Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(1) 1 1 1 К йа й ОО 4 4 сЬ Я ' 02 4 4~Ь2,)(' (1) 3 1 1 (1) 3 1 1 а аы + а Яф 20 4 4~Ь и)(' 22 4 4~Ьги)~' (1) 2 ~22 Все остальные коэффициенты а 0 ~ а и )) равны (1) (1) (1) 2в 2п нулю. Теперь по формулам (8.33) можйо выписать первое приближение: 3 ( 1 сЬ2и(Х+Ь) ~р — — ~1 — — ) з1п2т соз2кх сЬ4„й~ сЬ2 ий (8.46) ~ ийял 1 1+ — у — + — ~ — — — соз2с 1 1 3 й ий й ял й47сй соз 2 их. 4. Вычисляем коаффициенты разложений (8.35). Ока- зываетси, что 1/2, (2) 1~2, (2) (ив) 13 остальные ц - О; 1в 3 2 ~ЗЗ "4 1 2 остальные ~ -О; зи Ц 'и Вяжи, 3 остальные ~4и О; (2) 2 "и (2) 1 2 '1) ФВ -~;7~ 21 остальные и О; чи) 1и остальные ~(ио О; 2в ч1(') - зтсг 13 (2) Д, 2 Ч 131 4 Ь Ь 3 з 1„2 ~41 4 чзз -4 (Ь И. 1 з остальные ~ О; зи остальные т~4, О.
т~ ФВ 'и 1 2 43 4 -213- 'С помощью этих величин по формулам (8.37) находим; 1 ), ) 1 1 9 1 3 1 16 32 ~),~)) 32 ~),з )) 32 ~),5 — (ЬЯЬ с 1 Ь 1 9 1 3 1 + + 16 32 ~~ .)) 32 ),3 )~ 32 ),5 11 1 21 1 3 1 32 ~),~)~ 32 )3 )) 32 ),5 15 1 21 1 3 1 32 ~)~~Я 32 ),3 )) 32 ФЬ5 а „0 и а „О. По формулам(8.38)находим; (2) (2) (2) 2 ( 1 3 1 3 8 32 ),2 )~ 16 ),4,)» „(2) 11 (2) "13 а "З1 остальные (2) 9 2 1 ~1з 32 (2) ~3 зв Е 31 ~ 16 32 ~), ~)(/ (2) 2(3 3 1 9 1 зз ~16 32 ),2 ~ 16 ),4 остальные (З(2) О и ~(2) О. 1в зй Теперь по формулам (8.43) можно выписать второе приближение задачи: Я> /31 62 9 СОВ 3 с СОВ КАХ вЂ” ~ сИ к (Х+П) з 256~~), й ),з ) ),5 сЬпЬ + — ~З+ — 2й таей-56гсй+ — соз с— ! 1 3 3 256 ~ ~),2„ь ,),з„,ь, — ~ — — — + — созЗт соз Зях 13 22 9 сЬЗ~(Я+В ,), з„ь,,),з„ь сьзтсй 5+ — + — з1п ~+ — ~-5+ — + я 2 3 .
1~ 13 64 ~)ЗЬ )~й ~ ь)зй (8.47) + — япЗт соз~х+ — ~2Й м6+Й жй-15+ — + 3 Зтс ( 4 2 27 й4лй 256 ~ йз Ь + — опт+ 1 + зтЗч созЗжх; 9 3 3 9 й4тй ,),З„,~,~,4,,),,~,6„Ц ез- — ~26 7сй+3+ — —— 12 9 64 ~ Й з АМ ~ь4п Ь 5, Теперь можно выписать решение задачи, Например, уравнение свободной поверхности после перехода к размерным переменным имеет вид: е!соз — з1поз$ + .р е 1тсй — + » Н 1 1 1 Й вЂ” Й -1— 2 тсН 2 тсН 1 гЬ вЂ” -5+ —.+ 2тсН 6 1, 2тсН 1 соз — + — з тс 1 2тсХ 1 Э 21 64 — — соз2 3 )~4 тсН 1 + — з1по~$ + 3 . » ФЬ4 "и 1 18 3 -5+ — + — з1пЗс $ соз — + тсх» 2 тсН 4 тсН 1 с'и — й— 1 + — 2Й вЂ” +Й вЂ” -15+ — + — з1по~1 + - 3 4тсН йтсН 27 9 1 )2 кН )4 иН 3 3 9 + з1пЗы соз —, (8А8) Зтсй Й вЂ” сЬ вЂ” й— 2 тсН 4 тсН б тсН 1 1 1 где частота колебаний м вычисляется по формуле (8.49) 4 й тсЯ 12 9 64 1,),2 Н сЬ4 тсН 1 Т Рассмотрим подробнее зависимость частоты колебаний а от безразмерной амплитуды з ° Для этого исследуем функпию 92.
Составим уравнение 2й тсй + 3 + — — — = О. 2 12 9 сЬ2 1~ 1~ 4 Это уравнение относительно переменной М Й тсЬ имеет два действительных корня, один из которых отрицателен и, , следовательно, не имеет физического смысла. Положительный корень уравнения равен О,778. Теперь из уравнения й -'-"Ц- 0,779 1 можно найти значение безразмерной глубины, при которой О~ О. Это значение равно Н /! О, 332. Если Н/1<0,332, то 9~ < О,а если Н/1 >0,332, то 9~>О.Таким образом, если относительная глубина жидкости Н/1<0,332, то частота а увеличивается с увеличением безразмерной амплитуды, а если относительная глубина Ц/1>0,332, то частота а уменв" шается с увеличением е.
