Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В 65-7 шестой главы приводится решение ряда задач с использованием этого способа построения системы координатных функций. 5 4. Оценки для первой собственной частоты Пусть функция Ф сообщает минимум функционалу У(7 Ф)2йт Х ~» т Г Ф'~~ Я а функция % сообшает минимум функционалу ~(ч Ю'И 'Сф ~Д ав Э ~ ю~ИЯ Я Так как Х есть минимальное значение функционала, то Х(ЧФ) Ь Х< ~%~45 Я вЂ” ш- На практике часто бывает необходимо хотя бы прибли— женно опенить первую собственную частоту колебаний жидкости в сосуде. Рассмотрим для этого вариапионную задачу для функционала (5.25) в двух областях т и то, Предположим, что свободные поверхности этих областей совпадают и что область т целиком погружена в область т, так что т >т, Тогда для любой функции Ф ~(ЧФ) Ит >Х(~Ф) дт.
'~е ъ Используя выражение для ~, мы можем записать, что Х(~Ю '~т Х<~ ' ) (ЧЧ)'цт ~о Но множитель, стояший при ~ в правой части этого не равенства,не превосходит единицы. Следовательно, 1~< Р> т.е. если два сосуда имеют одинаковую свободную поверхность, но объем одного сосуда больше объема другого, то первая частота колебаний жидкости в меньшем сосуде будет меньше соответствуюшей .частоты в большем сосуде. В качестве примера применения полученной оценки рассмотрим задачу о колебаниях жидкости в цилиндрическом сосуде с коническим дном. Размеры сосуда показаны на рис.
28. Сравним этот сосуд с цилиндрическими сосудами, имеющими плоское дно высотой М1 и 6я Й1+11О. Главные частоты колебаний жидкости в этих сосудах равны (см. И 3 третьей главы) сг Цк1йк И1', ай Вк Йк1Ь2, где к — наименьший по вели Чине 1 из корней уравнения 1 (к) =О.Согласно полученной оценке а <о<а Аналогично может быть доказано следуюшее утверждение: из двух сосудов одинакового объема меньшую первую частоту собственных колебаний жидкости имеет сосуд с большей плошадью свободной поверхности жидкости, В следуюшем разделе мы приведем более точные количественные оценки для частот колебаний жидкости в сосудах близких форм, 5 5.
Приближенный метоЛ вычисления собственных колебаний жидкости Рассмотрим задачу о колебаниях жидкости в объеме ограниченном поверхностями 5 и Е ° Опишем область т областью простой формы то, ограниченной поверхностями БО -112- и ЕО. Будем считать, что решение аналогичной задачи для области тО известно; как и прежде, обозначим его через ~ Предположим, что области т и т близки, так что можно интегралы, входящие в формулы (5.32), (5,33), считать бесконечно малыми первого порядка, Поэтому, если соответствуюшим образом изменить масштаб измерения длины, то коэффициенты Р„и апт можно представить в виде Рпт ~п(опт ~пт' (опт ит+ ~)пт ~ где величины Цп и ~1„поРЯдка единицы, а э << 1.
Тогда в системе (5.27) можно выделить члены первого порядка малости М У (л-р.„)а„-е е ц а +(л-~„) е т) а О, и 1,2,...,Х. (5.37) т 1 т* 1 При е=О, когда области т и т0 совпадают, решение системы (5.37) принимает вид л р.~; а б, з,)и 1 2,...,М (первый индекс при коэффициентах а „указывает на номер собственного значения и собственной функции). Исходя из этого, решение системы (5.37) будем искать в виде (О) (1) 2 (2) Лж Л +еЛ +е Л + ° ° (0) (1) 2 (2) а„- а„+ а„а„+.... (5.38) Подставляя эти разложения в систему (5.37) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, мы пол~- чим следующие, системы уравнений (Л вЂ” р.„)а„-0, и -1,2,..., В; (0) (0) (О) (1) (О) (1) - (~„)ап + а„Л (5.39) е ~ а +(л -~ ) е т~ а, и 1,2,...,Я; (5.40) (0) (0) (0) т 1 т 1 (Л (О) - ) (2) (О) Л(2) "и и + и --а„л„+ е ц„„а +(л -) „) Е )„а +л е ),„а (1) (1) (1) (0) ~ (1) (1) ~1~ (0) т 1 т=1 т 1 (5А1) — 113- Решение системы (5.38) имеет вид Будем разыскивать решения системы (5.37), которые при е- О переходят в (5.42).
