Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 21
Текст из файла (страница 21)
~вш О О Отсюда видно, что ив, О и ~,в О, если иф 1, и и„в-в при И 1. Таким образом, в осесимметричном сосуце возбуждаются лишь одноузловые колебания жидкости. ПРИМВРЫ. Рассмотрим несколько простейших задач о вынужденных колебаниях жидкости в сосудах. При этом мы будем предполагать, что коэффициенты Х и и в~ в Ф„ известны, 1.
Предположим, что Ж«6. Тогда в уравнениях (7.16) можно пренебречь величиной 1г по сравнению с 8 и за- писать 11 +сг„~у - Г(й), и- 0>1,. ° ., ! 0 при в~0; 1 . 2й+1 У Ю~Х З вЂ” )' ув1п — к-Иу ~сов — й= Я„ ,~ 2 0 о 1 (-1)~ И~/1д, при И 0,в=0,1,.*. (2й+1) ~ где ои - био, а Р(1) - -иили%' — циХи$~ . Решение этого уравнения описывает вынужденные колебания линейного осциллятора с собственной частотой аи под действием внешней силы Г(1), Оно имеет вид ю ф„й„сов(о 1+у )+ — ~г(т) э1по (1-т)дт, иО где ц и у — произвольные посточнные, определяемые и и из начальных условий. Хорошо известно, что если Р($) — периодическая функция частоты а~ то последний член в этом решении будет иметь слагаемое частоты ы.
Оно описывает вынужденные колебания. Если при этом ю~ ои, то этот член становится неограниченным. Зто явление называется резонансом, Таким образом, в линейной теории амплитуда колебаний жидкости при резонансе становится неограниченной. В реальной системе амплитуда резонансных колебаний остается конечной, Это несоответствие является существенным дефектом линейной теории, оно является следствием нарушения основного предположения о малости амплитуды колебаний жидкости, Таким образом, для того чтобы рассчитать амплитуду колебаний жидкости при резонансе, надо учитывать нелинейные члены в граничных условиях исходной задачи, 2, Рассмотрим задачу о вынужденных вертикальных колебаниях сосуда с жидкостью.
Предположим, что где е — малый параметр. Тогда система уравнений (7.1В) примет вид у„+ а„(1+в сов И)ц О, и 1, 2, ..., а о Хиц. Заменой независимой переменной а1 2т эту сис- 2 и тему можно привести к виду + ч~(1+ е сов 2т)~ О, п 1, 2, .", (7.17) и и и где ~„2а„/ю,а штрих обозначает дифференцирование по т. Таким образом, каждая из переменных й удовлетворяет уравнению Матье. При определенных значейиях е и а стоячие волны будут иметь увеличивающуюся со временем амплитуду, и на плоскости е,м можно построить области устойчивости и неустойчивости. Методы определения границ области устойчивости уравнения (7.17) хорошо известны: границами их будут кривые ш(е), соответствующие перио- дическим решениям с периодом ~с и 2 к.
Подробности можно найти в книге И,Г,Малкина ~26), Формальна решение уравнения (7.17) ишется в виде рядов: Ьв) " у (в) " ~ (а) й+ Е е В~; ~„Е у„~, В 12,..., у 1 " 1 О и уравнения границ получаются в виде: 04 2ою е (О а 1+ + ° ее 3 и, В И~ (в) 2 оа е'" й) ~ 1 + ° ее у вз )и Ю~ где В, — известные числа, удовлетворяюшие условию 1ип Й ~ +»» Вид плоскости м,е показан на рис. 59 (области неустойчивости заштрихованы).
Рис. 60 Если зафиксировать значение е~ то каждому главному колебанию и можно поставить в соответствие некоторую а » предельную частоту а„( е). В случае, когда возмущающая сила имеет частоту м>ю» ~ при данном значении амплитуды она не вызовет параметрического резонанса — И-е главное колебание не будет возбуждаться. Точка м О является предельной точкой множества 1щ„) 1 точек пересечения границ областей устойчивости и-го главного колебания с осью ю: и в/®' Колеблющаяся жидкость имеет бесконечный спектр собственных частот, Поэтому возникает вопрос, не будут ли области неустойчивости покрывать всю область м и.
Оказывается, что это на самом деле так. Обозначим через 1й„~ ~ множество, которое представляет собой сумму множеств 1м„1, И =1,2,3„., Тогда справедлива сле(в) дующая теорема: множество 10(,'и) 1 всюду плотно на числовой прямой. В самом деле, пусть 1 — произвольное положительное число и требуется доказать, что, каково бы ни было число б~ отрезок ~1-6,1+62 содержит по крайней мере одну точку множвства ~й ~ 1 . Для собственных частот о„ справедливо представление о «И) И~~й где 1>1,а функция 1(И) ~0 н ограничена при И~ .
Поэтому дело сводится к доказательству существования целочисленных решений И и В неравенства 2И 1-6 < — Г~(-) + е(И)1< 1+6~ (7. 28) где 1 н б — произвольные положительные числа, а е(И) О при И-~ Рассмотрим неравенство Очевидно> что существует такое число 5, при котором для любого В)5 это неравенство будет иметь хотя бы одно целочисленное решение И .
