Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Из сказанного следует, что в первую очередь необходимо найти все решения задачи (8,1 )-(8,4) с заданным периодом Т 2л/р — периодом вынуждающей силы, В первом параграфе этой главы было установлено, что формально могут существовать периодические решения задачи (8,1)-(8,4), период которых зависит от амплитуды и выражается соотношением Т - — (1+ е е + ...). 2л 2 О. д'ро — О дн л,р1 О дср — +- ~ -А (~р,» ) д$ оэ 1 1 0' О (8.62) на поверхности Е; в области т; (8.63) при Х - О; дГ др — — +В (~р,~ ) о о при х ~ О; (8.65) (8.66) на поверхности Е; йх,у) е с Ф в 0 с - — ~~р Ю.
1 ~2 В в (8.67) Тогда условие (8.80) можно записать в виде 1 — +-~ Е с в1пй р„ И сю О „1л (8.61) исключить из него неизвест- и с помощью условия ную функцию ~ о' д я) — + д$ 1 0 — Е с соз1. р щ дХ 1 В И (8.68) В правых частях последних двух равенств в суммах опущены члены, соответствующие П = О. Это всегда можно сделать, добавляя к функции ср соответствующую функцию времени. В 6 1 этой главы подробно описана эта процедура (см, стр.202) ° -221- Функции А1(уо~~о) и В1(~ро ~0) вычисляются по форму- лам (8,22 ). Снова предположим, что известна система собственных' функций Ф„(Х, у, Х ) н собственных значений Х„ол Й/Я ос- 2 новной краевой задачи, возникающей в линейной теории свободных колебаний жидкости. Через о„, как обычно, обозначена собственная частота И-го главного колебания.
Напомним, что система функций у„Ф (Х,у,О) вместе с уо 1 полна на свободной поверхности $ и что дФ /дХ Хаут при Х *О, Будем строить первое приближение задачи уО~~ . Функ- цию ~(Х,у) разложим на свободной поверхностй в ряд по собственным функциям у и' Таким образом, функция срО должна находиться из решения краевой задачи (8.59), (8.62), (8.63). Решение этой задачи будем искать в виде ряда ~О" (о) в авО (8.69) Подставляя этот ряд в условие (8.68), мы получим бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных ф(~)($): в ~2 (О) '~в ) в (0) — — с„с0вг, и )2,.... ~ 2 а в Заметим, что Х /а с~ /~ . Так как система по предполо- 2 2 жению колеблется вдали от резонанса, то ни одно из этих отношений не равно единице, и периодическое решение системы периода 2 в имеет вид (0) Св Ц - — т сов!, и о в 1ч2 и а1,2у ° ее ° Отсюда находим выражение для первого приближения: ~в~вв~~ ~ ~0 2 "в' в-1 0 1+ в 2 овсов Ф ~0- ' — 2 ~.: в ° 1 о' Ц 2 (8.70) Р - о' (1+ра).
2 2 Тогда можно записать 1 И ц — = — (1- ~ьа) — (1-р,а). 1 м 2 2д Хя В соответствии с зтнм граничное условие (8.55) задачи перепишется следующим образом: -222- Вычисления последующих приближений трудностей не представляют, и мы их проделывать не будем. 5, Рассмотрим наиболее интересный случай колебаний системы вблизи- резонанса, когда ~~ о .В этом случае решение (8.70) теряет смысл. Для того чтобы изучить характер колебаний, будем считать расстройку р -о малой 2 2 и положим + ~(чу + — г, Д(х,у)а(п1+ р, — ~ при л ~. (8.71) дт 1 3 1 й д1 х х 2к 2 Т вЂ” (1+9 Е2+ ...).
о Предположим, что 62 у' О. Тогда существует единственное период ическое решение рассматриваемой задачи, которое обрашается в нуль при ~ О. Это решение разлагается в ряды по целым положительным степеням параметра 1) ~/з ° Итак, будем искать решение задачи ( 8.54 )-(8.57) в виде: в+1 в+1 $. чйеь;1е1ь а о л и о л Как и прежде, граничные условия (8.71) и (8.68) разложим в ряд Тейлора и окрестности точки Х ~ 9.
После этого подставим ряды (8,72) в условии задачи и приравняем члены при одинаковых степенях р. ° Проделав все выклад" ки, которые подробно описаны в первом параграфе главы, получим следуюшую последовательность краевых задач для определения неизвестных функций ср ~~ „е ~Г ~ ср ~Г, и т.д, (8.73) в области т; при ~ - О; ~ф ~0 аро — + — ~ О а2 х, о а~о Ио дВ дл дч'о ды (8.74) при 2 0; (8.75) ыа поверхности Е; 11Иоказательство етой теоремы ириведеио в книге И.Г.Малкина (261 Там говорится, что ряды сходится при достаточно малом в. К сожалению, аналогичное утверждение в данном случае мы доказать не можем, Заметим, что если 92 94 ° ° ° в ее„то утверждение теое 1 рамы сохраняет силу нри т и — 223— Решение задачи будем искать методом, который используется при аналогичных ситуациях для систем с конечным числом степеней свободы. При ~ 0 рассматриваемая задача переходит в задачу (8.1)" (8.4).