Из системы (5.40), полагая, что И ф 3, получаем (1) з )и) зп ~пз ~ 3 ~п ~пз откуда находим поправки в первом приближении для коэффициентов Ю (1) ': зп (1) ~пз +("'з "'и) Чпз а зв ~з ~п Однако из формул (5.34) и определения чисел ~ и т~ следует, что ~зп ~пз Таким образом окончательно получаем, что (1) ~зп ~з "и (5АЗ) Полагая в выражении (5.40) П 3, получаем соотноше- ние для вычисления поправки собственного значения Х(1): ) -~„О, (1) откуда Г Ф,4~-1, Подставив сюда выражение для Ф в виде суммы М Фз ~ ©зщФщ з щ 1 получим М зп зщ ~~в"'щ" п,щ 1 Я Е (езп+ еезв + е Фзп+...Кезщ+ ещзщ+ е «зщ+.
° .)(Ьщп-е~)пщ) 1. (о) (1) ~ а (о) (1) 2 (2) п,щ 1 -114- (1) зз Коэффициент а - произвольное число. Его удобно опреЛ1) делить так, чтобы собственная функция Ф была нормиро- ванной Раскрывая в этом выражении скобки и приравнивая коэ4>фипиенты при одинаковых степенях е, получим следуюшие равенства; (О)2 х а,„-1; пв1 (6.44) (1) (О) ~ (О) (О) п 1 ия. 1 (Б.4Б) и1 ив 1 Условие (5.44) в силу равенств (5А2) выполнено. Из условия (5.45) находим, что а„ (1) 1 (Б.47) Таким образом, в первом приближении мы получаем следуюшее решение задачи о собственных колебаниях жидкости: (Б.48) ~зп Ф сы 1+узы) ф +В Е ф а и пю1 з и пу~з (2) ~зп ~зи ~ 1 ~з» Д + Ч + Е в.„~ Ч з и з п у Ц Ц + Е Рз +и т 1 ~з ~т %фз ~пш ~зв Е при зп иФЗ' (Б 00) и 1 ~з "'и трез Таким же способом можно получить любое число приближений.
В частности, из системы (5. 41) и условия (5.46) получаем 2 (2) ~зв (Б.49) и 1 (~з пауз Ф М а' - — ~ — - к ж —. (5.И) (2) З 2 1 зт "зт зз 4 зз 2 2 Р-Р т~1(р, — ~ ) тш1 з тфз тфз Таким образом, во втором приближении 2 (2) з ~б ~зз + э 3 Ф И Ф 1+ щ +э 6» ) з+эЕ э +э2Е 6(2)у зз зз з ~ ~ в зв и ~ где величины Х и 6 вычисляются по формулам (5.49)- (2) (5.51) ° Заметим, что величины Ц н т~ мы ввели по Формулам д~~ ~вт" ~~т ~~'* '~вт ~ ~в~т ~' Е ЛЯ В окончательных Формулах удобно избавиться от величины э. Для этого надо вернуться к старым масштабам измерения длин.
Это равносильно тому, что в окончательных формулах надо положить э =1. Тогда, например, в первом приближении решение задачи о колебаниях жидкости будет иметь вид (5.52) ~'з ~з + ~зз~ 1 ~ ~зв Ф-1~ — ~ у~к з ~ 2 зз~ з ~ ~ п 1 з и в4в (5.53) где чвт -~~т ' ~ -~Ч~~©~ ~в (5.54) теперь величины первого порядка малости. В 6 5,7 шестой главы приведены вычисления колебаний жидкости в сосудах разной формы по Формулам (5.Ы) -(5Л4) . Там же эти результаты сравнивались с численным решением задачи на электронных вычислительных машинах.
где через П0 обозначен оператор ортогонального проектирования из Е в Е0. Через П1 обозначим оператор проектирования из Е в Е1. Вектор р удовлетворяет уравнению Эйлера д д -+ -+ — +(еч) ~ - - ч --Ил. д~ Р Г1рименим к этому уравнению сначала оператор П, а потом оператор П и получим др~ ~ ~ р — +П (ИЧ)р--Ч --~ЧЛ; дС Р дй — +П (иЧ)и- О. дй Если рассматривать бесконечно малые движения жидкости и сохранять в последних уравнениях только члены первого порядка малости, то получим д~р дг Р ди — + дх+ — - О или — + у+ — = С; — - О. дС Р/ д1 Р ' д$ (5.60) Последнее из уравнений (5,60) имеет простой физическии смысл: в линейном приближении вихревая составляюшая скорости жидкости остается постоянной в каждой точке объема т.
