Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(8.29) 2п 2 )„2 2п п' т.е. -) С +~) аоо Ф20 сов 2т+~) ~ — 1(6-О. (1) ~ (1) 1 1 (1) 1 дЧ з 1 ,'~ з 00 4 ) 20 з 1'д Я Нетрудно видеть, что по определению функции ср1 интеграл в атом равенстве равен нулю. Таким образом, (1) 1 (1) (1) С1 2 аоо 120 О равенство выполняется тождественно. В са- Последнее мом деле, д Ф д Ф д Ф ~~з~ з ~~з + д22 з я дХ2 ду2 (1) "20 дФ з УЧФзЧФ а=У7Ф ЧФ,ИБ-УУзИа-УЧФ ЧФ 45 -УФ вЂ” Ду.
Через ( здесь обозначен контур, ограничивающий область Я, а ~ - внешняя нормаль к этому контуру. По предположению свободная поверхность жидкости пересекает цилиндрическую стенку сосуда. Таким образом, нормаль к контуру у совпадает с нормалью к поверхности Я, Отсюда и из граничных значений функции Ф следует, что дФ /д~=О. Требуемое равенство доказано. Будем искать функцию ~ в виде (1) су ° Е Р ('с) Ф ° 1 „в в (8.31) «2 (1) "з (1) ~1 (1) 1 1 (1) -+р -2 — сов т+ а — — — ~ ~а1п2т; д, 2 3 з 23 2 )2 2з з (8.32) '(«2«(1) + — ~ а — — — ф а1в2т~ И ~4 2.
» ) » (1) (1) 1 1 (1) (« .2 Х в 2» 2)Й 2в з з -20Ь- Тем самым условия (8.15) и (8,18) удовлетворены, Подставив ряд (8.31) в условие (8.20), в силу полноты системы функций (у„) приходим к следующей бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений относи" тельно неизвестных функций Р( Предположим, что Хп/Х ~й2 при И ~З, где й — целое число, Тогда для существования периодического решения системы необходимо и достаточно, чтобы 6 =О.
Тогда искомое решение системы будет иметь вид (1) 1 1 (1) а 2п 2 Х2 2п я1п2т, Хп -4+— Х 8 и 1,2,.... Теперь с помощью формул (8,30), (8.31), отбросив в выражении для потенциала несущественную функцию времени 1 (т)~ можно найти первое приближение задачи: (1) 1 1 (1) сс 2п Я Х2 2п ~р Е а1п2т ф„; п 1 п -4+— Хя Хп (1) 2 (1) — сс 2п 2 2п Г -Х Е с$~ (1) з Х сои 2 в~~1 Хп 4 п Хз (8ЛЗ) О. Таким образом, в первом приближении частота 3-й главной формы не меняется. ПРИМ ЕЧВНИе. Решение системы дифференциальных уравнений (8,32), вообше говора, неоднозначно: к решению при Н й можно добавить комбинацию Р(1)сов т+Я а1п т, где Р и () - произ- (1) вольные постоинные. Чтобы исключить эту неоднозначность можно поставить дополнительное условие 27~ ~ сРФ сов тБйт~ и— о 5 л, Подставлаи сюда разложение (8.8) дли гр получим систему равенств: 276 (' з Ф сов т ИЗИД я 1 о л ' о з к х 7% .Г Г Ф|Ф, совтййт Ор о в — 204- 27с е Ф со8 т454(т ю О; 0 8 Первое равенство тождественно удовлетвоояется в силу формулы (8,23) Из второго равенства следует, что Р ~ О и Ц(1~ О.
Третье равенство исключает такую же неопределенность во втором прибли- жении и т,д. Физически введенное условие означает, что полная ам- плитуда главной гармоники совпадает с амплитудой и"й главной ли- нейной формы. 6. Чтобы определить поправку и частоту, рассмотрим второе приближение. Воспользовавшись формулами (8.23), ( 8»24 )» ( 8е33 )» вычислим функпии А2(ЧО» 1 О» ~р р 1 р6 1 ) и Ц (ср ~ ср, Г, О ). После несложных, хотя и громоздких 2 выкладок, получим.« (2) . (2) А - А~ ип +А 81пЗ; (8.34) В 8 сов т+22 сон Зт, где Лп (1) 2 (Лп 1 (1 1 2 8 Оп п 2 4+ Л8 (1) 1 1 (1) 1 1 2п 2 Ли 31 дФ вЂ” Е дФдФ + — — у 3 1 2 8 Л„' ' 8Л 'д22 -4+ —" Л8 1 1 д -~-~ у ~Ф вЂ” о Ф (8.34') 5 — а — — — +1 9 л (2) „Л 2В Л2 Л 2В А --Л Ф Ф и-1 ЛВ и 8 В Л8 (1) 1 1 (1) 2 1 1 " 2п 2 Л2 2п 2дФ, ЧФ ЧФ вЂ” — — Ч Л8 п 1 4+ п Л п 8 8 и 2 д2 Л8 уу дФ вЂ” [~Ф 1 1 д 4Л 8 8д 8' „(1) 11 (1) .
