Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Это движение описывается решением вида (8.51 ), (8.52 ) . Предположим на время, что сосуд таков, что й велико, а 5/1 мало, т.е. сосуд имеет большую длину и радиус внутреннего Пилиндра по сравнению с шириной О. Физически ясно, что в этом случае длина волны в направлении оси пилиндра будет велика по сравнению с длиной волны в поперечном направлении. Поэтому при небольших значениях И число Г Й/д можно считать большим по срав- 1 нению с числом Лмб/1 . В силу сказанного уравнение (8.48) Ь +С у (~)в1п )" — д~ 2 2 2п О где С и С " произвольные постоянные, а у1 (Ц) и у2 (~) линейно независимые решения уравнения 2 2 — + ~ а (~)у-О, «~2 описываюшего колебательное движение.
Применим эту формулу для построения решения уравнения (8.48) и получим сс- А сов(в(~)3+ В в1п0и(Ц)3 ~ где в(~) 1.11п 1+ — — — ~- — ~ . (6ДЭ) Г д 1 „~б12 2т1В+ Ц ~о ~1 ~1Г 1 ~ 4 Из граничных условий (8.40) следует, что В=О, а (6Л4) 2~,1 1+ — ' Заметим, что при т1. и малых б/! из формул (8.83). (8.64) следует, что 1 ~О ЬВ Ь'12 в(~) 0 2~ч~1~ ч7<+ О можно считать уравнением с большим параметром у Г 1/~~, что позволяет использовать методы асимптотического интегрирования. В ранее опубликованной работе (233 рассмотрено уравнение — +у' а'(~)+ ' у-0, где у — большой параметр, а функпия Ь(у,Ц) ограничена прн у и 0< ~< ~о.
В этой работе показано, что с точностью до членов порядка 1~у решение этого уравнения можно представить в виде Ь у=С у (~)сов ~ — И~ Эти выражения в точности совпадают с формулами (6.И ), (8.52) . Таким образом, с точностью до членов порипка д /1' В, решение краевой задачи (8.43)-(8.48) имеет вид: сЬМ Я - соя[и(ц)1 — ' ч ч сД1 муйу1ЬЬу(1$7 ~0$1ф ° ° Фф где функции В„(~) и числа й„определяются по формулам (8.53) и (6.54). При м е ч К и и е.
При Й =О выражении (6.66) дают приближенное решение задачи о колебаниик жидкости в области т, которое тем точнее, чем больше отношение 1/й Систему функций (6.55) можно взять в качестве системы координатных функций при решении вариационной задачи (6.42) методом Ритца, положив (6.55) Ю Е И Х ч' ~=О (6.56) Процедура метода Ритпа, описанная в пятой главе, приводит нас к системе однородных алгебраических уравнений (5.27), коэффициенты которой вычисляются по формулам: 1 Ц) дх„дх. 1 1 4Ц '(Ц)дХ„дХ Рлт .( 1 ~) ~ ~ 2 ~ -( ~+ дЦ дЦ Ф2 Г Ц д6 дЗ О О (П 62' 8 (Ц) + ( — Г(~1+ ~)(1В Г Х Х 11 О Т вЂ” (1~, =О, 3,....
О О Эту систему использовали для расчетов, которые проводили с помошью машины. В результате расчетов пол~- чена зависимость собственных значений задачи от параметров Г1, и и 1/6 . Эти зависимости показаны на рис.45-47. Во всех расчетах принималось И =1. Зависимость коэффициентов разложения ( 6. 56 ) п~ и собственных значений Х от номера приближения г( показа- У на на рис,48 и отражена в табл.4 при разных значениях параметров задачи (1/6 = 5) . Эти результаты показывают, -10 ао а2 о аг ОЕ /о ~Ф Рб' Ь -Ю-М г,о гг ав ав а2 Ф,о 20 го ю что при ~Й~ < 1' решение быстро сходится. Как и следовало ожидать, сходимость ухудшается, если !Ь,>Г Таблица 4 (Ф (~~~к/ ~~~у Я~ а В табл. б приведена матрица, составленная из собственных векторов системы ( 5. 27) при У = 1,5; ~3 =-О,З; !/6 =б; ч — номер коэФФициента в сумме (О.об); л — номер собственной функции.
Матрица имеет следуюшую характерную особенность: среди коэФфипиентов й иаиботпг" шую величину имеет тот, чей номер совпадает с номером собственной Функпии. Таблица 5 5 5. Колебания жидкости в цилиндрическом сосуде, ось которого горизонтальна ~241 Рассмотрим колебании жидкости в сосуде, который имеет Форму кругового цилиндра, ось которого перпендикулярна направлению вектора ~, Обозначим радиус основании пилиндра через И, а длину пилиндра — через Введем декартову систему координат ОХ*У Е*, ось Х которой совпадает с осью цилиндра, плоскость у'З' совпадает с одной из торцовых поверхностей сосуда, причем Риа. 49 ось Х' направлена против вектора й .
