобразовать к' виду г(Ф)= .Г Ф 4~ ) ГФ 4~ ди 5+2 В работе И.Б.Богорида [211 так же, как и в работе Л.В.йокучаева [181, вводитси потенциал смешений.
Здесь будет использоватьси потеипиал скорости (см. примечание иа стр. 1ЗЗ). — 140- где Х=а~й/ц — собственное значение задачи, а л — безразмерная глубина жидкости )1 =5 '/Й. Краевая задача (6.26)-(6.28) имеет эквивалентную . вариационную формулировку: найти минимум функционала Р(Ф) ~Ф вЂ” Ж+ ~Ф МБ-Х~Ф Ы5. дФ дФ 2 5 дз Е дГ Я Уравнение свободной поверхности 5 имеет вид Гсов Е Ь вЂ” 1.
Нетрудно показать, что на свободной поверхности 5 дФ дФ дФ е1ав д4 дФ 81п81 — сов 8 — — — сов  — — — — ~ сои В А~Ф, дй дГ де Г дГ де Ь-1/ (6.30) 3 ~~(Г,В,тайм (И-1) 3 д~,l ~ — Ие> если Ь-1<Ор соэЗе 2 э1а8 ~ ~ (Г,в,ч)~5 (В-1) ~ И~) )" 1 '~ Ие, если И-1>О. На поверхности Е ~ ~ 8$ - ~ д~) ~ ~ а1п е де, о в, где е о агссоа (Ь - 1). Учитываи все эти формулы, фунхпионал (8.30) можно выписать следуюшим образом: 2 Р(Ф) - (Ь-1)' Г И ) 1 Ф,А,Ф вЂ” '-,— Ие+ сов е й е + ~ И ) / Ф ~ — а(ПМв-х(й-Ц ~ И~ ~ Ф вЂ” Ив. (6.31) дФ о е. 'дГе сов е В етой формуле Ео при и 1<03 8 при Ь-1< 0; 0 при л-1>О, ео при Ь 1> О Ф~ означает, что в выражении для Ф надо положить аФЕозначает, что Г =1.
Решение задачи должно быть периодическим ременной ~) . Отсюда и из вида фуикпионала (6.31 и-1 Г зв сов е по пе ) сле- -141- дует, что решение экстремальной задачи можно искать в виде а ц(1', 8) . ич, и О, 1,2, .... (6.32) а(п Подставляя это выражение в функционал (6.31), получим окончательно, что задача о собственных колебаниях жидкости в сфере может быть сведена к вариационнойзадаче для функционала 8~ 77, г(0) - (Ь-1) 3' 0~А~Ц вЂ” "" ае+ 1 Ц ~~ а1пЕИЕ- т (и) Ц - е а„1'"Р„(созе).
т 1 (6.34) Как было показано в пятой главе, в результате получается система однородных алгебраических уравнений (5.27), коэффициенты которой в данном случае имеют вид: 2 8 81п е ° 76 ~дц„ р (Ь-1) 3' ц А ц — НЕ+ ~ 0 ( — т в1педЕ; тй е ~~ ~ 28 ~ф~ д 1 о е = ®-') ~ "й "т — 3 ясов 8 1 -142- е, — х()1-1)2 у и' "'е ~е (6.33) е, 5 Зе в классе функций, удовлетворяющих условиям (6.26), (6.32 ) . Отсюда следует, что спектр задачи двукратный: каждому собственному значению соответствуют две собственные функции, одна из которых содержит множитель соя И7~, а другая - в(пй71.
Исключение составляет случай И =О, ког- да собственные значения простые. Этому собственному значению соответствуют осесимметричные формы колеба- ний жидкости. Решение вариационной задачи (6.33) строится мето- дом Ритца. В качестве координатных функций можно взять систему частных решений уравнения Лапласа 0 - 1' Р (сов е) в=1,2,..., где Р (соа 8) — присоединенные функции Лежандра сте- пени Ю, и искать минимизирующую функцию Ц в виде И т,к ~з и У,1 ~о 3 ф Х б' 7 8 Рис.
40 Ф2 41 4Ю ао га М ~Ф гю гз до 4 Решение этой системы может быть получено с помощью электронной вычислительной машины. Приведем результаты вычисления одноузловых колебаний жидкости ( И =1). На рис.40 показана зависимость первого собственного значения Х1 от порядка приближения Я при л О„20 (сплошная линия) и при В =1,5 (штриховая линия). Этн графики иллюстрируют быстроту сходимости метода Ритца. Зависимость первого собственного значения Х от глубины жидкости Ь приведена на рис.41. Там же точками показаны результаты экспериментальных измерений Х Рио. 42 На рис. 42 дана форма главного одноузлового колебания при Ь =1,5.
