Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Если обозначить глубину жидкости в сосуде через л($), то скорость истечения будет равна л Ж/й. Будем счи- тать также, что величина ускорения силы тяжести зави- сит от времени, Введем систему координат ХУХ, плоскость Ху' которой совпадает с дном сосуда, а ось Х направлена вертикально вверх (против направления ускорения силы тяжести ц). Предположим, что движение жидкости в начальный мо- мент времени было безвихревым. Тогда его можно опи- сать функцией ~р (Х,у, Х,$ ) — потенциалом скорости, — ко- торая является решением следуюшей краевой задачи: ~р 0 в области ~; (7.24) др — а И Прн Х 0; — 1 0 На ПОВЕрХНОСтк Е д~р (7.25) дХ ди о' др 1 при Х-~(Х,у, О; 4ф дХ дЧ 1 2 — 1+-(д р ) +~~-О при Х-1(Х,у,1).
д$ 2 1 Через т обозначим, как обычно, объем, занятый жидкостью; через Е а — смоченную часть боковой поверхности сосуда; через а~ ~(Х, у, ~) -фоуму свободной поверхности жидкости, Положим ч ~+ИХ ~ ~ - В($ ) + ~(х> у, $), где функции ~р 1 и ~ являются решениями следуюшей краевой зад чи: Ь~р ыО в области т; (7.28) дскб — -0 на поверхности 1',; (7.29) на поверхности Е; (7.33) д~ .д~ — +й — +(у+Ь)~ 0 при т Ъ(Ф); д~ д~ д~ дср при ю - Ь($).
дФ дх Таким образом, формально задача (7.32)-(7,35) отличается от задачи о колебаниях жидкости в замкнутом сое суде только лишь присутствием члена Ьдгр/дг в динамическом условии (7,34) на свободной поверхности. Но при этом, конечно, следует помнить, что область т зависит от времени, Это обстоятельство является существенным и сильно усложняет в общем случае задачу. Здесь же благодаря специальному виду области т оно на. вносит дополнительных трудностей. Будем решать краевую задачу (7 32)-(7.35).,Для этого рассмотрим свободные колебания жидкости в том же сосуде, но без вытекання. Эта задача была рассмотрена во второй главе, Напомним, что собственные функции этой задачи имеют вид (7.34) (7.36) сп к®1 9 Х (ХФУ) —.В, В- 1Ф 2В ..., »» сЬхвй ' где х и Х вЂ” собственные значения и собственные функции и и краевой задачи: Ь „Х+ м2Х 0 в области $; ~У дХ вЂ” 0 на гравице области Я, дч через $ обозначена свободная поверхность жидкости, а через ч — нормаль к ее границе. На свободной поверхности 5 (при т Ь) 4» Х» ' дч' ~дх "» ~""»"Х» 164- При этом считается, что функции, зависящие только от времени, соответствующим образом включены в потенциал з.
Через Е обозначена вся смоченная поверхность сосуда. Предположим теперь, что движение жидкости мало отличается от движения ее как твердого тела со скоростью и. Вследствие этого функцию ~(Х,т,1) и ее первые производные по всем переменным, а также все первые производные функции у можно считать бесконечно малыми первого порядка, и задачу (7.28)-(7,31) линеаризировать: ьф ~0 в области т; (7.32) дср — ~0 дИ Система функции Х полна в области 5. Будем считать и ее, кроме того, нормированной. Используем функции д для построения решения задав чи (7.32)-(7,35). Для этого будем считать, что 6 в выражении для ср зависит от времени. Решение задачи (7.32)- в (7.35) ищем в виде: ОО сЬ х„й в р <вЬ (х,р1 — "1 1" сЬхВ (7.36) (7.37) которая описывает изменение со временем амплитуды колебаний свободной поверхности жидкости, вытекающей из сосуда.
Уравнения (7.38) являются линейными уравнениями с коэффициентами, зависящими от времени. В общем случае получить решение этой системы в замкнутом виде трудно. Однако можно получить приближенное асимптотическое решение этих уравнений, которое позволит изучить влияние истечения жидкости на свободные колебания ее поверхности. Итак, предположим, что глубина жидкости достаточно велика, так что квЬ~ О (1). Кроме того, предположим, что за время одного колебания глубина жидкости н ускорение силы тяжести меняются мало, т,е.)~ О (е), В»0( е ), где е «1.
