Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Теперь мы расширим круг рассматриваемых физических задач и предположим, что жидкость движется под действием некоторых внешних постоянно действующих сил. Такое движение жидкости и называют вынужденными колебаниями, Задачи о вынужденных колебаниях можно разделить на два разных класса, К первому относятся задачи о ко.- лебаниях жидкости в сосудах, которые движутся с заданным ускорением (как функция времени). Ко второму классу — задачи о вынужденных колебаниях жидкости в бассейне под действием заданных волн, которые проникают в бассейн через вход в одной из его стенок, Методы решения первых и вторых задач совершенно различные ° Б рамках настоящей книги можно рассмотреть только первый класс задач. Задачи второго класса имеют свою отдельную обширную библиографию.
Итак, рассмотрим колебания идеальной несжимаемой жидкости, которая занимает часть сосуда, совершающего заданное движение, Единственной массовой силой по-прежнему будем считать силу тяжести. Ограничимся самым Рис. 58 Предположим, что движение жидкости началось из состояния покоя.
Тогда оно будет потенциальным, Из первой главы следует, что в системе координат РХУ~ задача о движении жидкости формулируется следующим образом: (7.1) в области ~; при 2 )И,У,~); дскб' 1,. 2 — +-(чч') +В1-О 2 (7.2) простым случаем и предположим, что движение сосуда поступательное, Тогда его можно характеризовать скоростью Ц($) и ускорением ЖИ) произвольной точки сосуда. Как обычно, обозначим область, занятую жидкостью (и ее объем) через т, смоченную поверхность сосуда(и ее площадь) через Е, а свободную поверхность жидкости в положении равновесия (и ее площадь) через 5, Введем инерциальную систему координат ОХТА и неинерциальную систему координат ОХ~Х, относительно которой сосуд неподвижен. Будем считать, что в момент времени 1 О эти две системы координат совпадают, Таким образом, система координат ОХу_#_ движется поступательно со скоростью б(~) и ускорением Ф(~) ° Будем считать, что плоскость Ху этой системы совпадает с плоскостью 5, а ось Х направлена против вектора ускорения силы тяжести О (рис, 58).
ц дн на поверхности е. (7А) Через <р' обозначен потенциал абсолютных скоростей жидкости, а через 0„— проекпия скорости сосуда-0 на направление внешней нормали к стенке бака, Координату на оси Я свободной поверхности жидкости 1 можно. представить в виде ~ Я +~,где Е (В) - координата затвердевшей" свободной поверхности, которая все время совпадает с плоскостью 5, а ~ - возвышение свободной поверхности над плоскостью 5, Перейдем в неинерциальную систему координат ОХуХ, Тогда согласно общим законам механики к внешним массовым силам надо добавить силу инерпии. На ециницу массы жидкости в системе координат ОХуХ действует сила инерции -$($).
Рчеви,цно, что сила инерции потенциальна, Потенциальную функцию этой силы можно записать в виде 7 У„Х + Ж„У + У, Х. Таким образом, если абсолютное движение жидкости потенциально, то и относительное движение ее относительно поступательно движущейся неинерциальной системы координат также будет потенпиальным, Введем потенциал относительной скорости жидкости ~(Х, у, Х, 1 ). В системе координат ОХуХ сосуд неподвижен, и задача о движении жидкости может быть сформулирована следующим образом: (7.
б) в области с; дР 1 2 д1 2 — + -(~ 4 +(Д+% ) Г, - -% Х-% У г х у д д~ дХ И$ при х Ц(х,у, Й); (7,6) при Х ~(х,у,й); (7.7) д~р — =0 дн на поверхности Е. (7.8) — 172- Таким образом, задача о колебаниях жидкости в сосуде, совершающем заданное поступательное движение, сводится к краевой задаче (7.5)-(7.8). Эта зацача отличается от соответствующей краевой задачи о движении жидкости в неподвижном сосуде (см. первую главу) лишь тем, что в интеграле Коши-Лагранжа (7.6) правая часть стан овитс я не нулевой.