~ 4. Колебания жидкости в объеме, ограниченном двумя горизонтальными коаксиальными цилиндрами (221 Рассмотрим задачу о колебаниях жидкости в объеме т, ограниченном двумя горизонтальными коаксиальными пилиндрами радиусов Й1 ЯХ К1+5 и длины ! . Введем сис тему координат ОХ' у'Х', ось которой Х' направлена по оси — 144— цилиндров, а плоскость у'Х' совпадает с одним из торцов сосуда. Ось Х' направим вертикально вверх против направлении вектора 8 . Глубину жидкости Ь' будем отсчитывать от плоскости Х'у'.
Таким образом,й') О, если е сосуд заполнен более чем наполовину, и 1 <О, если жидкость заполняет менее половины сосуда (рис.43) . Рис. 43 Введем цилиндрические координаты Й, ~ Х Х Х > у = ЙВ1пд; Х - "— ЙсоВ8 и перейдем к безразмерным переменным Ц, Х,Х по формулам ~= г-г,; з-г,в; х- х'/1, (6.35) в области т; при ~-0,~ 1; дФ вЂ” =О дф (6.36) — О дФ дХ при Х=О,Х ); (6.37) дФ вЂ” Хф ди при Х= Ь, (6.33) где г=Й/6, 9 д/до, а д, - агссов(-Ь/г ) при Ь>0 и д0 агссов (-Ч(г1+ 1) ) при Ь < О. В этих переменных задача о колебаниях жидкости в объеме т сводится к следуюшей краевой задаче: д'Х, 1 дХ ~~ 1 д'Х (мявом ,Ц~~ ' т1+ Ц дЦ'~2 (~ +~)2 д22 ~ 3 / Х= о 1' дх дЦ вЂ” 0 при ~ О, ~ 1; в области Ь0, (6.43) (6.44) дХ вЂ” - 0 при й-0; дз (6.46) дХ вЂ” с0Х при З-Г д2 1 1 (6.46) где ш — собственное значение этой задачи.
Область ло по казана на рис.44. Решение этой задачи будем искать в виде Х аИ) Р(8). Из условий (6.43)-(6.46) следует, что функпия сс(Ц) и Р(3 ) должны быть решениями краевых задач: 4~ др — — М р О, — -0 при 2-0, — -ыр при (6.47) 022 ' и'2 йй 1' 2 2 И и 1 1Ь ~2~1 1 Й~ "1+~ Й~ д2 (Г, + ~)2 (6.48) на Π— -О при е-О и ф=). (6.49) д~ Решение краевой задачи (6.47) имеет вид: р -; к-ййВг, сЬЬ сЪ Ь3' 1У где число )1 пока не определено.
Уравнение (6.48) заменой переменных можно привести к уравнению Бесселя, решениам которого будут Функции -147- (6.60) Каждому значению В в функционале (6.42) соответствует своя форма продольных колебаний жидкости.Так, И =1 соответствует форма колебаний, у которых по длине сосуда укладывается одна полуволна, й =2 - форма колебаний, у которых укладываетси две полуволны и т.д. Вариапианную задачу (6.42) будем решать методом Ритпа. Для реализапии метода Ритпа необходимо построить полную систему координатных функций (Х ). Йля построении системы функции Х рассмотрим следуюшую вспомогательную краевую задачу: Бесселя мнимого порядка и мнимого аргумента.
Однако, так как мы строим систему координатных функций для численного решения вариапионной задачи, то достаточно найти приближенное, но более простое и удобное для численных расчетов решение задачи (8.48),(8.40). ! Йля построения такого решения воспользуемся следующими соображениями. Заметим, что прн Р1- краевая задача (8.48), (8.49 ) принимает вид: ~2 ~2 Иа — 0 при ~ 0~ 1, д~ и при малых 6 имеет рещение и„сов р.„Ц (6Л1) Рна. 44 где д б 2 Из последнего равенства находим, что ил 7 о ~ = 0,1,....
(6.62) Физический смысл решения (8.51), (8.52) совершенно ясен. При больщях значениях радиуса внутреннего цилиндра Р кривизна стенки мала. Все движение происхо- 1 дит в слое порядка длины волны, т.е. порядка б, и движение в пределе при т ~. происходит, как в бесконечно глубоком колодае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