Глубину жидкости будем отсчитывать от плоскости Х'у" (рис.48). П ерейдем к безразмерным переменным Х, у, Х по формулам х- х'/1; у- у' и; х- х'/и*, где 3 й, если Й >О, и д И2 — Ь', если Ь <О. В этих переменных задача о свободных колебаниях жидкости сводится к следующей краевой задаче: с ф2 д2 -) — +Ь ~Ф 0 в области т; дХ (6А7) — 0 дФ дХ при «-О, х-1; (6. 56) — 0 аФ дт ЗФ вЂ” ХФ дХ (6.59) "о прил Й, (6.62) .2 /2щ+1 ~2 (Их4~2 — 7~ + — ~ х йх (Ь+т ) вщ ~ 2 ~ ~ ~ / ' ит ит пт И,ЗИ-0.1.2,....
-134- здесь Х о д/1 — собственное значение задачи; й Х2+у2; 2 2 И И'/Н - безразмерная глубина жидиости, а Г, - 1(/и — безразмерный радиус цилиндра. Краеваи задача (8.67)-(8.80) эквивалентна вариапионной задаче об отыскании минимума функционала Р(Ф) - ~( Ф)21т-ХУФ2 ~Я (6.61) т Я Как обычно, воспользуемся методом Ритпа. Систему координатных функций построим, воспользовавшись способом, который был описан в 8 3 пятой главы. Для этого погрузим сосуд в параллелепипед, длина которого 1, высота Я+и', а ширина 2И.
В качестве системы координатных функций возьмем систему функций, которан описывает собственные колебания жидкости в этом параллелепипеде. В 62 третьей главы показано, что эти функции имеют вид: 1 сЬ х (2+ГО) ф ~ соз И'хХ сов Йтф Х„ сЬ х„~ (В+т ) 2 х ~ (Вя) + К х ~~В х «1+1 д) И и1 ви вв И,а 0,1,2,... р 1 2ф+1 сЬ хд~х(3+3'9) — сов И хХ в1п > пт Я сЬ хдщ (л+ГО) где в подынтегральной функции надо положить Х -л. Рассмотрим подробнее структуру выражений (8.86).
Каждая функция с первым индексом И содержит множителем сози~Х. Поэтому в выражениях (6.85) при интегрировании по Х от О до 1 отличный от нули результат будет лишь в том случае, если И з . Это означает, что система (6.84) распадается на 11 независимых систем, которые соответствуют И = 0,1, ..., М. Решение системы, соответствующей И ИО, описывает форму колебаний вида Ф ц(У,Х) созИОих, у которой вдоль оси Х укладывается ИО полуволи. Поэтому далее у всех коэффициентов (6.68) будем писать только один нижний индекс Й, Далее, нетрудно показать, что функции (Т„)~3~ /дИ и ~„,д~р„ /дИ четны по переменной В, а функции у„,ду ~'дИ нечетны по 6. Соответственно, функции ~Т пт иМ ' ит пМ четны, а у у )~ нечетны по переменной 8.
Отсюда сле- вт вв дует, что сс(„т) = О и ~~ = О, и при каждом И система (вт) (вт) (8.84) снова распадается на две независимые системы: (вт) )~ (пт) Е р д~ -Х Е ц, дТ, =О, й 01,...; (666) й О й О Е Р ()„~ -) Е я ' Ь = О, В=О 1,..., (6 67) А=О А=О коэффициенты которых вычисляются по формулам: 8 (пт) (ит) ° с~~пвТО (1 сов 8) р ~ ~ ~ + Т ) созе'вТО з~пВ) х с)1к ~ (И + ТО) век, ТО(1-сов 6) соз(й тсТ з1п 8) созВ-Мвз1п(ФвТОз1п 6) х сЬхп (В+ ТО ) св хвтГО ( 1 — с068) з(пВ д8; Ь вт(и+ТО) 1 ц = б ), — ) сов и(ву созе'вуду (вт) в(п 6 0 1-е(в ВО в(п(2%7~ в1в ВО) 2 4)И тс ЕТП-и) й ВОЗ 9( Ей+и) Ы ВО) + М~)И; 2(И(-Ь) ~ 2()П+Й) в Таблица 6 й -0,6 ч=З прибл.
