Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Следовательно, сходится и ряд (3.105). Таким образом, выполнено условие теоремы А и, следовательно, справедливо утверждение теоремы Б. Е ш,п 0 т~и 2 ОО Сищ Е пь,и О (й йМ аО +~С и и 0 пи ~п Х~ и Й Йи ~0 .В самом деле, Спп ОО 1 2 ю Е Е ) и~О ф ~Я р +ъС ) шю0 ОО 1 Е и и й и ФО Глава чвпввриал ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЖИДКОСТИ В СОСУДАХ В предыдущей главе были рассмотрены возможности метода Фурье при решении задачи о колебаниях жидкости. Лишь в некоторых случаях применение этого метода позволило до конца аналитически исследовать задачу.
Введение изотермических координат в принципе во многих важных случаях позволяет решить задачу, но построение решения сопряжено с необходимостью выполнять громоздкие выкладки и кроме того, почти всегда требует привлечения вычислительной машины. В этой главе кратко изложены другие методы, с помощью которых решаются задачи о колебаниях жидкости в сосудах сложной формы. Эти методы, как будет видно ниже, дают возможность в некоторых случаях более экономно построить численную схему решения задачи или даже вообще обойтись без численного решения. 51.
Обратный метод решения задачи о собственных колебаниях жиДкости (131 Напомним, что задача о собственных колебаниях жидкости в сосуде сводится к решению краевой задачи на собственные значения: ь Ф 0 в области т; (4. Ц дФ вЂ” 0 на поверхности Е; ди (4.2) дФ вЂ” = АФ на поверхности 5, ди (4.3) -88— где собственное значение Х связано с собственной частотой колебаний жидкости о соотношением о~ ХД.
Предположим, что стенки сосуда имеют форму поверхности врашения вокруг оси, параллельной вектору ускорения силы тяжести (1. Как обычно, введем систему 1. координат Х уЕ, плоскость Х~ которой совпадает со свободной поверхностью жидкости в положении равновесия, а оеь Л направлена против вектора О, Кроме того, введем цилиндрические координаты по формулам Х-ГсоаВ; у-Га1пЕ; Х-а. Так как сосуд имеет форму тела вращения, то нетрудно показать, что спектр задачи двукратный: каждому собственному значению Х соответствуют две собственные функции вида сои Ф- и(Г,И ( ИЕ, И-0,1,....
При И О собственные значения однократные~). Поэтому решение задачи (4.1)-(4.3) можно искать в виде Ф у(Г, Х) сои НО,. (4.4) Прежде чем выписывать условия, которым должна удовлетворять функция у(Г, Х), преобразуем условие (4.2), Пусть форма контейнера задается функцией Р(Г, й) О. Ус- ловие (4.2) можно переписать в виде ЧФЮ ° О, где Й - вектор нормали к поверхности сосуда. В свою очередь, й.
ч~/Я~Р, поэтому условие (4,2) можно записать следующим образом: ЧФЧР = О.. Кроме того, на поверхности сосуда ИР- — Й+ — ИХ=О. дг' дГ дГ дХ Из двух последних равенств следует, что — Й вЂ” — ИХ - О на поверхности Е . дФ дФ дХ дГ (4.5) Доказательство етого факта пряводялось в В Я третьей главы, когда рассматрнвалась задача о собственнык колебанянк жндкостн в круговом няляндре — 89- А так как вектор Ч в пилиндрических координатах имеет проекции д/дГ,д/Где,д/дХ, то это равенство можно пере писать в виде дФдГ дФ дР— — + — — О, дГ дГ дХ дг Теперь можно следующим образом сформулировать краевую задачу для функции у(Г,»): 2 2 -~+г — +г — -и р-0; 2д Ч~ 37 2д Ф 2 (4.6) дг дг д»2 аг — — а» ~ 0 ни линии дф дф д» Зг (4.7) (4.8) при»-0.
(несущественный постоянный множитель здесь опущен), Из граничного условии (4.8) находим, что С Х. Таким образом, искомое решение имеет вид ~- г+ лг». Подставим это решение в соотношение (4.7) и получим дифференциальное уравнение ХМг — (1+Х») а» - 0. Зто уравнение легко интегрируется, Интегральные кривые его имеют вид - ~»+ -„) -С, Через Г обозначена линия пересечения поверхности сосуда и плоскости 8 сопМ. Треш (131 предложил следующий метод решении задачи (4.6)-(4.8),Построим гармонические полиномы, удовлетворяющие условию (4.8) . Очевидно, что они будут содержать параметр Х ° Далее подставим эти полиномы в дифференциальное соотношение (4.7) и квадратурой найдем фОРМу сосуда, которая соответствует фиксированному Х. Для примера рассмотрим следующую задачу.
Положим В 1 и будем рассматривать одноузловые колебания в сосуде, Решение будем искать в виде линейной комбинации однородных полиномов первой и второй степени; 1' а 1г + а 2» + Ь1 г +Ь2г»+бз» 2 2 Подставив это выражение в уравнение (4.8) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Г и», найдем~ что а2 ~ 0~ 61 ~ 0 и б2 ш 0ь и функция ф представляется следующей комбинацией гармонических полнномов: где С вЂ” произвольная постоянная. Эти кривые определяют семейство сосудов, в которых главная частота собственных колебаний жидкости равна Х.