(2] 1 йи 2 )~й йл д Ф В1 - Е ф - ~.-Чф ЧФ + 2л.1 д~а и в 4 и Хи ,$ р (1) 2 Е (1) ~ Хи и 1 Хв -4+— )® + ~-„Е,— ф--~,(Ч~,) ~ 11 2 Ф 1 2 3 йаФ, -- — ч — '+-ч Ью ) ° ВХ и ~йй 4 з а (2) З ' Фуию|и||, иоторв|е виолет в ви|режеиии или А, А (й) (й) 3 и иа поверхности $, разложим в риды Фурье э З э но системе функций 1у ) в ~1в М ~ Ч'и~'з"'ю (в) 1,ц. И„з ''" 00 ( ) ~и (з Е ~1~и ~в' в О $2,„— 1 Ч Ф„ЧФ,Ч„Ю~ Мй з ЧФЧФ® ° Е $ Ч1 $ (и) и й йв ий (8.36) Ф 00 2 у — ЕЦ~Иг и 3йй уи О (1) 1 1 И1) ) „йв Й'~7 йв В --'- Е 2 л )в )'и, (1) 2 «)(1) 2в )Г 2в Е и~1 Ь -4+ х® ,г и 7 ЧУ(~иЧ дй — ( у — 'у ЮЯ~ ,У йФ Зги )~) 2 и уйй уи в й -206- Исключая из этих условий с помощью дифференцирования неизвестную функцию ~2, получим следующее соотношение на свободной поверхности 5: д г~рг, асР В ..
(2) — +-с- -2 — у совт+ Е а „- ~ „~ совт+ д 2 Л, дз про ~ ~в + За — — ~ ~ сов Зт у . (ВЛ8) (2) 1 (2)~ ЗВ ), Зп/ и' Проинтегрируем это равенство по свободной поверхносты 5 и потребуем, чтобы ынтеграл обратился в нуль. Нетрудно видеть, что это можно сделать, положив ч -~ +) (т). Функция ) (т) определяется из условия ! (2) 1 (2)1 / (2) 1 (2)( — ~а — — ф ~ сов т+ ~За — — ~ ~ соз Зт, (,,тг ~ 10 )., 1О~ зо х, зо~ откуда следует, что ~ (т) ~ С +С т- ~а — — р ~соз т - — За — — р ~созЗт. (2) (2) / (2) 1 (2)1 1 (2) 1 (2)1 2 0 1 ~ 10 ), 10~ О ЗО р, Потенциал у должен удовлетворять уравнению (8,19), граничному условию (8.22) на смоченной поверхности и следующему граничному условию на свободной поверхности $~ а'9.
д ач, аг / (2) 1 (2)~ -«-+ — — 4-=-2 — у соз т+ Е ~а — — ~ ~ соз т+ + За — — ф ~созЗт ~ . (8.39) (2) 1 (2)1 Зп ), Зп~ и' После того как будет найден потенциал ~~, форму свободной поверхности ~ можно найти из соотношения (2) (2) . 1 (2) 2--629,31"-Х,С1 +110 з1пт+3 РЗО з1пЗт+ + Х Е (а в1пт+ а в1пЗт)у — Х (2) . (2) ~2 ~п 1 Ъи Зп дт (ЗАО) Однако из условия несжимаемости жидкости и постоян- ства ее объема следует, что 1~205 - О, Я вЂ” 209- (2) (2), 1 (2) .
1 ~~2 Х С1 + ф1О з1ич+ РЗО 'в1пЗт Х и ~ -бе О 3 3 дт Я Нетрудно видеть, что по определению функции уз интеграл и этом равенстве равен нулю. Таким образом, надо положить С О. Кроме того, должны выполняться тож- (2) дества ~1О и 0 и р = О. Из формул(8,38) следует, что (2) (2) тождества выполняются, если ~('=-о ~(") -=о; ~(' о; )(") = о. "1О= ' "2О = ' "ЗО ' "4О = Справедливость последних тождеств должна подтверждатьси непосредственной проверкой, исходя из формул (8.35). Решение задачи (8,19), (8 22), (8.39) будем искать в виде р Е р (т)~„° (8А1) и *1 Тем самым условии (8.19) и (8.22) удовлетворяются тождественно, а нз условия (8.39) получается бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функний р(2) (т): (1~ (2) (2) о2 (2) 1 (2) ! (2) 1 — +р ~-2 — +а — — ~ сов с+~За — Я. ~сов Зт; ф .2 8 ~ Х 1з Хз 1з ~ Зе Х Зю ! (2) — +-йр а — — ~ )созт+ За — ~ совЗ'~, В~в.