С той же степенью точности давление в жидкости определяется только потенциальной составляюшей скорости жидкости. Вдоль свободнои поверхности давление должно оставаться постоянным. В силу этого второе из соотношений (5.60) можно привести к виду дф д$ — + ~~ = О на поверхности 5. (5.61) Таким образом, в линейном приближении гармоническая функция ~Р, определяюшая потенциальную составляюшую Р0 вектора скорости У, является решением краевой задачи (5.56)-(5.59), (5.61) независимо от того, является ли течение потенциальным или вихревым. Окончательный результат можно сформулировать следуюшим образом: с точностью до величин первого порядка малости поле давлений и свободная поверхность колеблюшейся жидкости определяются только потенциальной составляюшей поля скоростей, которая может быть найдена независимо от вихревой составляюшей скорости. Следовательно, при исследовании квадратичного функционала ) „(5„22) связь (5.8) может быть снята.
— 113-- 2. Различные 4ормы иняеграла дейсявил по Гамиль иону (5.23~ Тогда решение задачи о колебаниях жидкости можно было представить в виде ср(Р) =П вЂ”, дй' и это давало возможность исключить функцию Ч~ из другого условия на свободной поверхности, представив его в виде (2.13) . Используя определение оператора И, можно преобразовать выражение для интеграла действия по Гамильтону (5.22) Г1рименим к первому интегралу формулу Грина и получим окончательно выражение для функционала действия в виде = — р У У И вЂ” — -а~ ИИ~, 1 ' дсдс", дЮ дС (5.62) который нам окажется полезн и далее.
Второи способ, предложенный Я. Е. Охоцимским (181, заключается в том, что вместо потенциала скорости жидкости Ч» вводится потенциал смешений Я по формуле д(~ = Я> ° д$ — 119— В первой главе было показано, что граничные условия на свободнои поверхности содержат две неизвестные функции се и с,. При исследовании задачи часто бывает удобно исключить из граничных условий функцию ~. Обычно это делают с помощью дифференцирования по времени 1 динамического условия (см.первую главу). Г(ри этом порядок системы искусственно повышается, а это в некоторых случаях осложняет исследование. Существуют два приема, позволяющие исключить одно из неизвестных, не повышая при этом порядка системы.
Во второй главе был введен оператор Неймана И, который значениям функции ) Я), (~йБ ставил в соответствие гармоническую в области с функцию у( Р ), Р ~= т, удовлетворяющую условиям дср дч — =0ф ЯЕЕ; — =~(Я)в ЦЕ5» дИ дч Нетрудно убедиться, что функция () будет гармонической в области т и будет удовлетворять следуюшим граничным условиям: дЯ вЂ” О (5.63) дп Щ д2 — на поверхности Я; д2 Я д~2 — + ц~ О на поверхности Я.
(5.65) Из условий (5,64) и (5А5) можно исключить неизвестную функцию ~ . Тогда д~Я дЯ вЂ” + ц — = О на поверхности Б. д~2 д2 на поверхности Е; (5.64) (5.66) 1 . д(1',~ 1 дЯ ',~~ Если же еще использовать условие (5.65), то функционал действия можно записать в виде, аналогичном выра- жевию (5.24), до ' Р д20' УР ~ Ч вЂ” ~'~- — 3' — 2 4~ о т д~ ~д 3. Ооосиоваиае меюда Рипща В () 2 этой главы была изложена формальная процедура решения вариационной задачи методом Ритца, Как было показано, этот метод сводит задачу к решению однородной системы из Х алгебраических уравнений.
Решая данную систему, находят приближенное решение вариаци- (И) (И) онной задачи Ф, Х . Оказывается, что эти последовательности являются минимизируюшими, т.е. что сушествуют и дают искомое решение. Таким образом, потенциал скоростей ~ и потенциал смешений Ц являются решением одной и той же краевой задачи. Различными будут лишь формулировки задачи Коши для этих функций. Используя определение функции Я и условие (5.64), интеграл действия по Гамильтону (5.22) можно преобразовать к виду Рассмотрим функционал (5.52). Положим в нем у (х,у)а1п ой, е = 2тс/ск.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
