Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Для построения системы координатных функций воспользуемся способом, указанным в 63 пятой главы. Опишем наш цилиндр круговым цилиндром с плоским дном, радиус которого Й, а высота В (см.рис.62). В качестве координатных функций возьмем систему функций, которая описывает формы колебаний жидкости в этом цилиндре.
В РЗ третьей главы эта система функций была построена: И =0) соответствуют две собственные функции, одна из которых содержит множителем сов и О, а другая я1п и О. Поэтому решение вариационной задачи (6,72) можно искать, например, в виде (и) ~ а„„ськ„(2+8) Ф и = соиИŠŠ— "" ~„(к„Т) "~, (6.74) Как показано в 63 пятой главы, в результате мы сведем задачу к решению системы однородных алгебраических уравнений (5,27), коэффициенты которой должны вычисляться по формулам (5.32 ), (5.33 ) .
Так, например, если цилиндр имеет выпуклую верхнюю крышку и уровень жидкости расположен выше линии пересечения цилиндрической и верхней сферической поверхностей, то коэффициенты системы (5.27) имеют вид: 2т~ 1 д Япт 2 2 ~опт МТ ~- /4к~ к 1 — ~- к -г О» дТ О дг ( й Т2-Т2 О дЧ 2 2 д~ ТИТ к к — — к-к пИ дТ О д2 ~ = ~Т2 Т О (и) (и) Рщ у. ~пуп9щ~ 2т: 1 +) 00) О О О О где ,/к~ Р~~/к' кк' кк ~И ~к> к~~к к~ ! Е/й' к йк/й Если уровень жидкости находится ниже линии пересечения цилиндрической и нижней сферической поверхностей, то рассматриваемую область следует описать цилиндром высоты И. и радиуса й Ь= В формулах перехода к безразмерным переменным, а также в выражениях для функций у и коэффициентов р(п) и 11(п) величину К пти надо заменить на Я .
После того, как оудут найдены собственные значения, их надо помножить на велнчи- ку й/ Система уравнений (5.27) решалась на электронной вычислительной машине эскалаторным методом. Максимальное число И членов суммы (6.74) бралось равным семи. Мы не будем приводить здесь графиков зависимости — 1б1- ~0 и Ь~ МЪ ф Я з Ю~ О о — 162- -0,0681 0,9867 0,1263 0,0592 0,0356 0,0241 0,9974 0,0640 0,0259 0,0147 0,0095 0,0067 -0,0036 -0,0151 -0,0298 -0,0548 -0,1275 0,9828 -0,0195 -0,1079 0,9795 0,1224 0,0610 0,0383 -0„0094 -0,0481 -0,1405 0>9792 0,1158 0,0591 -0,0056 -0,0249 -0,0544 -0,1349 0,9806 0,1097 %7. Колебания жидкости в сосуде, имеющем Форму тора 1241 Пусть жидкость занимает часть сосуда, имеющего Форму тора, ось которого параллельна направлению вектоРа Я .
Обозначим через Й радиус меридионального сече- -163- собственных значений задачи от числа Я. Они имеют такой же вид, как и соответствующие графики в предыдущих параграфах этой главы. Отметим, только, что как и следовало ожидать, сходимость процесса ухудшалась, когда уровень жидкости был расположен либо выше верхней линии, либо ниже нижней линии пересечения цилиндрической боковой поверхности со сферическими поверхностями крышек. Однако и в этих случаях для расчетов первых трех собственных значений с относительной погрешностью менее 1% требовалось взять только семь членов в сумме (8.74) .
Если же уровень жидкости находился между линиями стыка боковой поверхности и поверхностей крышек, то для достижения такой точности достаточно было взять в сумме (6.74) три члена. В табл.7 для иллюстрации приведена матрица, столбцами которой являются собственные векторы системы (5.27) при Т =1,38, Ь=0,5, И =1 ( ч "номер собственной функции; л1 - номер коэффициента в сумме (6,74) ). Как видно, и в этом случае диагональные элементы матрипы больше остальных элементов.
Зависимость безразмерных собственных частот Х; от глубины жидкости для цилиндров с выпуклой верхней крышкой показана на рис.53 (1-и =1; 2',-И =2). Сплошные кривые соответствуют сосуду, общая высота которого равна 5,5 Й, а Го =1,33. Штриховые кривые построены для сосуда, общая высота которого равна 2,2 Й, а Го =1,1, Зависимость безразмерных собственных частот Х, от глубины жидкости л в цилиндре с вогнутой верхней крышкой приведена на рис.54. При расчетах принималось, что общая высота сосуда равна 1,6 Й, а Г =1,1. Та блица 7 иия тора; через Й вЂ” внутренний радиус среднего сечения, перпендикулярного оси тора;через Е1 и Е2 -соответственно внутренний н внешний радиусы свободной поверхности жидкости. Введем систему координат ох'у'х', ось й'которой совпадает с осью тора и направлена против вектора й, а плоскость х'У' совпадает с плоскостью свободной поверхности жидкости. Глубину жидкости л' будем отсчитывать так, как показано на рис.55.