При С 0 сосуд имеет форму конуса с полууглом раствора 45~. Глубина жидкости в сосуде )1 ) /Х, и радиус свободной поверхности Й )/Х. Отсюда следует, что частота собственных колебаний жидкости в таком сосуде равна . ~/К Соответствующую форму колебаний жидкости ) можно найти из соотношений й~х 0~ которое дает )'сов 9. При С> 0 сосуд имеет форму гиперболоида. Глубина жидкости в сосуде В и радиус свободной поверхности Й можно найти из соотношения -Ь+-~ -С 0; й - — -С < 1~2 х~ ~,2 Отсюда следует, что 2Ь Х~ и ав )12 Д2 ' Заметим, что асимптотами гиперболы являются прямые 1' ц т.е, гиперболический сосуд погружен в конический с полууглом раствора 450 (рис,21). При С < 0 кривая не пересекает оси 2, Подобным образом, комбинируя другие частные решения уравнения Лапласа, можно построить одну из форм колебаний в гиперболических и конических сосудах иной формы. За подробностями мы отсылаем читателя к упоминавшейся уже статье Треша 113) .
ф5~ Изложенный метод имеет один сушественный недостаток- он не позволяет найти весь спектр частот колебаний жидкости в сосуде. Кроме того, получаемое из условия ( 4, 7 ) дифференциальное уравнение не всегда решается в квадратурах, и в замкнутом виде задачу можно решить лишь в некоторых случаях. ~ 2. Колебания жидкости в бесконечном круговом канале ~141 Рассмотрим задачу о колебаниях жидкости в бесконечном круговом канале, радиус которого В, Введем систему координат Х'у'Х', плоскость Х~Х' которой совпадает со свободной поверхностью, ось Х' направлена вдоль оси канала, а ось у - против вектора ускорения силы » тяжести Я.
Глубину жидкости И будем отсчитывать от плоскости у' сопи1, проходящей через ось канала, так что В ( О, если канал заполнен жидкостью менее чем наполовину, Половину ширины свободной поверхности обозначим через йЯ, г;..е й - безразмерный козффициент(рис,22,а). Рис. Л Будем рассматривать колебания жидкости, форма которых антисимметрична относительно плоскости Х 0. Такие колебания возникнут, если канал совершает колебания вдоль оси Х», Так как канал бесконечный в направлении оси Х», то, очевидно, смешение частиц жидкости будет происходить лишь в плоскостях, параллельных плоскости Х'у» и не будет зависеть от переменной Х~.
Таким образом» задача плоскаяэ Перейдем к безразмерным переменным Х, у по формулам х', у' ы ' у ° ай' ай при х +у <-~-, 2 2 1 а (4.9) при х +у- - —; 2 .2 1 а2' (4.10) дФ вЂ” -1аФ при у= О, ду (4.1 1) где Х безразмерное собственное значение задачи, связанное с собственной частотой соотношением Х о2Й/8, Введем функцию Грина задачи Неймана (4.8)-(4,11) Н(Х, у; Ц,~1)~ как это было сделано в Ф 2 второй главы. Тогда решение задачи (4.0)-(4.11)можно записать в виде 1 Ф(х,у) - ха Г Н(х,у; ц,0)Ф(ц,0)дц. -1 Применив это соотношение на свободной поверхности, мы получим интегральное уравнение для определения функции Ф(Х, 0), описывающей форму колебаний свободной поверх- ности жидкости, 1 Ф(х, 0) - ха ~ Н(х,О; ц,О)Ф(ц,О)ац. Так как рассматриваются антисимметричные колебания жидкости, то функция Н(Х,у; ~, ~ ) должна быть нечетной по переменным Х и Ц. Соответственно, функпия Ф (Х,О) тоже нечетна по Х.
Поэтому нетрудно показать, что последнее интегральное уравнение можно привести к виду 1 р (х) 1 а Г 6(х: Ю р(~)д~ (4.12) 0 Тогда радиус канала станет 1/а, половина ширины свободной поверхности будет равна 1, а глубина жидкости 11 л/ай Ф может быть измерена углом Р агса1пс, где с М/Й, — 1< 8 < 1. Таким образом ~~-тД, если Ф~-1 (т.е. бак пустой) и ~ ~/2, если 8 1 (т.е.
бак полностью заполнен). В безразмерных переменных область показана на рис, 22, б. Если обозначить через ~ потенциал скорости жидкости и положить у Фсоаа$, то вычисление собственных колебаний жидкости сведется к решению краевой задачи на собственные значения: где у(Х) Ф(Х,О), а С(Х",4) 2Н(Х,О; Ц,О). В область-1<Х<0 функцию ~(Х) надо продолжить по правилу ф-Х) -у(Х). д Р / ССАЙ" ~з 2 ас э Ж=и -Ф й 3 2 Раб.
33 Будем строить функцию 6(Х; Ц). Функция Н(Х,у; ~, т~) является потенциалом скоростей течения, которое реализуется в данной области, если в точку (ф 0) поместить сток,а в симметричную ей относительно осн у точку (-Ц,0) поместить источник единичной интенсивности, Поэтому поступаем следуюшим образом, Область, занятую жидкостью, продолжим симметрично через отрезок (-1,1~ оси Х. Полученную область отобразим конформно на плоскость с разрезом вдоль отрицательной оси Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