При Н/!=0,332 частота ю не зависит от амплитуды. Зависимость частоты колебаний жидкости от амплитуды в прямоугольном сосуде экспериментально изучалась в работе Фульца (351. Результаты экспериментов качественно подтвердили полученную выше зависимость амплитуды от частоты, только лишь экспериментальное значение критической глубины жидкости Н /1 оказалось равным 0,28 На рис.
63 показана зависимость 9~ от Н/1, рассчитанная по формуле (8,47) (сплошная кривая) и полученная экспериментально в работе Фульпа (3Я (штриховая кривая). Точками на этом рисунке показаны результаты экспериментов в. При Н/1~ величина 6~~ ~ /6,и этот результат совпф- й дает с поправкой для частоты, полученной в работе Пенни и Прайса ~33] . Изучим теперь подробнее форму свободной поверхности жидкости, Из выражения (8.48) следует, что свободная поверхность во время движения никогда не становится плоской, В моменты времени $ И~/ю она ближе всего к плоскости и описывается уравнением 1 2з яй 2 3 2мх Г, - а !мй 1+ — — сов —.
8 1 )й г~й ~~Н 1 Однако, если глубина жидкости бесконечна, то свободная поверхность жидкости в эти моменты времени становится плоской. В самом деле ~ЬкН/1 1 является корнем уравнения 1+ — - О. 2 3 й— й ~сН 4кН 1 Далее, нетрудно видеть, что не сушествует точек, в которых во все время движения ~ .О, т,е. неподвижных узлов. Наконец, вычисления показывают, что высота горба волны не равна глубине ее впадины. На рис. 84 приведена форма волны э С'/! при $' ~с/2а, Н/1 0,2, 3 2, рассчитанная по формуле типа (8.48) (сплошная кривая). Для сравнения на этом же рисунке приведена измеренная экспери- -21б- ментально форма волны (штриховая кривая). Эти данные также взяты из работы Фульца [381, Ряс. 64 Ры.
63 52. Вынужденные колебания жидкости в сосуде Теперь рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях жидкости в сосуде. При этом снова метод типа метода Ляпунова исследования периодических решений нелинейных систем с конечным числом степеней свободы будет формально распространен на системы с бесконечным числом ' степеней свободы.
Вопросы математического обоснования такого обобшения остаются открытыми. Технические детали излагаемого ниже метода не сильно отличаются от тех, которые были приведены в Ф 1 этой др'-О, и удовлетворяет следующим граничным условиям; — + ~-(~ ~~ ) + ~~ - Ц(х', у, $ ) при й - Г, дскб 1 .» 2 »» д~» 2 4Г,' д~р' »» при х й д2 дср» — =О дИ на поверииости Е. (8.$2) Правая часть в условии (8ЛО) зависит от движения сосуда и является заданной функцией координат и времени, если движение сосуда задано.
Предположим, что сосуд совершает гармонические колебания с частотой ф, и функ- ция Ц имеет вид (0.50) (8.$1) главы. Поэтому много деталей опущено, и внимание будет обращаться только на основные моменты. 1, Рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях жид" кости в сосуде, который совершает заданное поступательное движение, Введем декартову систему координат ОК' у' 2', плоскость х» )~' которой совпадает со средним уровнем жидкости в покоящемся сосуде, а ось й направлена вертикально вверх.
Будем считать, что система координат ОХ»у»2» сама движется, так что стенки сосуда неподвижны относительно нее. Далее, будем предполагать, что движение жидкости в момент времени $ О было потенциальным и обозначим потенциал скоростей жидкости в системе координат ОХ» у'2 через ср'(Х', у», З~, $ ).Возвышение свободной поверхности над плоскостью 2' О обозначим через 2 ~ (Х~,~,$~)»Наконец, для простоты предположим, что свободная поверхность жидкости всегда пересекает цилиндрическую стенку сосуда. В седьмой главе было показано, что потенциал скорости является гармонической функцией в области т~ заиятей жидкостью: где ~ (У, у ) — заданная функпня координат, а ~ — безразмерный параметр.
2. При ~ 0 условие (8.50) переходит в условие (8.2). Таким образом, при ~ 0 условия (8.50)-(8,62) определяют колебания консервативной системы (жидкость в неподвижном сосуде), В связи с этим обычная квазилинейная трак- -218- (8.53) Из етого выражения следует, что амплитуда е всех ре- шений задачи (8.1)-(8.4) с периодом 27~/р должна опре- деляться из соотношения Т 2 л/ри, где 11 — любое целое число. Из последнего соотношения с учетом формулы (8.53) можно получить следующее урав- нение для определения в: э 1+- — в+...
282 Это уравнение имеет только одно решение е~ которое стремится к нулю при о -~ рП. А так как корень может принимать два значения, то получаются два решения уравнения, которые обрашаются в нуль прн о р11. При этом если Ой(оа рИ)>О,то эти решения действительны, В противном случае они будут комплексными. таким образом, если 92>0, то надо выбирать число В из условия, чтобы о -ри) 0; если 02< О, то число н должно удовлетворять неравенству а -рй<О.
Выбрав таким образом число Н, каждому его значению (при заданном оа) можно поставить в соответствие два порождаюших периодических решения, из которых одно будет положительным, а другое отрицательным 1 . Кроме этих двух, порождающим может быть и тривиальное решение у С, ~ 0 системы (8.1)-(8.4), которое тоже можно рассматривать как периодическое с периодом 2тс/р. 1) Предполагаем, что 0~~1 О. С*ормулнрованный вывод сохраняет справедливость, если е~,.= О, т 1, 2, ..., 1'о, где 2< г < 0 -219- товка оказывается, вообще говоря, недостаточной, и наша система должна рассматриваться как система, близкая к системе Ляпунова, Это означает, что требуется построить решение системы, которое при р,~О переходит в периодические решения задачи (8.1)-(8.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
