Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Разумеется, этот вопрос следует изучать в рамках линейной теории. С другой стороны, сушествует целый ряд прикладных задач, линейная трактовка которых недостаточна. Самым ярким примером такого рода задач является проблема Резонансных колебаний. Если частота возмущаюшей силы приближается к одной из частот свободных колебаний, то, хах мм уже видели, амппитуда хопебаннй неограниченно 1) Этим термином называется явление генерирования стоячих волн акватории порта или залива волнами, приходяшими нз открытого Вщря, возрастает, Однако опыт показывает, что амплитуда при любой частоте внешней силы конечна, если только амплитуда этой силы не очень велика Для объяснения этого факта нет необходимости учитывать вязкость жидкости, Она все равно очень мала, и резонансная амплитуда окажется больше амплитуды Стокса, В то же время точная постановка нелинейной задачи для идеальной жидкости описывает эти явления. В упомянутой выше проблеме тягуна мало определить опасные места ( пересечение линий узлов с береговой линией), надо еше знать амплитуду резонансных колебаний.
Эта задача может быть решена только в нелинейной постановке. Следует заметить, что нелинейная задача о колебаниях жидкости очень сложна. В чисто математическом аспекте она совершенно не изучена, н нет никаких строгих решений. В то же время сушествует целый ряд алгоритмов, которые позволяют дать приближенное решение (см.,например, (32, 33 или 341). К изложению одного из этих алгоритмов мы приступаем. 51, Свободные колебания жидкости в сосуде (8.1) Лср» О, 1. Рассмотрим свободные колебания жидкости в неподвижном сосуде, Для простоты предположим, что сосуд имеет форму пилиндра. (дно цилиндра не обязательно плоское, но предполагается, что свободная поверхность жидкости пересекает пилиндрическую стенку сосуда), Как обычно, область, занятую жидкостью (и ее объем), обозначим через т невозмушенную свободную поверхность жидкости (и ее плошадь) - через 5, а смоченную поверхность сосуда (и ее плошадь) — через Е.
Введем систему координат ОХ'у'х ', плоскость Х~у~ которой совпадает с невозмушенной свободной поверхностью 5, а ось й' направлена вертикально вверх (против вектора ускорения силы тяжести й ), Предположим, что движение жидкости потенциально и обозначим потенциал скорости через у'(я',у~д~,~).Возвышение свободной поверхности жидкости над плоскостью Я обозначим через Х' ~'(х',у',1'). В первой главе было показано, что функция ср~(Х',у',Л',В') является гармонической в области, занятой ж ид костью: и удовлетворяет следующим граничным условиям: ф ~, +1 (чей') +ц~' О при 2' г,'(х',у',й')„(8.2) при 2' ~'(Х',у',й' ); (8.3) а~' д~' — 0 дср' на поверхности е .
(8.4) дп Пусть характерный размер свободной поверхности 5 сосуда Й. Кроме того, введем величину о, размерность которой Т 1, где Т вЂ” размерность времени, Величину о определим несколько позднее, Введем безразмерные переменные ХД~,Е,3,с~ и ~ по формулам: Х Хй; У Уй; 2' 2Й; 1 1~о~; ~ ~ей а', ~ Цай, где е " безразмерный параметр, Ниже будет ясно, что вто некоторая безразмерная амплитуда волн, Будем счи- тать е <(". В новых переменных краевая задача(8.1)-(8.4 ) принимает вид: (8.5) д% 1 1 2 д$ Л вЂ” + — ~ — у е( Чср) при й е~; (8.8) при ю- е~; д~ — 0 ди на поверхности Е ° (8.8) Через Л здесь обозначена безразмерная комбинапия о Й/ф.
2 Нетрудно видеть, что при е =О задача (8.5)-(8.8) становится линейной, и решение ее описывает бесконечно малые колебания жидкости в данном сосуде. Определим теперь величину о как частоту З-й главной формы малых свободных колебайий. 2, Будем строить решение исходной задачи, которое при е-~0 переходит в 3-ю главную форму соответствуюшей линейной задачи. Это означает, что надо построить периодическое решение задачи (8.5)-(8.8), период которого близок 2п.Яля построения етого решения формально используем метод Л.М. Ляпунова, который часто применяет'ся для отыскания периодических движений нелинейных систем с конечным числом степеней свободы (см., например, (25) ).
Итак, будем искать рещение задачи (8.6)-(8.8) в виде: ОЮ и ОФ и 'ри ~ ~ ~и (6.9) и~О и~О Например, 2 ~р(2~ Уу е~> 1) (~р) + В~+ з ~ + ° ° ° ° д%1д922 о дно 2 д22 Индекс ( ) показывает, что значения функций взяты на невозмущейной свободной поверхности, т,е, при 2=0. Бслн А — оператор, примененный к функции у~ то соответственно Ау(й,)~, е~ $) (А~р) + — А~р в~+- — Ау/ е ~ +*... д ' 1д' д2 о 2 д 2 о Подставив в зти формулы разложения ( 8,9), получим окончательно: ~р(йу еГ, В)ы(у ) +е ср 0 др др,,д р02 2 +е 9 + ~Г + — ~ + — ~ +.„; д2 0 д2 1 2 д 2 о 0 АсрФ,У,е~,$) - (А'ро)о+ А С~1+ ~0 — А~ро о А'р2+~о д — Ау1+~1д — А~ро+ 2 ~о — ГАсро + 4Фе ° Подставим теперь разложения (8.9), (8.10) вместе с последними формулами в условия (8Л)-(8.8), приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е и получим следующие условия для определения функций у ~ ~ и и' ~ 'РО дф — Я+ — ~ -О дт Х в области т; при к О; (8.12) и сделаем замену независимой переменной $ (8.16) 1+ Я Еиви и-1 где Ви - неизвестные числа, Прежде чем подставлять эти формулы в условия (8Л)- (3,3), разложим все величины на свободной поверхности в ряд Тейлора по е~ и ограничимся членами порядка е2.
