Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Нам уже известны все нули Е)1 1( Х ), кроме одного. Представим ее как многочлен от Х степени Я+1 и используем тот факт, что произведение корней многочлена равно свободному члену, деленному на коэффициент при высшей степени. Отсюда Е~,(0) Б х„ В ()~) К+1 . 1 г И+1) К+1 (Л), ~ (Я+1) к=1 т =1 1'лага жеанами ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ В СОСУДАХ РАЗНОЙ ФОРМЫ ВАРИАЦИОННЫМ МЕТОДОМ В предыдушей главе была изложена обшая схема применения метода Ритца для отыскания решения задачи о колебаниях жидкости в ограниченном объеме.
В этой главе мы приведем решение ряда конкретных задач для различных областей, Все задачи решались методом Ритца и, как будет видно ниже, во всех случаях этот метод давал удовлетворительные результаты. ~1. Свободные колебания жидкости в наклонном круговом цилиндре П81 Рассмотрим задачу о колебаниях жидкости в круговом цилиндре, ось которого составляет с направлением вектора й угол ~ . Обозначим радиус цилиндра через Й, среднюю глубину жидкости через л .
Систему координат ОХ'у~~» свяжем со свободной поверхностью жидкости (рис.28). Перейдем к безразмерным переменным Х, У, Х по формулам ЙХ- Х; Йу- у сов ~-Х в1п ~; ЙХ-7 в1п 8+Х сов ~. В новой системе координат ось цилиндра станет вертикальной, а свободная поверхность жидкости будет наклонена под углом ~ к плоскости Ху (рис.ЗО). Кроме того, введем цилиндрические координаты Г Х +У; В агс1я —; 2 2. У. В этих координатах функционал (5.2о) можно представить в виде 2'к 1 з(~~В) 2тс 1 ЦФ) ГТЗВ1ТТТГ Х (ЧФ) ЙХ-Ц' ЙВ~Г 1+ф ~ Ф (Т,В,Х(Г,В))ЙТ, (6,1) О 0 Ь 0 0 здесь Х(Г,В) ХТи Д Гсов ВТя Д- уравнение свободной поверхности", Ь Ь'/Й вЂ” безразмерная средняя глубина жидкости; Х о2Й/8 — безразмерное собственное значение задачи.
В качестве системы координатных функций возьмем функции, которые описывают колебания жидкости в вертикальном цилиндре глубины й . В третьей главе было показано, что эти функции имеют вид: сЬ к„~(Х+В) Х =,—, ~„(х Т)в1пИВ ", 6=1 2,...; 2 =1,2,...; ПЗ ~Б к„,Ь 1 сЬх„~ (Х+Ы Х вЂ” ~„(х„~Г)совИВ "~, П 0,1,2,...; я 1,2,.... 68 Я Й 8 сЬх И Эти функции являются гармоническими и удовлетворяют всем граничным условиям нашей задачи, кроме условия на свободной поверхности. Решение вариационной задачи (6.1 ) будем искать в виде М М Ф - Е а„, Ц„, в1п ВВ+ К 6„, О„сов ИВ, И,8 5~8 где сЬ х„~ (Х+Ь) Ц58 1В(к Г) Подстановка этой суммы в функционал (6.1) преврашает его в функцию 2М переменных й„8 и б„~ . Из условий экстремума функции следует, что величины а и б хз юз — 129- должны удовлетворять системе уравнений (1.13), которая в нашем случае имеет внд: ЕР 6„ц+ Е а,и,К,и,-Х ~Ф й,и~+ Е Р,и, (пи) )~ (пз) ~ (из) )~ (пи) щюис иВ т ю щФиз ю и$ т ю () 2и 1 4, - ) деХ~ 1+ц2р 0„,Гг,2(~,830,~г,2(к,е)1~о~иесо~еей; о о 27с 1 ~Сои 81й р ~ис ~ ИЕ ~ТЙ ~ Ч0из~0тв в1пИЕсовйео о л — ~0„0„,совпезшще й; ) 2тс 1 Р,' - Х ИЕХ)' 1+1е~р 0„,ЕГ,ЖГ,Е)30„,ЕГ,2(Г,ЕМв1ппесозаЕИГ.
