Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 28
Текст из файла (страница 28)
(о) (2) (2) (2) где функции А1 и В1 в точности совпадают с соответ- ствующими функциями, выписанными в первом параграфе (см, формулу (8.34 )). Многоточие показывает, что далее идут члены, которые не включают в себя з1п $ и соз1. Эти члены зависят от М(1), Х(1), М( ), Х( ), содержат фун- кцию з1п 2Ф, сов 2$, в|п ЗФ, соз3$ и могут быть легко под- считаны. Ради краткости их опустили, Точно также, как было сделано в первом параграфе, функции А(2) и В(г) можно привести к удобному для вы- 1 1 числений виду: А Е а ~у ., В1 - Е (2) ~ (2) (2) (2) (8.95) 1 0 1и и' 1 о 1и и Коэффициенты а1 и ~ вычисляются по формулам (2) (2) (8,37), с помощью разложений (8.35).
Функпию ~(х,у) также разложим в ряд Фурье на сво- бодной поверхности по функциям уи ~ это разложение за- дается формулами (8Я7). После этогр, добавив к потен- пиалу е соответствующую функцию времени, как было сделано в первом параграфе, граничные условия (8.82) н (8.83) можно преобразовать к виду: д 92 1 дч 2 оо (0) 2 (0) 2 (0) + — — Е С соз1 у +(М +Х )(М з1иФ+ г ),,дй и и и з з з +Х соз$) е а — — ~ Ф +.- (0) ~ (2) 1 (2) 1и Х 1и и (8.96) 00 (о)2 (о)2 (о) Г х е с з1п1 ч/ -х (М +Х КМ созыв и 1 -Х з1п$) Е а Ф -Х вЂ” + ". (о) .
- (2) дчз з „1и и 4 д~ Потенпиал у будем искать в виде ~2 ~1 ( ) и и 1 и (8.98) Из условия (8.98) получим бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения неизвестных функций ф 2) г в Д12 Х В вЂ” + — и д~~) =с совФ+(М +К )(М в1пй+И совф) х (О)2 (О) 2 (О) . (О) з з з 3 / (2) ~ (2)1 х~~~1„— ), Р ~+..., Из(в1 2 (2) — +~( ) с сов$+(М +М )(М в1М+Я сов1) х (О)2 (О)2 (О) . (О) ~~2 з з з з з з Г(2) 1 (2) ха — — )) +.... ~ 1з ), 1з Многоточие показывает, что далее следуют члены 81п 2~, сов 2$, в1п3$, сов 31, краффициенты которых зависят от про- извольных постоянных М (О) Я (О) М(1) Я (1) и известз ' з ' з ' з ных величин, Необходимым и достаточным условием существования период ич еского решения период а 2я этой системы являет- ся выполнение равенств: „ (О) „ (О)2 „ (О) 2 ~ (2) 1 (2) ~ 1з )~, ~1з / ~(О) ~(О)2 ~(О)2 ~ (2) 1 (2) з з з ~ 1з ), 1з / з ' (О) (О) Из этих условий определяются постоянные М и Х .з (О) (О)8 а, (8.99) (2) 1 (2) и 1з Х 1з Эти постоянные определяют амплитуду и фазу функции ~О ° Решая систему уравнений, полученную из условия (8.88), можно найти а (2) .
Онн буцут выражаться через произ- вольные постояйные М 1) и И (1) ° Кроме того, функция в(2) будет содержать комбинации 1~~2)81п1+М2)сов,' с новыми произвольными постоянными. Все эти постоянные должны быть определены из последующих приближений. 6. Теперь можно выписать решение задачи о выну- жденных колебаниях жидкости в сосуде. Нсрззоваксвый случай.
Из формул (8Л8) н (8,70), возвращаясь снова к размерным переменным, получаем: — ~В Ф с~ ' р.~ К Е сов р1 .Ф„+ ...; (8.1()()) е 1 о г 2 Р— 228- ф пСп ~Й е а1 и Р1 * ч> + .... п=1 -1+— и 112 (8.100) Резонансный случай. Из формул (8 72), (8.87), (8.88), (8.89)> переходя снова к размерным переменным, получаем." Ъу Ф соя Р1 .ф ф у> 2 9 =-р Рй рез х (2) 1 ( 1в Х 1 (8.101) 1у ь Ф в1п Р1 '~> + в 1 Ф ~>з --р, й рез (2) 1 (2 18 ), 1в Л ц.1Я1П Р1 где Х вЂ” координата левой стенки канала. Тогда, очевидно, ц = - рЛ Р2 в 1п Р $ 3> откуда следует, что 1 =-р ~~х > а 1 -Х. Положим в 1 и рассчитаем резонансную амплитуду колебаний главной гармоники жид кости.