Тогда, если ввести новую переменную т е $, можно считать, что функции Ь н 8 зависят от "медленного' времени т при этом В ° Зй~дт м 0(1), 8' 0(1). Кроме того, нетрудно видеть, что )з е2Ъ (т) .0(е2). Учитывая все это, систему (7.38) можно переписать в виде +а (т)~ е — ~ — — — в — а р, о 1,2,..., (Т.З9) ° ~ 2 х й 2Р1 2 вЬ хий сЬ хвй 0 где а 2 (4 у х аЬ х„Ь. Тем самым удовлетворяются условия (7.32) и (7.33), Подставив ряды (7.36), (7.37) в условия (7.34) и (7.35), получим следующую систему уравнений; В +(Ц+Ь)ф -О; Я к Йхв "Рв р Исключая из этой системы с помощью дифференцирования функции р ($), мы придем к следующей системе дифференциальнйх уравнений: квй 9 — " ф +(Я+13)к йх )$ф 0, И 1, 2, ..., (7.38) вЬхй Ьхй в в и в х, с х„ Мы ограничимся построением первого приближения, т,е.
будем строить решение системы (7.39), удерживая только члены порядка е.Тогда последний член порядка е2 в первой части каждого уравнения можно отбросить. Решение системы (7.39) ишем методом Крылова-Боголюбова . Положим — ав а„з1пу„. (7.40) Яв 4и соз ~в ~ Тогда должно выполняться равенство ю„соз ~ + 6„(о„- у„) з(пу„0. Кроме того, подставляя выражения (7,40) в систему (7,39 ), получим (7.4Ц ои йв$ и (7.46) 1( хв)~ ~п ~ (7.47) -©в ов з1п Фв+ Фв ов (о.
-Ф,)сОз Ч~„- -е " йвовз1пу + ео"'а з)п у . (7.42) вЬ х„й сЬхв8 Систему (7.41), (7,42) нетрудно разрешить относителв. ной иу Ф 6 е а з1п у„— е — "й„з1п у„; сг„ ст -~р„- а ипу сов~ +е — "з1п~ сову вЪх Ясах И " " ои п Уравнения (7.43) усредним по переменной у на интер- в вале (0,2тс1 и получим: х„л ав 2 ° ° вЬхв В сЬхвИ ов "'рв -0 ° (7.45) Из уравнения (7.45) сразу следует, что в нервом приближении мгновенная частота колебания жидкости уи равна частоте свободных колебаний жидкости в сосуде без отверстий при данных мгновенных значениях глубины жидкости В($) и ускорения силы тяжести я(В) ° Если в уравнении (7.44) снова перейти от переменной т к 1, то это уравнение примет вид Отсюда следует, что Таким образом, эффективный декремент затухания коле- баний системы равен х )~ 3„~ однако о ~( „Ь Поэтому декремент затухания колебаний равен 1( и~ й ~ (7АО) Таким образом, если би< О, т.е, к„й  — — < О, вЬх йсЬх„й 6 то колебания в системе будут затухать, и система будет устойчивой.
Отсюда можно сделать следующие выводы: 'Ф 1, При й >О и 8>0, т.е. жидкость вливается в сосуд, а ускорение силы тяжести растет (например, сосуд движется вверх с возрастающим ускорением), колебания будут затухать, если и хиП 6 вЬх„йсЬх„И 2. В случае а<0 и 8< О, т.е. жидкость вытекает из сосуда, а ускорение силы тяжести уменьшается (например, сосуда, падающего с увеличивающимся ускорением), колебания свободной поверхности жидкости будут затухать, если к„В вЬх ЬсЬк М и п 3.
Если и<0, а ф>0, то колебания свободной поверхности жидкости всегда будут затухать. 4, Наконец, при Ь > О, а й < 0 на поверхности жидкости всегда будут развиваться волны. В частности, при й 0 можно получить следующие качественные выводы о влиянии изменения глубины жидкости на колебания ее поверхности. Если жидкость втекает в сосуд, то й > О, и на поверхности жидкости возникают волны, амплитуда которых растет со временем, Если жид- Ф кость вытекает из сосуда, то и<0, и волны на поверхно- сти жидкости демпфируются, Оценим величину этого демпфирования.
Из формул (7.47), (7.48) следует, что х„й — 1пй„- 4 й " 4 пьх„)~с) х„й Вычислим средний декремент затухания за период колебаний Тп 2х/оп . Интегрируя последнее равенство в пределах от $ до $+2п/о, можно получить с точностью до п~ членов порядка е~ Яп Щ 1 хпл 2тс 6„1п Ф 2~1 4 еЬхпйсЬк»П ~п й 1+ — ~ » ~ ( и Так как Ь <О, то знак минус в формуле можно опустить и через л обозначить величину скорости истечения.
Нетрудно усмотреть, что величина х имеет размерность (длина ) и Если ввести характерный линейный размер свободной поверхности Й, то можно записать, что хп ~п/Й, где р — без-» размерное собственное значение. Наконец, величина ип известна, Исходя из всего этого, нетрудно получить следующую зависимость среднего декремента затухания от параметров зад ачи: ь„- с„~иь4йв, (7А9) где функция Сп еь2р1Д~„М зависит только от номера гармоники И и относительной глубины жидкости Ь Ь/Й. В качестве примера рассмотрим колебания свободной поверхности жидкости, вытекающей из прямого кругового цилиндра радиуса Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