Числа И образуют неограниченно возрастающую последовательность. Выберем В Ж1таким, что 2И„в~ ~( ) й/2 1 — 1~26 < < 1+ 1/26. 1 Кроме того, можно выбрать такое И1 Жй, чтобы 2И„, ~ е(Ищ ) ~ Следовательно, наибольшее из чисел Ф1 и И1й и соответствующее ему число И„, удовлетворяет неравенству (7.18). Доказанная теорема приводит к следующему выводу: каковы бы ни были амплитуда е и частота ш вертикальных колебаний сосуда, они всегда приводят к появлению — 180- нарастающих колебаний жидкости в сосуде. Конечно, надо иметь в виду, что полученный результат носит приближенный характер, так как не учитывалось влияния вязкости жидкости. Это влияние растет с увеличением частоты, 3.
Предположим теперь, что сила инерции сравнима с силой тяжести и удовлетворяет условиям, сформулированным в Ф 1. Введем следующие обозначения: х„(~+%',) - о,(~); -х„„%,'-х„р„Ф„-Р,Ю. Как отмечалось в 61,производные Ио„/И~О(е) и ИР /Й 0(е), где е<(1 — некоторый параметр. Отсюда следует, что можно считать а„.п (~) и Рв Р„( т ) ~ где т е1. Тогда уравнения системы (7.16) будут содержать параметры, зависящие от медленного" времени т'. Я + ст (т) Ц Р„(т), И 1,2, .... (7.18) Для приближенного решения этих уравнений можно использовать асимптотическнй метод усреднения.
Предположим для простоты, что функции ои(т) и Ри(т) таковы, что в системе не наступает резонанса. Тогда решение уравнения (7.18) будем искать в виде Ри (~) ф ~ + Е е ов (т) (7.20) Введем обозначение 6в( с)- Р„(т)/а„(т ) . Тогда очевид- 2 но э что ф е6 ("с)+ц; ф е 6 (т)+ц Штрихом обозначается дифференцирование по т. В новых переменных ~ система (7,19) принимает вид и ~~( ) - 26„( ).
(7,21) Вместо переменных ~в введем новые переменные и и уи и ло формулам: = н сов у„; ф„-Ф„о„а1пу„. (7.22) Тогда каждое уравнение системы (7.21) заменится двумя уравнениями относительно амплитуды О и у в в Ф М ©в ов а1" Ф~ (ми ои)ии <~асов Фв еники а1пРв е 6в(т)' усову -(~ -ои)яиа1пув О, н 1 2, .... Эту систему нетрудно разрешить относительно а и у и и' В результате получим: аи йи а,—,©и 81п у„+ е — 6„(т)в1пу и в о. ю 7 о' э -~ 61пф ссай +э — 6 ('с )соа у в и а в в и а в в и в и с Так как Функции й и уи-~а Й меняются со временем о ' медленно, то для интегрирования полученной системы можно применить приближенный метод, описанный, например, в книге Н.Н.Боголюбова и Ю.А,Митропольского 128).
Будем искать решение системы с точностью до членов порядка е. Тогда в правых частях системы можно отбросить члены порядка э и усреднить уравнения по у на 2 и интервале 10,2 и1. Проделав все это, придем к следующей более простой системе: Ф эа а йа и 2 а и и В первом уравнении справа перейдем от дифференцирования по т к дифференцированию по 1 ° После этого нетрудно выписать решение этой системы, которое определяет изменение амплитуды и фазы колебаний жидкости: С, а —; „Г „(0)И +~~, 11 1,2,..., (7.23) ~/а„' " О здесь С„и тв - произвольные постоянные, которые должны определяться из начальных условий, Подставляя формулы (7.23) в (7.22), а (7.22) — в (7.20), получим решение исходной системы (7.18) в виде — а-сов ~а (6)И+7„+ и, в 1 2, ....
С ~и(т) ~Я„о а„(т ) Полученное решение имеет приближенный асимптотический характер и стремится к точному решению системы при э 0. Оно дает возможность качественно судить о характере движения жидкости. Отсюда, в частности, следует, что колебания жидкости будут развиваться, если дав /Й < О, т.е.
д% /Й < О. Если йав /Й > О, т. е, ИУ /Й > О, то колебания свободной поверхности жидкости будут демпфироваться. -182- 5 3. Свободные колебаний жидкости, вытекающеР из сосуда1) (7.26) (7.27) ,у~ 1 д~р 2 1 д~р 2 1 д~ ° 2 2 д» 2 дУ 2 дХ вЂ” +- — +- — + — — +)1 +(~+И)г, О, при х )1+~; (7.30) Ис д, 31 дХ при Х-л+С. (7Л1) 1) Эта задача впервые рассмотрена В.В.Кнрилповым (271, а позднее Маалсом (283, — 183— В этом параграфе рассматривается простейшая задача о колебаниях в сосуде жидкости, которая вытекает из сосуда, Предположим, что жидкость занимает часть ци- линдрического сосуда произвольного поперечного сечения и вытекает через дно, Примем для простоты, что ско- рость истечения одинакова на всем сечении дна сосуда (т.е, происходит равномерный отсос жидкости через дно).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