Примечание, К краевой задаче (7.6)"(7.8) можно прндтн еще следующим формальным образом, исходя из основной краевой задачи (7,1)-(7 4), Положим Ю р 0г+~(х,у,х,с) х Х - а(с) „у - У - Ь(с), х - 2 - с(с), здесь 2 - радиус вектор с проекциями Х,У,.с,а а(с) Ь(с), с(С) — координаты точки а относительно системы координат ОХУЕ, Очевидно, что ~а/а-0„, ИЬ|а-0у, Нс~а-0, ° Так как теперь мы считаем, что переменные Х,У,Х зависят от времени, то д ч' дчдх дч ИУ джей дС дС дхй ду Й дхй д ч' дч'Ц дч' СЬ з~'йс дС дх аС ду 4И дх Й Производная д е /дС вычисляется прн фиксированном С в выражениях для Х,у,Х и является частной производной по времени в подвижной системе координат. Таким образом, мы получаем связь между частным дифференцированием по времени в неподвижной н подвижной системах координат; дч' д'ч' — - — -ч ~'0 дС дС 3аметим, что полное дифференцирование по времени, очевидно, ин» варнантно относительно перехода от системы ОХУ2 х ахух, Подставляя в последнее выражение формулу для потенциала у'~ находим д9 д % -~ 2 — — + $2 — 0 — д гр0.
дС дС Собирая все эти результаты, нетрудно показать, что краевую задачу (7,1)-(7,4) можно преобразовать к виду: иа поиеривстн 8, Комбинация 1/20 -й а-йуЬ зависит только от. времени, Поатому, и вводя новый потенциал е р - ('(1/20 -Ф а-В~ЬМС, 2 мы придем к краевой задаче (7Л)-(7.8). -173- Далее, нетрудно видеть, что ф 2 Ф 2 (~ч') 0 +г у,0+(~ч) . На свободной поверхности, очевидно, Е 1 с+С а(~ ав ц И 1 2 — -(чч) +((с+~ Ц- -У х-Ф у+~-0 -%' а-%' Ь /'1 дС 2 У ~2 к У д~ С~ дх СС де — О ди в области т; при Х С(Х,У,С); при х с(х,у,с); Сформулированная нелинейная краевая задача(7Л)-(7.8) сложна, и в настоящее время практически не существует методов ее решения. Поэтому приходится делать дополнительные предположения, чтобы ее упростить, Сейчас мы обсудим условия,. при которых задача линеаризируется.
Граничное условие (7.7) можно переписать в виде д~ ду д~ д» д~3~ д1 дх дх дх ду дУ Но на поверхности Х= ~(х,у,$ ) нормальная производная д~ д~д~ д~д~ Вх ах Зх ау ау /" ~ ~2 Поэтому граничное условие (7.7) эквивалентно условию д~р 1 д~ (7.9) ди 2 дС 1+(ч г,) Величина, стоящая справа перед производной д~/3$, ~ лрядка единицы, так как это косинус угла между нормалью к поверхности Х ~ и осью х. Таким образом, если предположить, что производная д~/д$ бесконечно малая первого порядка, то и функция ~ вместе со своими производными будет малой первого порядка. Зто следует из непрерывной зависимости решения задачи Неймана (7.5), (7.8), (7.9) от граничных условий.
Но производная д~/д1 будет малой, если малы производные — ~- — ), — ~- ~, .Это Лс ~ „Ю)'~с~ Вд; озн.~чает, что углы между нормалью к плоскости $' Фу г, = — — х — ~ у 'О ц+5' ~+5 и осями Х, у, Х должны меняться медленно. Таким образом, необходимым условием для линеаризации задачи (7.5)-(7.8) является малость скорости изменения ускорения сосуда. Если далее предположить, что малы не только произ)~х водные по времени величин, — ~ —, но и сами эти у+У, '~+~, ' величины, то задача (7.5)-(7.8) упрощается особенно сильно. Тогда граничные условия (7,6)-(7.7) можно разложить в ряды по Х в окрестности точки х 0 и пренебречь членами второго порядка малости, В результате краевая задача станет линейной: в области (7.10) д~р дй — +(8+% ) С--Н' х-%' у г - х у а~ аг, дй дй (7.11) при 2 - 0; (7.12) при ю = 0; на поверхности Е .
