Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Тогда легко убедиться, что 1 несущественным множителем отличается от ~рункционала Р(~) -1(Ньч) — (ьч), (б.67) где Х- о /д. 2 В приложении ко второй главе было показано, что Н вполне непрерывный самосопряженный оператор. Согласно общей теории ( см., например, книгу С„Г. Михлнна ~31) задача о собственных значениях такого оператора эквивалентна вариационной задаче для функционала (5.67) и ее решение можно найти методом Ритца, который при этих условиях сходится. 4. Эсхалаиорный меяод длл численного рваенил сисаехы (5.27) Применение метода Ритца сводит задачу о колебаниях жидкости в сосуде к решению системы линейных однородных алгебраических уравнений (5.27) .
Если ввести мати ы ц М Ф Р- !!р„„!!„„,; 0- !!а„„!!„„, и вектор х (а, ...,а ), то систему (5.27) можно заменить матричным уравнением Рх - х0х. (б.68) Так как задача самосопряженная, а квадратичные формы (кинетическая и потенциальная энергия) Т= ~(Рх,х)-2 з р„„а„а„; л„в 1 п--(Ях,х)-- е а а а 1 -в -+ 1 2 вя и т л,ж .1 положительно определенные, очевидно, что матрицы Р и () являются симметричными, положительно определенными.
При отработке численной схемы расчета собственных частот и форм свободных колебаний был разработан специальный вариант эскалаторного метода, который позволяет последовательно уточнять искомые значения. В простейшем случае, когда матрица (1 единичная и корни уравнения (5.88) простые, этот метод изложен в различных руководствах (см., например, [171). Ниже приводится мо- -121- дификация эскалаторного метода для случая, когда () произвольная симметричная положительно определенная матрица. Идея эскалаторного метода заключается в следующем, Рассмотрим уравнение Рй2- ЛЯ,Х, (6.69) (5.76) Собственное значение этого уравнения обозначим через Л. Через Х (~+1) обозначим И-мерный вектор, который вместе с элементом У образует соответствующий собственный вектор уравнении (5.70). Кроме того, будем всегда считать, что где б,, - символ Кронеккера.
Аналогично тому, как это делается в книге Д.К.Фаддеева и В.Н.Фаддеевой 117], можно вывести эскалаторное уравнение й А, (Л) (й)~ Е (Л) - -а+Л Р+ Е -О; И+1 г-1 Г (5.7Ц А, (Л) (Р -Лд,Х, ) И) -е -е е(й) Матрицы Р11 и Яй составлены из й первых элементов й первых строк матриц Р и Я. Предположим, что решение 'этого уравнения известно.
Обозначим через Л его соб- (В) г ственные значения, а через Х( ) — собственные векторы соответствующие этим собственным значениям, Далее составим матрицу Р11+1 ~ добавив к матрице Р первые Й элементов Й+ 1-й строки и И+ 1-го столбца и элемент ~ 1 а, стоящий на диагонали. Эту опера+ + цию назовем окаймлением матрицы Р . Строку (столбец) из Н элементов, который мы приписали к матрице, обозначим через Р . Точно так же окаймнм матрицу Я с помощью строки (столбца) ф и элемента ф, стоящего на диагонали.
Рассмотрим уравнение Р„„'- Л~„„Х. и формулы для вычисления собственных векторов Х(й+1) й А," (Л)„,(„) 1Л( )-Л Г (5.72) А(М)2 (,) -р Е у г 1 (Л(Л) Л)г г (к) Аг Я) — 2Е (ц х ) ' +Ф. (5 73) г 1 Л(® Л г (Я) (м) Я (й) цц й А (Л ) - Е (Л +Л)((у,Х )+ Е О; (5.74) .-1 Л(й) -Л г (и+ 1) 1( А (Л ) Н -Е " Х вЂ” Е (ЮХ ) ° (575) Л - Л 1 )( Аг (Л ) " и) 2 (М) (И) — Š— Е (Я1 ) +ф.
г 1( (Я) )2 го 1 (5.76) Исходя из максимальных свойств собственных значений (см., например, «1, гл.1,64)), нетрудно показать, что собственные значения уравнения (5.69) и уравнения (5.70) перемежаются: Л(®+1) Р) Л(й+1) Л(н) < Л(л) < Л("+ 1 — 1 — 2 2 — и — и+1 .<Л <Л <Л <е„.<Л <Л г (5.77) Рассмотрим некоторые особые случаи, которые могут встречаться при расчетах. А. ,Иопустнм, что величина ~А (Л„ )~ при )' )'О мала. (Я) (Я) Выделим в формуле (5.74) слагаемое последней суммы с индексом Го, оставшуюся часть эскалаторной функпин Ей «(Л) обозначим через Г1(+1(Л) и положим А (Л ) у ю + е -«гз- Формулы (6.71 ) - (6.73) позволяют находить решение системы (6.70), если известно решение системы (5.% ) .
При Й = 2 уравнение (5.69 ) эквивалентно квадратному уравнению и решается по известным формулам, Иногда бывает удобнее формулы (5.71)-(6.73) использовать в виде + ~(Я) -+ +(Я) Е (Л) -а+Л~+ 2Е (Р, х )(д, х„)— 1 к Х(я) г, . При- Очевидно, чем меньше величина ~ ч ~, тем ближе лежит один из нулей эскалаторной функции Х( + ближенное соотношение (Я ) (Я+1) о можно уточнить далее: р' ( (я)) (Я) (Я+1) Я~1 «О 2 Х м + 3 +еее ° Здесь штрих означает дифференцирование по Х. Однако, если ~ у~ меньше выбранной точности расчетов, то можно положить Х(я+ = Х(я) .