о о При этом хиз хщс ч0„,ч0„, ии яс сЬхии(Х+Ж сЬх,и (к+и) 1 (х ~)~ (х„1') ю + 1и и8 ~~~~"' с),х ) .Ъ. Ь ив ШФ иЬ хии (Х+Ь) вЬ х,и,(2+1) +у (х Г)у (к Г) ие ЩФ с) х )1 с) х Ь ив ПМ Нетрудно видеть, что Функции 0и О, и ч0 Ч0,и четны относительно переменной Е . Функции в1п Ле з1п 1й 8, созИесов%8 также четны по Е, а Функции з1пйосоз1йЕ не четны цо 8. Отсюда следует, что -130- Коэффициенты этой системы имеют вид: 2'и 1 тСов81й Р р(п ) 3' ЮЕ~)'й у Ч0 Ч0~,вшИЕз1пИЕ+ о о + —,0 0 ~сов)18соз)йЕ Й", 2'и 1 г сои 81и р Р„",' -3'ИЕ~ВЬ у Ч0„;70 совПЕсозйе+ о о ), +.
~0 0 з1пйез1п)йе Фз; лв ( ) 2и 1 - ХЮЕ,) Г 1+(а р 0„,Ь,Я,8)Я,~И,2(Г,ЕНв1пИЕз1птЕЬ; о о ("з) = 0 Р("з) 0 "вз вз 1 г сов Е1я р Р 21йе1тй у чц„~чу~,аъииейвяе+ о о у, +~~Он,Я~,соааесоаае й", к 1 гсовЕФ(1 ~ Р 2~48 ~ляг,) ЧУ»зт]ц зсоа)юсоа%е+ о о л +-В 0„~Ц айвЕВ1П®Е Юй; 1 6 .1~юв~г~/Гй Р 0Ы[гз(г,в)щ ~г,Фг,е)!в!пвеаиаейг; о о к 1 ~ "' - 2ИЕГ~ +1В~Р У„,КЯ,Е)Я„„(Г,Х(т,Е3совавсоааЕй. о о Соответственно система уравнений распадается на две независимые системы: (вз) ~ (вз) х Р„, а„, -х е а„, а„, О, в-1,2,...; й-1,2,...; (О.г) ж,С т,В, Ьз) ~ (пз) ~Р В Х ЕЮ 5 О,ИО,1,, 31,2, (6.3) Нетрудно показать, что если ось цилиндра вертикаль- темы совпадают. Это соответствует тому, что собственные значения двукратны, и каждому из них соответствуют две собственные функции и Х„~ и у„. Если цилиндр наклонен, т.е, ф ~ О, то коэффициенты систем уже не совпадают, и происходит расщепление частоты: формам М М а - х а„, Б„, в1пие; а - х Ь„, Ц„,совие и,з оРз соответствуют разные собственные частоты.
Приведем некоторые результаты численных расчетов. Системы (6..2) и (8.3) решались эскалаторным методом. Число уравнений в системах Х бралось равным 3,6,7,9 . Зависимость величины Х от номера приближения показана Ф о на рис.31 для двух значений угла ~: ~=30 (штриховые кривые) и ф=80~(сплошные кривые). Эти графики иллюст- 20 О Ю ЯО Зо др ,Ю Го Рис. 3Я рируют быстроту сходимости метода. Зависимость первых четырех собственных значений задачи от угла ~~ показана на рис.32 и в табл. 3. При всех расчетах принималось, что ~ =3,0. -1З2— Таблица 3 а 2.
Свободные колебания жидкости в конических сосудах ( 191 1~ х-х'/И; у= у'~И; х- х'/И и введем сферические координаты Г, 9, т~ по формулам Х Г31п 9 сои Ч; ~ Ги1п 9 и1п 'и; Х Гсоа Е Напомним, что задача о свободных колебаниях жидкости в данной области сводится к следующей краевой задаче на собственные значения: й ф 0 в области т; (6.4) ЦВ В работе Л.В. Докучаева ( 19] вводится потенциал смешений (). Здесь м есь мы будем использовать потенциал скорости е. Как следует из приложения к предыдущей главе, функции ср и Я являются решением одной и той же краевой (а следовательно, вариационной) задачи, если рассматриваются свободные колебания. -133- Рассмотрим свободные колебания жидкости в конических сосудах. Пусть боковая поверхность сосуда представляет собой круговой конус с полууглом раствора ео, а дно сосуда — часть поверхности сферы радиуса И.
