Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Как было показано в 63 третьей главы, в этом случае каждая гармоника имеет двойной номер й 11,~!, где первая цифра указывает число узловых линий по полярному углу 8, а вторая - число узловых линий по радиусу. Рассмотрим затухание двух первых осесимметричных гармоник (н (0,11,И (0,2)) и двух первых гармоник, имеющих одну узловую линию (и (1,11, И (1,21), Из табл, 2 находим соответствующие ~„: Р'О1 Зг832 ~О2" 7 010 ~ 1т841' Р'1Я 5'331 На рис. 60 приведены графики зависимости коэффициентов С„(л) от глубины й (штриховые кривые проведены в те интервалы Ь, для которых построенное приближенное решение дает уже большие ошибки; 1 — И-10,Ц; 3 — И-10,21; 3 — И 11,Ц; 4 — И ~ 1,2О.
Из этих графиков видно, что, ~ф // о юл дФ дю ою гоК )9 во-первых, демпфирование тем больше, чем меньше глубина жидкости, а во-вторых, что сильнее всего демпфируются первые гармоники соответствующих форм. При этом одноузловые формы демпфируются сильнее, чем осесимметричные. На рис.81 показана зависимость среднего ксэффициента демпфирования бэ от скорости истечения жидкости Й. При расчетах принималось Я 9,81 м/век ~ К 1,н.Сплошными кривыми показана зависимость бц.
10 от скорости истечения при глубине 5=0,3. Штриховые кривые показывают зависимость Ьл. 10 8 от скорости истечения при Б 1 (1-н ~0,Ц~ 2 — ю ~0,21; 3-И 11,Ц;4-н 11,21). Интересно было бы сравнить величину демпфирования колебаний жидкости вследствие вытекания с соответствующим демпфированием колебаний из-за вязкости. К сожалению, не существует опубликованных расчетов колебаний вязкой жидкости в цилиндре, Чтобы получить представление хотя. бы о порядке этой величины, используем результаты приближенного решения плоской задачи о колебаниях вязкой жидкости между вертикальными стенками, -189- расстояние между которыми 2Й [2Щ .
Показано, что коэф- фициент затухания где ч — кинематическая вязкость жидкости, а И вЂ” номер гармоники. С помощью этой формулы вычислим средний коэффициент демпфирования '5„.5„2г~/а„. Для воды Рис, й 1,4 ° 10 0,8 ° 10 "~ 0,6 ° 10~ 08 ° 10 3 0,3 0,7 ° 10 3 1,1 ° 10 0,6 ° 10 3 0 7 ° 10-3 1,0 ч = 10 ~мосек. Результаты вычислений сведены в табл.9. Отсюда видно, что при и 1 демпфирование колебаний из-за вязкости примерно на два порядка больше демпфирования колебаний вследствие вытекания жидкости. Таблица 9 Исключение составляет демпфирование одноузловой формы, В этом случае демпфирование колебаний из-за вытекания жидкости сравнимо с демпфированием вследствие вязкости.
При 11 =0,3 демпфирование вследствие вытекания 1кидкости превосходит демпфирование вследствие вязкости, особенно в случае одноузловой формы. В заключение приведем приближенное асимптотическое решение уравнений (7.38), Уравнение (7,47) с помощью выражения (7.49) можно преобразовать к виду 4 й к„)1 — 1п а - — -1п й " 0~4 6 отсюда (7.50) где А „- произвольная постоянная, Комбинируя теперь формулы (7.40), (7.45) и (7.50), можно получить приближенное решение системы (7.39) ю ои о ~16'+ ~ ) и ~ 1у2 ° ° ее ° и А„ Произвольные постоянные Ал и ул должны определяться начальными условиями ~ ~ и И~/Й (д~/Й ) при $0.
54. ОбщиИ случаИ движении полости с жидкостью. Потенциалы Жуковского -191- До сих пор рассматривался простейший случай движения сосуда с жидкостью — поступательное движение, Теперь рассмотрим движение полости с поворотами и покажем, что это обстоятельство не сильно усложняет задачу, разумеется, если задача снова может быть линеарнзирована, Итак, пусть сосуд, частично заполненный жидкостью, совершает некоторое движение. Выберем некоторую точку О, неподвижную относительно стенок сосуда, и свяжем с ней две системы координат; 1 ) поступательно движушуюся систему координат Оц~~; 2) связанную с сосудом систему координат Охул. движение сосуда можно описать скоростью 0 точки О относительно некоторой инерпиальной системы координат и угловой скоростью ю вращения сосуда относительно осей ОЦ~~ (или, что то же самое, вращении осей Охуй относительно О~дс). (7.51) в области с; (7.52) на поверхности Е; на поверхности Я(г=1); (7.53) — ~+(д+%' )~- -И~„х — $ у на поверхности 5(л- И).
(7.54) д1 Движение жидкости будем рассматривать в системе координат 0~~~. Тогда к действующей массовой силе тяжести интенсивности Д надо добавить массовую силу инерции, интенсивность которой -((~ -Иц/И1. Эта сила потенциальна, поэтому движение жидкости будет потенциально, если только оно было потенциальным в начальный момент времени. Условия, при которых задача допускает линеаризацию, обсуждались уже в 6 1. В конечном счете они сводятся к тому, что вектор интенсивности массовых сил д+5~ должен медленно изменяться со временем и составлять с осью 02 Малый угол. Это условие может быть выполнено в двух случаях: 1 ) если сила инерции много больше силы тяжести Я» ф и сила инерции все время составляет с осью Ой малый угол, При этом углы поворота осей Охя относительно осей ОЦ~~ могут быть не малыми, но величины угловой скорости й и углового ускорения е да/д$ должны быть малыми; 2) если сила инерции много меньше силы тяжести (У«р) н углы поворота осей Одури относительно осей 0~~~ малы вместе со своими первыми и вторыми производными по времени (т.е, малы угловая скорость ш и угловое ускорение е).