и Х (2) (2) 1 (2)~ (2) 1 (2) 2 Х и 1и Х 1и) Зи Х, КЗВ ,Для того чтобы существовало периодическое решение этой системы, необходимо и достаточно, чтобы В2 2 (Хда 1~ — ф1ф ). 1 (2) (2) (8.42) Это равенство определяет поправку для частоты изучаемых колебаний жидкости. Решение системы уравнений тогда имеет вид: р (т) Оа — — ~з соз Зт; (2) 1 (2) 1 (2) 3 7 з Х зз (2) 1 (2) (2) 1 (2) а За (2) 1а Х 1и Зи Х Зи р'(т)- созт+ созЗ~~ и~В. и Х Х и -9+ Хз Теперь с помощью формул (8.40)"(8.42), отбросив несущественную функцию времени ~ .(ч) в выражении для потенциала, можно выписать выражения для второго приближения задачи: ф ю ~ ~ЗЙ~ — ф ~сов Зт' Ф~ + 1/ (З) 1 (2)~ З ~~ З Х, З~ (2) 1 (2) (2) 1 (2) а — — р ЗиЗ вЂ” — РЗ и 1 Х„ 9+ Х с +й )апг--(Х и -38 )апЗт у+ (2) (2) 1 (2) (2) (8.43) в Зв ~Зв (2) (2) ап т+ ап3'с у Х в' 9+ й Хф (2) (2) в" 1в ~1в 1+ 21 Хя 1 (2) (2) Е2 ~(Хк1, - Р ).
Аналогичным обрезом можно получить последующие приближения. В частности, можно показать, что все 8 ~ н 0, к 0,1,2,.... 8. Используя полученные результаты, можно построить потенциал скорости задачи и вычислить все характеристики движения, В частности, уравнение свободной поверхности имеет вид (мы возвращается к размерным переменным) о 1 2 Г, ей~у в1п +е ....
(8.44) 8 21 Х (2) (2) 1+ 6 (Х й1 р1 )+зее 2 3 1 ~1 1 (2) (2) 03 3 2 1+ е таким образом, спектр задачи является не дискретным, а кусочно-непрерывным; Таким образом, е имеет смысл безразмерной амплитуды порождающей линейной волны. Кроме того, можно сделать несколько общих выводов: 1) частота колебаний зависит от амплитуды волны 2) периодические колебания возможны с любой амплитудой, лежащей внутри круга сходимости ряда (3,44) . В этом проявляется одна из аналогий изучаемых колебаний и колебаний консервативных систем конечного числа степеней с вобод ы.
Для более детального изучения свойств свободных колебаний необходимо конкретизировать вид области т. Доказательство сходимости предложенного процесса встречает ряд затруднений, В частности еализация процесса возможна только тогда, когда Хл Х не есть целое число, если только И ф З. Заметим, что решение задачи о стоячих волнах в без" граничной жидкости, предложенное Я.И.Секерж-3еньковичем (32~,получается как частный случай рассмотренной задачи, Его теория эквивалентна теории колебаний жидкости в области т имеющей форму параллелепипеда, Решение задачи, данное Пенни и Прайсом ~331, также следует из приве- Е" денного решения при В ~..
Пример. Свободные колеба- ~- ния жидкости в прямоугольном Кйнйле. В качестве примера, иллюстрирующего применение изложенной теории, рассмотрим свободные колер банни жидкости в прямоуголы.'ом канале. Поперечное сечение канала показано на рис, 62. Ширина канала обозначена через 1, а глубина — через Н. Систему координат Охх введем, как показано на рис, 62. В качестве Ряс. 63 характерного размера Я возьмем величину 1.
Будем следовать схеме, изложенной выше, 1. Как показано в первой главе, свободные колебания жидкости в прямоугольном канале описываются системой функций: О > Ц~ зв Ф„соя илх сьи.к(л + 1~) соаикх, и 1,2,.... с ьи7с1$ При этом М„~ у 0$1Д. Безразмерные собственные час- 2 2 Я тоты имеют вид х„ит~йит~й, и 1, 2, .... — 212- 2. Положим 3 1, т.е. будем строить решение на главной гармонике линейных колебаний, Тогда в соответствии с формулами (8.23) и (8.24) нулевое приближение задачи имеет вид — сов кХ 1 сЬж (2+1() соз т; ~ созяХсоз т. (8.46) о яй и)( сЬ ий О 3. По формулам (8.25) нетрудно вычислить функции А(01),А(1), В(1) и В(1) и разложить их в рады Фурье (8.2), В результате получим: (1) 1 1 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