Ранее (см, Ф 1 этой главы) было найдено, что в этом случае З2 1п~ й а = и — Йт~В (2) ( 1 1 1 9 1 11 116 З2 й В "2 й17~)1 12) / 1 3 1 3 1 — 7~ — — — '; + Ф 11 1, 8 '2 1),2 )1 16 11,4пЯ/ )1- й й. Нетрудно вычислить коэффициент С1, Он равен 1 2 с — 2 ~ х сов и х Их = 4/л 1 О Теперь по формуле (8.101) можно получить приближенную величину резонансной амплитуды ПРИ М 8 Р.
Изучим вынужденные колебания жидкости в прямоугольном канале, рассмотренном в 61 этой главы. Предположим, что канал колеблется по закону Отметим в заключение следующее обстоятельство. В 61 было показано, что к — — ~ = 0 при 6=0 332. Поэ- (2) 1 (2) 11 ), 11 $ тому при 8=0,332 формула (8.99) (или (8.101)) теряет смысл, Это означает лишь то, что при данном значении глубины жидкости 82 О, и решение задачи следует искать не в ви" 1 де разложения (8.72) по целым степеням параметра ~ р,4 1 Бр+3 а по целым степеням параметра ч=р, ' ~ где 2(Г + 1) — но- 0 мер первого коэффициента 82(~ + 1), отличного от нуля1). 1) См. сноску на стр, 223. 1'лава дввяяая КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ 5 1.
Постановка задачи Рассмотрим движение жи жидкости в неподвижном сосде. Как обычно вве дем декартову систем сосуОхух, плоскость ху у координат у которой совпадает со свобо верхностью жидкости сво одной поти в положении равновесия Я а ос направлена против вектора уско ени (рис.
65) У с.. равнение дна сос да — см ктора ускорения силы тяжести сти Е— — напишем в виде у — смоченной поверхно- г- у(х,у). В этой главе рассматривается задача о ко жидкости малой глубины Го ча о колебаниях глу ины, оворя, что глубина жид кости Рис. 65 — 231- мала, мы подразумеваем под этим, что от ны жидкости тах , '~Х этим, что отношение глубити тах,'у ~~Х,у)~ к наименьшему харак х рактерному размеру плоской фигуры 5 мало т воляет развить асимптотичес ры мало. Это обстоятельство лов з вается значительно п о кую тео ию о р, к торая оказы- можность вместо льно проше, чем исходная - о на дает воз- мерную, трехмерной з а адачи рассматривать двуАсимптотическая теор используя некоторую ап ио теория позволяет п упростить зад ачу, ю априорную информацию о поведении реп;ения.
Например, можно строить асимптотическое ре- шение, предложив заранее, что д2~ — =О(в); — =- 0(е2); ду д»2 ); — -= 0(в ); д9 ду2 д1 — - = О(е); дх (0.1) — =О(в д~1 д»ду дз~ г)( э) дх здесь 1(»,7,2) — некоторая функция, характеризующая течение, например форма свободной поверхности, а е — малый параметр.
В качестве этого параметра можно выбрать отношение глубины жидкости Л к наименьшему диаметру Фигуры Б. Вообще говоря, могут быть приняты и другие априорные оценки, тогда формулировка упрощенной задачи будет другой. Получив решение, мы апостериори должны проверить, удовлетворяет ли это решение исходным предположениям, принятым при построении теории. 5 2. Асимнтотические уравнений колебаний жидкости малой глуГ1ины 1. Напомним, что задача расч ",та колебаний' жидкости с потенциалом скорости требуе определения функций ц (Х, у, Е, 1 ) - потенциала скорости — и «(Х, У, 1 ) — формы свободной поверхности, — удовлетворяющих следующей сис теме уравнений и граничных условий: (".2) д2' д<,~ — +а«+11(»,;,, «,1)+ — г, р) +( — 1 = О; 1 2 ~дч~ ()'-') ~~« +7«7(Р = д1 ' дг (~) 4) д~р — = ().