(7.13) Решение этой задачи описывает малые вынужденные колебания жидкости в сосуде, 5 2. Решение линейной задачи о вынужденных колебаниях жидкости д~„ — 0 дн на поверхности Е. Решение задачи (7.10)-(7,13) будем искать в виде: Е Р (~)~ л О (7,15) . Г г* Е Я (1)~ф ° п=о Тем самым удовлетворяются условия (7.10) и (7,13), Подставим ряды (7.15) и условия (7.11), (7.12) .и разложим функции х и у на поверхности 5 в ряд Фурье по функ- мням у„,' Краевую задачу (7.10)-(7,11) можно свести довольно просто к бесконечной системе линейных обыкновенных уравнений. Для этого рассмотрим задачу о собственных колебаниях жидкости в данном сосуде.
Решение этой задачи может быть найдено либо методом Фурье, либо вариационным методом, как это было показано в главах третьей, пятой и шестой, Обозначим собственные функции сосуда через ~„, а собственные значения — через Х„. Значение функции ср„ на свободной поверхности обозначим через у „Напомйим, что функции ~~ на поверхности ~ ° $ п образуют полную ортонормированную систему, причем д~ —" = Х ~ на поверхности Я; (7.14) л п Х~ Е ц у > Где а ~~Ху 85; О в в в в Я У Е РиУи Р ГДЕ Р ~~У 4$, и 0 В Тогда в силу полноты системы функций у получаются следующие равенства ~в ~ г ~в в ~Р -й, ю 01,..., где точка означает дифференцирование по 1. Исключая из этих равенств величины рв, получим бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которая описывает изменение амплитуды вынужденных колебаний со временем: Ов+ в~В+ г ~~1л ®и в х г л и и х и лу' При В 0 значение ХО О, и соответствующее уравнение описывает равновесие жидкости.
Вычислим для примера коэффициенты и и Р для па- в и раллелепипеда, длина которого 1, а ширина 2И, и осеснмметричного сосуда с радиусом свободной поверхности Й. В 62 третьей главы приведено решение' задачи о свободных колебаниях жидкости в параллелепипедах, Воспользовавшись этим решением, систему функций 1у ~ мож- в но выписать в виде: 1 ИиХ вЂ” сов — сов —, й,1й 0,1,2,...; И„~ 1 И вЂ” соа — в1п — и- н а 0 1 2 1 Н их ° 2й1+1 У ирв Я 1 2 Д~ где Ии,и ~/2/И, если Юу(0,1$у~О,Ял,и ~фЫ при В~О или и О и ИОО Д72Г Таким образом, ахУ Р при а,~9; л~л ~ ~1У ~ 4 И ~ Ю и 1 — 4 1~ф1 при в-б,в 2з+1; з-0,1,...; вт -И (в 1' 1 ° 2Ю+1 У п„- — ~ вш — к-ЙУ ~асов — Нг О; ляг ~ у сов — ду ~ сои — Й = 0; йлу в~у д ! 1 НИ ие Таким образом, отличны от нуля лишь коэффициенты в2~+1 О и рО 2 +1.
Это означает, что если возмущающая 3+ е ° Ш+ сила действует, скажем, вдоль оси У, то возбуждаются лишь нечетные гармоники по этой переменной (иными словами возбуждаются волны, несимметричные относительно соответствующей плоскости симметрии сосуда), Если сосуд осесимметрнчный,то функции у имеют вид: у — ц (г)сонина и 0,1,...; й 1,2,... 1 вщ ~ вт вв ч( — ц (Г) з1п ие, и 1,2„..; 1и 1,2, ..., втв ~ вш вш где Х,в- ноРмиРУющий множитель, а Г> — полЯРные ко- ординаты в плоскости свободной поверхности Х - Гсоз Е, У - Гз1п Е. Тогда а„„- 1 1 соз е .„(ие)дв~г~0„(г)дг; вт О О 27с Я 8„„- — (' з1п В".' (ИВ)ИВ('Г' ~„(Г)Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