точи. прибл. точи. прибл. прибл. точи. точи. -0,050 О О, 0944 1,0200 0,0859 0„0406 -0,0255 1, 0000 — 0,1110 -0,0498 0,0254 0,0155 -0,0106 1,0200 0,0134 0,0101 -0,0075 -0,0056 О, 0044 1,0184 0,0138 0,0106 -0,0080 -0,0061 0,0049 -0,0444 0,0741 1,0130 0,0899 0,0430 -0„0281 0,980 9 -0,1632 -0,0849 0,0482 0,0321 -0,0231 0,048 -0,290 -0,2221 -0,1195 0,0770 0,0498 -0,2269 1,0000 -0,2636 -О,П83 0,0760 — 157— Во (лщ) (лщ), 2~+ 1, сЬхл~ ГО (1 — сое В) р — ~„а +1' )" в1п — т~)зтВ х ' О 2 ' с) „(Ь+т0) /2щ+1 1епхпш)'О (1-сов В) 2ИЗ+1 х -х И вЂ” ~ГОЕВ созВ+ — ~ х 0) /2Щ+1 . 1спхлщ$'О (1-сов В) .
х сов~ — тсГОз1п В~ в1пВ ИВ; (~ "о) - (лт) 1 = б — ~ з1п — я)1в1п — ~УМУ 2й+1 ° 21+1 й т~, 2 2 91п 0 1- ьа вы[(ив~1) е1пе 1 2 2(2В+1) ~с 91п((В 1) 7~ в1п ВО 1 эи1 ((й+1$+ 1)~~ з1п ВО 1 1 ~)й. 2(щ -В)л 2(В+В+1) ~ Решения системы (6.66) описывают формы колебаний, симметричные относительно плоскости У = О, а решения системы (8.67) — несимметричные относительно плоскости У =0 формы колебаний. Эти системы решались на электронной вычислительной машине, Результаты расчетов показаны на рис. 50 и 51.
На рис.50 приведены графики зависимости безразмерных собственных частот колебаний жидкости Х=о2Й~Д от глубины жидкости Ь при П = 0 (сплошные кривые 1 ) и при Ю =1, 1/Й =1 (сплошные кривые 3). В 6 5 пятой главы был описан приближенный метод расчета собственных колебаний жидкости. На рис.50 штриховыми линиями показаны результаты расчетов собственных частот по формулам (5.52)-(5.54). В табл.6 приведены типичные значения коэффициентов ряда (8.83) ()„~, полученные эскалаторным методом на машине и по формуле (5.53), при разных значениях параметров задачи ( ~ номер собственной функции; й - номер коэффициента 6„,„ ряда (6.63); и =О).
-оо -оо -оо -аг о о,г ао дю ов А го Из сравнении всех этих данных видно, что приближенный метод может быть с успехом применен дли оценки собственных колебаний жидкости в сосудах. Зависимость собственных частот от относительной длины сосуда 1/Й при и =1 и 11 =-0,8 (сплошные кривые) и Н =0,2 (штриховые кривые)показаны на рис.51. ~ 6. Колебания жидкости в цилиндрических сосудах со сферическим дном и крышкой [243 Пусть жидкость занимает часть кругового цилиндра, ось которого параллельна направлению вектора а, а дно и крышка имеют форму части сферы. Введем систему координат ОХ'у'Х', плоскость Х'у' которой совпадает с плоскостью свободной поверхности жидкости, а ось х' нап- -Ф равлена против вектора й.
Обозначим через Й радиус цилиндра, через  — глубину жидкости, через Й,— радиус крышки и через 1 - радиус свободной поверхности (рис.52). Рва. И Перейдем к безразмерным переменным Ю м /Й1 У ' У /Й' 1 7 /Й и введем цилиндрические координаты Г, Е, к по формулам Х-Гсоив; у-1'в1па; а- Х. Главные формы и безразмерные собственные частоты свободных колебаний жидкости в рассматриваемых сосу- дах совпадают с собственными функциями и собственными значениями следуюшей краевой задачи: (6.68) йФ О в области т; дФ вЂ” ХФ дй (6.69) при 2 - 0; дФ вЂ” =О при 1'-1; де (6.70) дФ вЂ” 0 дн на поверхности Е (6.71) Ф Через Е здесь обозначена смоченная часть поверхности дна и крышки цилиндра, через Х о2Й/Я вЂ” безразмерная собственная частота колебаний жидкости.
Краевая задача (6.68)-(6.71 ) имеет эквивалентную вариационную формулировку: найти минимум функционала сЬ х (Л+ 11) 1(х 1') с иив, и 0,1,...; в=1,2,... в пт с хищ свахи,в(Х+ 8) ,1 (х г) "~ ание, н,а-0,1,... и с хпи 1 Ф ва птв 1 Ф вт тв (6.73) х Йх )1, И -1- — ~( ), 2 в П2 2 тв 2 в вт' вв где ~„(х„~г) функции Бесселя 1 рода, а числа х„- корни уравнения ~ (х) О,а Ь. Ь'/Й- безразмерная глубина жидкости. Аналогично тому, как это делалось в 62,3, можно по казать, что спектр рассматриваемой задачи двукратный: каждому собственному значению (за исключением случая — 160- 1'(Ф) У(~Ф) йт-1~УФ ~5. (6.72) т 5 Решение задачи (6.72) будем строить методом Рнтца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