ди — 232- Условия (9,3) и (0.4) должны быть выполнены на поверхности волны 2= «(Х, у', $).Условие (9.5) должно выполняться ка смоченной поверхности сосуда 2 = т(»,у ), через й обозначена нормаль к этой поверхности. Оператор Лаплаа ~~ и Гамильтона г берутся по переменным Х и 7, Г раничное условие (9.5) можно переписать в виде ~~-,~ [ т~ », У) - 21= 0 или дср ду дср ду дср (9.6) дх дх ду ду дх 2, Рассмотрим сначала вспомогательную задачу; определить функцию ср> гармоническую и области т, занятой жидкостью д Ьср+ — = Ц дх2 (9.7) по ~словиям ср = а(х,у, Е) при х = «(х,у, й); (9.8) дсрду дуду дср при х Поверхность жидкости Х «(Х, У, с ) вестной, Будем считать, что справедливы сделаем растяжение по осям Х и У, менные Х, у, Х по формулам: Х = Х1/6~ У У1/е ' Х у(х, у). (9 9) предполагается из- оценки типа (8.1), и введ я новые пере- Смысл этой замены переменных очевиден — в переменных Х1, У, Е1 все три характерных линейных размера становятся од ного поряд к а.
В новых переменных уравнение (0.7) и граничные условия (0.8), (0,0) принимают следуюший вид; 2 д ср е о ср+ — =О~ (9.10) дх 1 при Х = Ц(Х1, У1, Ф); (9 ° 11) 'р=" (Х1 У1 1) э о срс7 у — — = О при х = у (Х,у ), (912) 2 дср 21 (9.33) здесь Л и Ч вЂ” соответственно операторы Лапласа и Га- 1 1 мильтона по переменным Х1,У1, а'(Х1,У1,1) 4Х,У,$)=ФХ /е, У1/,,1), ~(Х1,У1,й)-«(Х,у,й)= «(Х /е,у /аМ, у (Х,у ) - у(Х,У) = = у(Х /е у /е). Уравнейие (0.10) и граничное условие (0.12) содержат малый параметр е, поэтому решение задачи (0.10)-(0.12) естественно разыскивать в виде ряда 2 4 ср= ср +е ср +е ср +... (9.14 ) (9.14 ) (9.14 ) (9.15 ) (9.15 "') (9.15 ) Подставляя ряд (9,13) в уравнение (9.10) и условии (8.11), (9,12), найдем, что функции ~р. должны удовлетворять следующим уравнениям и граничным условиям: д 'ро 2 — =0; 2 дх - а'(х,у1,1) при - ~(Х1, у1,1); дро дх — -0 при х у(х,у ); 1 1 д р1 ° в Ь ц) дх2 1 о' '1 0 ПРи Х1 Ц(Х1 Р У1 Р 1 ) У дя~ 1 О =79 Ч Т пРи Х1 = ~1(Х„У1); ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° д2р, — — Ь ~р (9.16 ) дх2 / 1 ю я).ж 0 при 21 ц(Х1, У1, С ); (9.16 ) вел — ~.
= Чр 1Чр при Х1- у1(Х1,У1). (9.16 ) Будем решать краевую задачу (8,14). Общее решение уравнения (8.14 ) имеет вид ро - Ьо(Х1,у,,й)х, ао(х,,у,,О, (9.17) где ао(х1,У1,1) и бо(х У1,$) — произвольные функции своих аргументов. Подставляя выражение (9.17) в условие (9.14"'), получим бо(Х1,У1 О = О. Из условия (8.14 ) находим, что а о(Х1, у1, О - а'(х1, У1, 1) . Таким образом, решение краевой задачи (8.14) имеет вид - а'(х,у,й), (9.18) Перейдем к решению краевой задачи (9.15). Общее решение уравнения (9.15 ) имеет вид р - - - л а' х 2 + о (х, у, 1) х + а,(х, у, О, (9.19) 1 2 1 1 1 1' 1' — 234- где ад и й д — произвольные функции своих аргументов. Условия (9.15 ) и (9.15 ) дают нам следующие уравнения для определения этих функций: -~ ьда' ц' +Ьд(хд,у„Оц+ад(х„уд, О-0; Тд + йд(хдю Удю ~) = Ч да Ч Тд ~ Р еш ая эту систему, мы наход им, что бд - Ч да'Ч Т, + Ьда' Тд -7 д(Т17да' ); 1 ~ 2 Ф ад - -Л а Ц -Чд(Тддда )Ц.
Подставляя эти выражения в обшее решение (0.18 ), по- лучаем решение краевой задачи (9.15) в виде Р - -л а (~ -х )-д (т ч а )(~-хд). ,1 э 2 2 Ф д 2 д д д д д (9.20) р- а(х,у,О+~-ла(~2-х')- д(т~а)(~ х)+ .... (9.21) Ряд (9.21) дает формальное решение вспомогательной краевой задачи: будучи подставленным в уравнение (9.7) и граничные условия (9.8), (9.9), он обращает в нуль левые части этих равенств. В общем случае этот ряд не сходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