Рзо. 55 Введем безразмерные переменные х - х'/йо; у - у'/йо; л - х'/йо и цилиндрические координаты у, О, з по формулам х - асов 8; у - т з1п е; л - к. В отличие от тех сосудов, хоторые рассматривались раньше, тор является двусвязной областью. Поэтому здесь значительно большее число форм возможных свободных движений жидкости, чем это было ренее. Во-первых, возможны стоячие колебании жидкости. Их суперпозипия дает прогрессивные волны, которые будут распространяться по поверхности в ту или другую сторону.
Но это движение также будет обладать нулевой циркуляцией. Кроме того, сушествуют различные колебания, которые возникают в условиях ненулевой циркуляции. Зти движения также могут представлять определенный интерес для практики. В данной работе мы ограничиваемся изучением только таких движений, при которых цирхуляция равна нулю. Иля нх изучения достаточно рассмотреть только стоячие волны. Их вычисление (как это следует из результатов пре- Р(Ф ) - И д Ф)'дт — Л Г 2дБ, т 5 (8.75) длн решении которой примениетси метод Ритца.
Систему координатных функций построим способом, указанным в 63 питой главы. Опишем рассматриваемую обласгь т цилиндрическими поверхностими радиусов Йо и сто Ко+2К и плоскостими 2' 0 и 2' -Ь'. В качестве координатных функций возьмем систему функций, которые представлиют формы собственных колебаний жидкости в области между 1Е двуми коаксиальными круговыми цилиндрами высоты и Решение этой задачи приведено в 64 третьей главы и имеет вид.
с" ви~и(2+в) соз 56; ~вв м иаь з1п 11вв с" ввел ~ити(~) * ~и("вш) ~в("вш") -~и ("ив)"и(влщ~) ~ р. к йк Ь; В 0,1,2,...; е 1,2,..., ит вт пш Э где ~„(х т) и Кп (к„,вт)- функции Бесселя 1 и П рода; в рй-й корень уравнении Х„(х) Х„(с ~) — Х„(с х)М„( ~) - 0; л — безразмериаи глубина жидкости, а С - безразмерный внешний радиус среднего сечении, перпендикулириого оси тора.
Нормирующий множитель И„,и можно представить в виде Я - — с — — Р (с)- 1 — — Р„(1) . в 2 и2 2 Н2 К к пе вт Нетрудно показать, что спектр рассматриваемой задачи при нф0 двукратный: каждому собственному значению соответствуют две функции, в одну из которых входит множитель соз и О, а в другую з1пн8. Поэтому решение вариационной задачи (6.75) можно искать в виде (в) ~ а в,в сЬ к „~(2+И) Ф соз не Š— Р (т) —.
(6.77) В результате (см.62,3 питой главы) задача сводитси к решению системы однородных алгебраических уравнений (8.27), коэффициенты которой надо вычислять по форму- дыдущей главы сводится к задаче об отыскании минимума функционала 4 УЗ то о аг д~ о~ ог ~о ~г Рис. 56 -167- (5.77) для случаи й =0,4 ( ч — номер собственной функции; 1й - номер коэффициента в сумме (8.77) ). Таблица 8 ч-1 1,406 -0,122 1,240 0,780 0,061 0,891 0,186 -0,081 1,120 0,571 1,096 0,074 1,068 -0,044 1,066 0,581 1,088 1,084 0,028 -0,015 -0,021 1,013 0,491 1,024 1,021 1,000 -0,007 1,000 0,401 0,006 1,000 0,008 -0,016 1,000 1,000 0,288 0,008 1,000 0,015 -0,007 1,000 О, 179 1,000 0,017 -0,007 -0,009 1,000 1,003 О, 054 1,000 0;022 0,006 1,000 1,000 0,000 1,000 0,018 0,000 0,000 1,000 Первая собственная частота вычислялась и по приближенным формулам (6.52)-(5.64).
На рис.57 показана зависимость Х1 от И, рассчитанная на вычислительной машине (сплошная кривая) и по приближенной формуле (5.52) — 168- 1,150 0,020 0,008 1,013 0,004 1,000 0,006 -0,008 1,000 -0,185 0,878 -0,134 1,084 -0,073 -0,010 1,000 -0,019 0,998 0,000 1,000 0,2 0 0/ 42 03 ОФ ~~ 48 07 00 ОУ Рис.
О (штриховаи линия). И в етом случае приближеннаи формула дает удовлетворительные результаты. 1' л ф в а а е д э. м а л ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ В СОСУДАХ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ 4 1. Постановка задачи и условии, при которых задача может быть линеаризирована До сих пор рассматривались колебания жидкости в неподвижных сосудах в условиях, когда жидкость "предоставлена сама себе" (т,е, находится под действием одной силы тяжести), и движение ее начинается вследствие начальных возмущений специального вида.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