Введем декартову систему координат ОХ'У'Х' с началом в вершине конуса и осью Х', направленной вниз вдоль оси конуса (направление оси х', таким образом, совпадает с направлением вектора ц ). Глубину жидкости и сосуде будем измерять расстоянием Ь' от вершины конуса до свободной поверхности 5 ( рис.33 ) . Перейдем к безразмерным переменным дФ вЂ” 0 пРи1' 1, — 0 пРи 9 оо, дФ дФ' до (6.6) дФ вЂ” --ХФ при х 1, дх где Х о~Я/у - безразмерное собственное значение задачи, а и )1~/Й - безразмерная глубина жидкости. Решение краевой задачи эквивалентно вариационной задаче минимизации функционала 1'(Ф) ~(ЧФ) Пт-Х 1 Ф Н ° 3 (6.6) (6.7) Будем искать решение этой задачи в классе гармонических функций, удовлетворяющих условиям (О.о) .
Тогда с помощью формулы Грина функционал (8.7) можно пре образовать к виду 1'(Ф) -1 Ф вЂ” И~- Х Г Ф 45 ° дФ 2 дг (6.8) В соответствии с граничными условиями (8.5), (8.6) задача допускает разделение переменных Ф Ц(Е,Е) Ч(Я ). Так как решение должно быть периодическим по переменной Ч, то, очевидно, что 7(1), ИЧ И 0 1 и1п сои )в1п (6Л) Подставив это выражение в функционал (6.8), мы приходим к вариационной задаче для функционала е, г(ц) ~ ) (1 рар-~~) Ц Р"р~ о о (6.10) где через р обозначена величина радиус-вектора точки свободной поверхности в полярной системе координат р, ~, построенной на свободной поверхности.
Как видно из рис.34, уравнение свободной поверхности имеет вид гсоа 8 Ь. В соответствии с этим будем искать решение вариацион- ной задачи (6.8) в классе функций вида Кроме того, на свободной поверхности р-Мяе; Ир- — 236 Ь сов 9 д0 д0 д0в1п В д0 д0 в1п 61 сов 9 — — — =сов 9 д1 де т д~ де Ы~' в Р(0)- -3 д0 д0 в1пе 0 —,е — дев в1п е д1' дв В ~ " сове совй Е сов е, ~ 02 Й в1пв сов 9 совЗ 6 (6.11) В атом выражении мы опустили несушественный множи- тель И л. Рис. 33 Таким образом задача о свободных колебаниях жидкости в конусе сведена к вариационной задаче (8.11) в Собирая все эти результаты, функционал (6.10) можно привести к виду и граничным условиям — 0 при г 1 и — О при 8 8 дц дЦ дг 38 ВВ (6.13) Таким образом, для решения задачи методом Ритца надо построить полную в области Т(О< 8< 8 ) систему координатных функций, удовлетворяющих уравнению (6.12) и условиям (8.13). йля построения атой системы к условиям (6.12),(6.13) добавим условие и рассмотрим вспомогательную задачу на собственные значения (8.12)-(6.14) в области Т (см.рис.34).
Решение этой задачи нетрудно построить методом разделения переменных, положив 0- с(г) р(8). Подставляя это выражение в условия (6.12)-(8.14), получим следуюшие краевые задачи для функций и н ~: г — — 2г — — ра О Ь <г<1; 2И сс Иа (6.16) ~г~ ~г Ии — 0 приг 1; — - — юа при г 8; Ик Иг дг (6.16) ~2~ ~в 2 — й+сМ8 — + ~- — ~ Д8 а8 еи 8 0< Ф< 80, (6.17) дв О при В 8 И8 (6.18) классе функций Ц, удовлетворяющих условиям (6.4), (8.5) и (6.9).
Отсюда следует, что каждое собственное значение задачи является двукратным: ему соответствуют две собственные функции, одна из которых содержит множитель сов И 8, а другая - а1пй8. Исключение составляет лишь случай И О. Из условий (8.4),(8.6) и (8.9) следует, что Функции ц должны удовлетворять уравнению д~ц 230 1 3~И 1 дЦ в~ дг" " 3Г г~ 38и гй д8 гйв1пй8 — ю» — —:; — — + — »:~К а — — — Ц 0 (»».121 Решение задачи (6,15),(8.16) имеет вид„ и, ч(ч+1); (6.19) (ч+1)Г + ч и (ч+Иу + ч 2 ч+1 ч+1 Зч+1 (6.20) ч(ч+1)(1- Ь + ) (6.21) (Ц ав )1Еч+1) л~~+~+ ч1 Число ч пока не определено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