— эв Х ц/ ° дй При этом предполагается, что Х0 О. Исходя из всего этого, будем искать решение задачи (8.11)-(8.14) в виде ряда ~0 ри ( ) и' (О) и*1 Тем самым удовлетворяются условия (8.11)-(8.14). Исклю" чим теперь с помошью дифференцирования из условий (8.12) и (8.13) функцию 2 ~0 1 ~0 — + — — - О. ат2 Х~ ЗХ Подставим в это уравнение ряд для функции у . Тогда в силу полноты системы функций 1у ) задача сведетп ся к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений 2 (О) ри и (0) — "р О, Дт2 Х~ й 1,2,.... Так как начало отсчета времени произвольное, то единственное периодическое решение с периодом 2я этой системы имеет вид: р -О, иФз; р ссозт.
(О) В з - 200- Таким образом, задача сведена к отысканию периодических решений периода 2~с задач (8.11)-(8.14), (8.1о) (8.18), (8,1а)-(8Ла) и т.д. 3. Рассмотрим нулевое приближение. Функции ср и ~ должны быть решением известной однородной лийейной задачи (8.11 )" (8.14) . Предположим, что нам известно решение задачи о свободных колебаниях жидкости в данном сосуде, и обозначим через Фл собственные функции, а через Хв - собственные значения этой задачи.
В третьей, четвертой, пятой и шестой главах подробно описаны методы решения этой задачи для широкого класса областей т. Обозначим через ~ (к,у) значении функций Ф„на свободной поверхности ~, Напомним, что система функций 1у„) вместе с функцией у0 1 полна в области 5 и что при к О справедливо равенство Доложим С 1/Х и получим окончательно ср — Ф сон т. О ) з (8.23) Тогда иэ условия (8 12) находим, что (8.24) А -АΠ— -А сов 2т; 1 (1) 1 (1) 2 О 2 2 В - — В а1ц2г, 1 1 (1) 1 2~, 2 где ---~(~а ); (1) О з 2~ з А =е + — — (де) (1) 2 1 1 2 2 з 2 2 з (8.25) Разложим функции АО, А2 и В2 в ряд Фурье по (1) (1) (1) функциям у„ на свободной поверхности Я: О О " ' О 2 ~ О (1) - (1) (1) 1 (1) п (1) " (1) 2 2и ~п' п О 2п 2 ~ 2 ~п (1) 1 (1) п (8.26) (1) (1) Ф Ф ) п=О 2п п' (1) 1 (1) 2п 2 ~ 2 и где п ~~и 2 2 5 у Ыпт.
О з 4, Рассмотрим первое приближение. Функции у1 и ~1 являются решениями неоднородной линейной задачи (8.1о)- (8.18). Подставив в выражения для А (~р ~ ) и В (у ~ ) формулы (8.23) и (8.24), находим правйе части в условиях (8.18) и (8.17): Учитывая все эти результаты, условия (8.16), (8.17) можно записать в виде д р, 1 01 (1) (1) д'с Хз 1 Х з 2 про Оп 2п — з+ — ~ — — у вшт+- Е (а -а сов 2~)у; (8.27) и' д~ дср 1 1 " (1) — = — + а у сов т+ — — Е Р вш2т у . (8.28) 1 з 2Х п 0 2п и' С помощью дифференцирования исключим из этих соотношений функцию с, и получим граничное условие для функции у на свободной поверхности 5: д "р1 1 д91 81 (1) 1 1 (1) 2 2+ 2 у сов с+ Е а „- — — ~ в1п2т.~р, дт )'з дх Х з О 2п 2 )2 2и п Проинтегрируем это условие по свободной поверхности Я и потребуем, чтобы интеграл ос1рашался в нуль.
Нетрудно показать, что это можно сделать, положив сР1 ~Р1+11(т) ° Функция 11(т) определяется из условия ~2~ "~'1 ~(1) 11 (1)~ — ~а — — — ~ ~ в1п2т 20 2 ~2 20( Йт з После того как найден потенциал ср1, из условия (8,27) можно найти функцию с, - -е р в1пт-Х С +-) а . -- — р сов2т+ (1) 1' (1) 11 (1) 1 1 з з 1 2 з 00' 4 )~ 20 з + — Х Е (а -а сов 2т)~р - Х вЂ” ° 1 (1) (1) д ~р1 2 з 1 Оп 2п з дт' (8.30) Из условия несжимаемости жидкости и постоянства ее объема следует, что -202- откуда следует, что 11( ) СО +С1 т а2о 2 р20 в1п2 (1) (1) 1 (1) 1 1 (1) 1 4 20 2 Х2 20 Потенциал ~р должен удовлетворять уравнению (8.15), граничному условию на смоченной поверхности (8.18) и следующему граничному условию на свободной поверхности Я: д2ср, 1 дср, 81 (1) 1 1 (1) дт2 Хз дУ Х вЂ” '+ — — -2 — р сов т+ Е а —.— — ~ 1п2т у .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