Формально установлено, что сушествуют периодические решения этой задачи, период которых зависит от амплитуды в области т; (8.77) ~ср О дц)1 — + «А (% ~«) ), 1 1 О'О д«, др +~ ('ро «) д~ д2 д~р — 1= О дп (8.78) при 2=0; (8.79) при 2 О; на поверхности Е; (8.8О) в области тр (8.81) Р2 'Р2 1 — + — « ~й,у)в1п$+А2(рО,«о,ср1,«) при 2- О; дС Х 2 д«2 д~р~ + "2('РО «О Ч1 «1) д1 д2 при х О; (8.83) — =О ди на поверхности Е; (8.84) (8.85) Решение задачи будем искать в виде (0) 0 ~и 0 и 1 и и (8.86) Подставляя этот ряд в условие (8.85), мы приходим к бесконечной системе дифференциальных уравнений для определения--функций ц(~); и (о) — -О, 5~в Д$2 Х и ц2 (0) (о) +~ =О.
~~2 Так как по пРедположенню хи/х ~)и2, где й( — целое чис-- ло, то единственным периодическим решением этой системы периода 2и будет — 224- Функции А1~ В1~ А 2~ 32 совпадают с соответствуюшими функциями, приведенными в 61 (см.формулы (8.22' ), Только в выражениях для А2 и В2 надо положить 0-1''=О.
О. Рассмотрим первое приближение, Из условия (8.74) исключим неизвестную «0 и получим условие для функц ро: 2 д ~ро 1 дсро — + — — =О при г О. дф Х, д3 д М в1п 1+Я сов $; -(), ифй. (о) Отсюда следует,что первое приближение задачи имеет вид: ср, (М в1п Й+М сов Й) — Ф; (о) . (о) (8.87) Хф - (М соа$-Н в1п1)у (о) (о) .
(8.88) Константы М и л должны определиться из после(о) ~„.(о) дуюших приближений, 7. Рассмотрим второе приближение. Прежде всего вычислим функции А1 и В1 ° Проводя те же выкладки, что и в первом разделе, находим: М(0)Уд(0) . 2~ А(1) В - -~(М, -)Ч, ) — В а1п 2Ф-М, М, сов2й — В 1 (0)2 (0) 2 1 (1) . (0) (0) 1 (1) 8 8 (1) (1) (1) где функции А, А2, В2 вычисляются по формулам (8.25). Используя разложейия этих функций в ряды Фурье (8 26), граничные условия (8.78) и (8.79) можно записать в виде: д2 д~,, д, „(1) — + — - -Е с~ д$2 Х д,~ 2и 2 2 2л (М") -Х(') )в1п21+ ю (О) 2 (0) 2 (1) ~М +Х )ио„+ л-1 2~(М вЂ” Х, )со 2~— (0)2 (0)2 (1) а ф-Х вЂ” е 2л и зд1 Х, вЫ21 (О) (О) (8.90) Заметим, что в суммах в правых частях этих равенств опушены члены,соответетвуюшие Н О.
Это можно сделать, добавив к потенциалу функцию, зависяшую только от времени. Необходимые выкладки были подробно проведены в в 1 этой главы. Решение задачи для потеипиала у будем искать в виде Условие (8.88) дает нам беаконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения неизвестных функций ф(1) и 2 (1) " Ю, ) и (1) (1) 1 1 (1)~ Г (О)2 (О)2 + — "(1 - — а — — -~; ф ~ ~(М -И ) в1п 21+ 1 2 Х и 2и 2~ 2и~ ~ в 8 Я 8 +2М И соз21, )1 =1,2,.... (О) (О) Единственное периодическое решение системы периода 2к имеет вид: (1) 1 1 (1) "2.-~ т ~2з + 2М, И, сов 21 (о) (о) Ч ' (М -М )в(п21+2М И сов 21, 11 ~ в, (1) 2" ~, (О)' (О)2 . (О) (О) и х 3 8 в 8 ф+ и в котором произвольные постоянные Ч~ и л также должны определяться из следующих приближений, Теперь из формул (8.80), (8.01) можно получить второе приближение задачи: (1) 1 1 (1) (1) , (1) 1 " 2 ), 2" (О)2 (0)2 (р (М з1п1+И сов1) — Ф вЂ” Е (М -Й )в1п21+ 8 3 я Х 8 и Х (О) (О) +2М, И, сов21 (8.92) = -(М сов1-И в(п 1)у + Л Е ~(М +И )ссО„+ (1) (1) , 1 (0)2 (0)2 (1) и 1 ~и (1) 2 (1) — и (0)..(о) .
-И, ) з21-М,.я, з1п21 ~ . (й.9З) ф+ — и 2 8. Для того чтобы определить произвольные постоянные М(0) и И (0), рассмотрим третье приближение задачи. -22В- (1) 1 (1) . (1) Х, 6 = — ( М в1п1+И~ сов 1) + с (О)2 (О)2 - И )з1п 21+ Прежде всего вычислим функции Аг и Вг. Проделав необ- ходимые выкладки, получим; В2 (М +Х )( М з1п 1+Х соз 1)В1 + (о)2 (о)2 (о) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