При этом с точностью (я)2 о до величин порядка А ( Х(Я) ) выполняются равенства «о «о А" (Х ) «о «о (я+1) х(я) е ( (я))х(я) е ««х(я) ~(я) ( (я) ) «~«, Б. Если уравнение (5.88) имело корень кратности ч, например, Х(1я) = Х(2я) = ... = Х(я), то уравнение (5.70) должч но иметь корень кратности, по крайней мере, (ч -1), т.е. (Я+1) (Я+1) (Я+1) 2 3 '" ч что следует из неравенств (5.77). Неравенства Х < (Я+1) < Х1, Х < Х 1 показывают, что кратность этого корня (Я ) (Я) (Я+ 1) ч — ч+1 может повыситься до ч и, наконец, до ч+1, если данные неравенства заменяются равенствами. Таким образом, при переходе от уравнения (5,89) к уравнению (5.70) крат- ность корня может либо уменьшаться на единицу, либо остаться прежней, либо увеличиться на единицу.
1:(ругих случаев быть не может. Рассмотрим подробнее случай, когда кратность кор- ня уменьшается на единицу. Собственному значению Х(Я+1) кратности (ч — 1) мы должны поставить в соответст- вие (ч-1) собственных векторов. Предположим, что все — 124- А„(Х ) Ф О, 1'=1,2,..., ~. Ищем Х в виде линейной (В) (М) "(В+1) комбинации Х(" ), причем, положим у =О, 8 1,2, ...,Г+1.
- (Я+У .+(В) . И) (В) Х Х1 +121Х2 +» ° «+1 Х У Г 1«2« ° ««У ( ~~ 1) ° Коэффициенты 1„находим из условия ортогональиости вектора Х(~+1) к уже построенным Х + (где й< 1 ) по матрице Ц„ и из выполнения условия Эти условия дают нам систему уравнений ( ) 1 1 В, =О 1Х1 + 11 «'1 . (Я+1) ~Я+1) (Х ФХ2 ) 1+1211 1 +1221 2 О« ° ° ° ° « ° ° ° ° ° ° ° ° ° (Р-Х(') ~У,Х(~+1) ) -А(",)(~(,"')+С,А'2" (~Х",) +-.+1 А~~~ ((") Пусть теперь часть А(~) ()~1)) равна нулю. Тогда соответствующие Х(~1+1) полагаем равными Х„( ~), остальные строим указанным выше образом Но применяя этот метод в случае равенства нулю всех А (Х( ) ), мы сможем построить для («~-1) — кратного собственного значения уже не (н-1), а «~ линейно-независимых собственных векторов, что невозможно, Однако можно доказать следующее утверждение: равенство нулю всех. А„(.. ), )л=),2,..., ~, А(н) «(к) достигается тогда и только тогда, когда кратность корня А(~+1) уравнения (5.70) равна кратности корня 'д)1) урав- 1 нения (5.69) или превышает ее.
Доказательство этого утверждения громоздко, и мы не приводим его. Таким образом, если кратность корня сохранилась, то каждому из корнеи ), ).,й 1,2,.-,~, (В+1) И) Ш ° « поставим в соответствие вектор Х( +, полагая Х( + -Ф =Х(®, у-О. Решая эскалаторное уравнение, мы можем пог лучить еше один корень, равный А(1, и из формул типа (5.72), (5.73) — соответствующий ему собственный вектор. Кратность корня таким образом повысится до («~+1). Систематизируя все сказанное, можно указать следующий порядок решения эскалаторного уравнения Г~ (Х) О. В первую очередь вычисляем А(л) ( (В) ) 2 -125- и на основании близости (или равенства) их нулю делаем выводы о близости (соответственно, о совпадении) нулей эскалаторной функции и ее полюсов. Йалее, разбиваем по- лубесконечный интервал ~0, ° ) на И+1 интервалов точками (Х1, ..., Х„1.
допустим, что одна из гочек, в которой (В) (Н) ~ у ~ мала (или равна нулю), лежит между точками, в ког, торых у, по крайней мере, порядка единицы. М.ежду г этими двумя точками находится два собственных значе- ния уравнения (8.70). Один из них близок к Х ) и уже ~о учтен. Если ~у ~ =О, то для поиска другого корня выбира- ем весь интервал ( Х 1, Х„1); одновременно из пос- (В) (В) г +1 ледней суммы в формуле (5,74), определяющей эскала- торную функцию, выбрасываем дробь с индексом Г .
В случае совпадения найденного корня с Х®) отметим по- ~0 вышение кратности корня. Если ~ у ~ ~ 0; то для поис- ~0 ка второго корня из двух интервалов (Х ), )~( ) ) и (Х()(), (Я) Х 11 берем либо первый, либо второй в зависимости от г,+1 того, положительна или отрицательна величина Е), 1( Х ). (В) й+1 г Аналогичные рассуждения можно привести в случае, ког- да между точками, в которых ~у„~ порядка единицы, на- ходится несколько точек, к которых ~у,~ малы или равны нулю. С точками кратности ~)) поступаем так же, исследуя выражение 2 ) е Л (г) (х(г) )1/Р (),и)). щ 1 п~ ~и В+1 ю Вычисление нуля эскалаторной функции на конечном интервале не вызывает затруднений. М ожно показать, что при данном выборе интервалов эскалаторная функция в случае стремления аргумента к левому (соответственно, правому) краю каждого интервала стремится к-- (соответственно, к + ) ° Можно показать также, что Е)(, (О)< О.
Поэтому удобен такой алгоритм поиска; делим интервал пополам и выбираем для дальнейших поисков либо левую, либо правую его половину в зависимости от того, положительна или отрицательна в этой точке эскалаторная функция. При сужении интервала до величины, меньшей заданной точности, прекращаем поиск. — )2б- (В) При рассмотрении интервала ~Х ~, ° ) поступаем следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