Допустим, что выполнено одно из этих условий и задача о движении жидкости может быть линеаризирована. В системе координат О~~~ сосуд с жидкостью вращается с угловой скоростью ш, Еше раз напомним, что движение жидкости будет рассматриваться в системе координат О~~~. Однако при этом будем считать, что все величины зависят от переменных Х,у,~ и все векторные величины будем проектировать на оси ОХ~Х. Пусть в системе координат ОХуй уравнение невозмушенной свободной поверхности имеет вид 2 )1. Тогда потенциал скорости жидкости ~(Х,У,1„1) и функция х ~(Х,~,1) — возвышение свободной поверхности над плоскостью 2=И вЂ” должны удовлетворять следую|дему уравнению и граничным условиям; Как и прежде, через т обозначена область, занятая жидкостью; через Е - смоченная поверхность сосуда, а через 5 — невозмушенная свободная поверхность жидкости. Нормальная составляющая скорости стенки сосуда Ул вычисляется по формуле где 1' — радиус-вектор точки на стенке сосуда относи- Е Ф тельно точки О, а И вЂ” единичный вектор внешней нормали к поверхности Е .
После циклической перестановки членов смешанного произведения получим окончательно, что У (У хИ)а (7.55) -е -е .+ У (1 хИ) м~ и где Г - радиус-вектор точки на "затвердевшей свобод- Я .Ф ной поверхности $, а и — единичный вектор внешней нормали к этой поверхности. Решение задачи (7.51)-(7.54) будем искать в виде где вектор-функция у с проекциями у ~ у2, у 3 уд овлетво- ряет условиям: (7.57) в области т; а~ — 1'х И на поверхности Е+5.
дИ Решение сформулированной краевой задачи зависит лишь от формы области т занятой жидкостью, и может быть найдено отдельно, Функция ~ описывает движение жидкости, полностью заполняющей полость, ограниченную твердыми стенками Е+Я, ее называют потенциалом Жуковского1). И~ Н,Е Жу ~~ й Ру~~~ О Р~~~* полос сти, нанолнениые однородной капельиой жидкостью" 130) дал ионное решение етой задачи. — 193- В кинематическое условие на свободной поверхности входит величина У ° Зто скорость, которую имели бы частицы жидкости на ее свободной поверхности, если бы она была закрыта твердой крышкой, жестко связанной со стенками сосуда. Очевидно, что с принятой точностью Примечание, Решение краевой задачи (7Л7)-(7.58) эквивалентно нахождению минимума функционалов 1(ср,) - Г(Ч ср,.) дс-2 /' ср,,(Уха),.И5, т Е+й где через (р х И); обозначена проекция вектора Гхю на соответствуюшую ось, Решение этой вариационной задачи может быть построено методом Ритпа1).
Итак, будем считать, что функция ф известна, Тогда из соотношений (7.51 )-(7Л6) следует, что потенциал ~р должен быть решением краевой задачи: в области т1 д~ — =О дп д~р д~ дг д1 на поверхности Е; на поверхности 51 дя~ д®~ дЕ ' " У дЮ. — +(Я+У )~=-Ж Х вЂ” й' У- — ~р на поверхности Я. 11 Расчеты потенциалов Жуковского и связанных с ними динамических характеристик жидкости можно найти в работах [19,21, 311 Эта краевая задача отличается от краевой задачи (7 10)- (7.14) только тем, что в правой части динамического условия на свободной поверхности 5 появилось дополнительное известное слагаемое ( 4Й/Й )~~р. Таким образом, эта задача может быть решена аналогично задаче (7,10)- (7,14), Надо только разложить в ряд Фурье на свободной поверхности 5 функцию ф по функциям у п' Глава восьмая НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ В ОГРАНИЧЕННОМ ОБЪЕМЕ В предыдуших главах рассматривались только линейные колебания жидкости, т,е. колебания малой амплитуды.
Эти колебания описывались линеаризированными уравнениями гидродинамики, Волновые движения жидкости обладают одной очень важной особенностью — амплитуда волны не может превосходить некоторого предельного значения (так называемой амплитуды Стокса). Опытным путем установлено, что волна, амплитуда которой больше амплитуды Стокса, не может быть установившейся: она разрушается. Каждой длине волны соответствует свое значение предельной амплитуды, но при этом наклон касательной к профилю волны ни при каких обстоятельствах не может превосходить числа и/6.
Таким образом,на практике встречаются с волнами весьма пологими н небольшой амплитуды. Кажется, что это обстоятельство служит убедительным оправданием интереса, который проявляется к линейной теории колебаний жидкости. Эта теория во многих прикладных задачах служит надежным средством исследования, и ее выводы с успехом применяются. К числу таких задач относятся прежде всего задачи о вычислении собственных частот и форм свободных колебаний жидкости. Подобного рода примеров можно привести много. Например, в проблеме "тягуна" 1> прежде всего необходимо определить точки пересечения линий узлов волн с контуром акватории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
