Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Для приближенного численного решения задачи можно бесконечную систему уравнений (3.44) заменить конечной, если в каждой сумме удержать только И слагаемых н оставить только первые 1Ч уравнений этой системы. ПРЯМЬЧЯНЯ6. В частном случае, когда а~ -а1 а'~ функции Фв определаютси формулами «н В а1п «.ка~ йа» ' О ~ ЕЬ вЂ” (в-Д ) ~в , сои 2 "Г~ Ча ~ .Ь вЂ”,ВО 2а» О причем косинус соответствует четным, а синус - нечетным значениим «. (3.47) ПрИМВр.
БИПОЛярНцЕ КООрдИНатц, В качестве примера рассмотрим задачу о колебаниях жидкости в канале, у которого граница поперечного сечении совпадает с координатными линиями биполярных координат. Рассмотрим аналитическую функцию я+И й 1п —, й-н (3.48) где в- ~+!р; и- у+О. Обратная ей функция имеет вид и-ай —.
Ю 2 Отделяя в последнем равенстве действительную и мнимую часть, получим аеЬ а ае1п 8 сЬ а+сов ~ сп а+сов и Линии а(у,2) соня~, р(у,2) сопи~ образуют в плоскости М криволинейную систему координат, которую называют биполярной. Вид этих координатных линий можно найти следуюшим образом. Так как а+у+О а, 1п то Отсюда легко находим, что (у — асйа) +х 2 2 а еи2 а (3.50) Таким образом, линии а сопн1 представляют собой эксцентрические окружности, центры которых лежат на оси у.
При и-~0 величины с~Ьи-~~-, вЬ а~ 0, и окружности вырождаются в мнимую ось. При сс ~ функции сйс~- й1,аЬ и~,и окружности стягиваются в точку у ~ 16. Так как а+У+12 ф ага 1п а-У-12 ' то Х Х а+у а-у 62 у2 Отсюда немедленно получаем, что У2+ (х — асф ~)2-— вщ (3.51) Легко видеть, что линни р сопМ образуют семейство эксцентрических окружностей, центры которых лежат на оси и расположены симметрично относительно оси у. При всех значениях ~, если М 0,7 Айе Это означает, что окружности (3.51) построены на отрезке (-6,61 как на хорде. При ф ж/2 центр окружности совпадает с началом координат, так как сф ф О и з1п ф-1. Если ф~О, то сф ф-~, з1п ф О, и окружности вырождаются в ось у. Так как сф~(к+ф)~сну ~ н з1п (7~+~) - з(п ф, то отсюда следует, что линии ~ ф0 и 2 2 ~0+г~ определяют собой одну и ту же окружность. Система биполярных координат показана на рис, 18.
Рис. И Так как 6 1 —, то из вида обратного отображения Ии Ив ' сразу находим, что 6 6 сЬ а+сов ф -60- В нашем случае надо выбрать знак минус. Это следует нз того, что И~ -)б~дй при 2' О. Пусть контур поперечного сечения канала образован линиямн а~ 1а ~ ф 0,~ ~0.Согласно результатам предыдущего параграфа решение задачи будем искать в виде ряда Фурье по функциям Фв, определенным формулой (3.47). Коэффициенты системы (3.44) надо вычислить по формулам, приведенным ранее в этом параграфе.
Заметим, следуюшее обстоятельство. Функция О сов— Ими И асс 2а~ 6(сс) соз— 2и' 1+сЬ о. Ит~к 6 в1пв 2й 6 (к)а1н — = ° Ит~ а 2а' 1+ сп Ика по функциям в1п —. 2и' распадается на две нечетна и разлагается в ряд Фурье Отсюда следует, что система (3.44) независимые подсистемы; — —,й —,+ХС„„и„+Х К С„„а„= 0, И- 0,1,..., < Ип И РО (1) (1) пх О где Ияа сов— йи; 1+сЪ а с (1) 0 пО Ит~и Вт~а сов — сов— а' и' ди, 1+ сна с ит сне О й 1,2,..., < а~ к " тп1 где 2И+1 т~а . 2й+1 тех в(п — — в(п —— (2) 2а 2 ~ 2 с„ Йй~ О 1+с'и и щ-0,1,....
Это соответствует тому, что потенциал скорости Ф можно искат е ь в вид Ила Ит~ сов — сЬ вЂ” „(р рО) Ф(1) Е а к' а и в сЬ— СС 1п с)~ ( Р РО) 2И+1 яа 2И+1 (2) " 2 и' 2 с~и в 1 / 2 а'" является четной относительно переменной а на интервале (-а'~ к*] и разлагается в ряд Фурье по функциям сов — ~. функция Первый из этих потенциалов описывает стоячие волны, симметричные относительно плоскости а 0. Эти волны не смещают центры тяжести жидкости в горизонтальном направлении.
Второй потенциал описывает несимметричные волны, которые смешают центр тяжести жидкости по горизонтали. Решение задачи может быть получено с помощью электронной вычислительной машины. В результате численного решения находятся собственные значения Х и соответствующие им коэффициенты ап и бп для заданных значений параметров а и фо ° Здесь мы ради простоты рассмотрим предельный случай малых а ° В этом случае все выкладки просто доводятся до конца, и получаются приближенные формупы для собственных частот и главных форм колебаний жидкости. Итак, будем считать параметр а'(<1. Сделаем замену переменной а а Х.
Тогда коэффициенты С(1) и С(2) примут вид.- лт пт (1) сов ИпХ 1 по 1+сЬ а~ Х О (1) ~ . сов ИлХ сов)Ит~Х ~ 1+сЪ а Х ° 2И+ 1 . 2В+,1 1 в1л — лХ в(л — ' лХ (2) 2 ~ 2 2 О 1+еИ а Х Будем искать приближенное решение задачи, отбрасывая $2 малые члены порядка а и выше. Тогда можно положить сЬ а~Х 1, и вычислить коэффициенты С(1) и С(2)~ лт лт — а при )и- и; 1 С С лт лт 0 при и(~и. С принятой точностью обе подсистемы распадаются на отдельные уравнения < и исоа~ — —,(П вЂ”,+-Х) ал - О, И- 0,1,...; а' а' — — — Й вЂ” — + — х~Ь -0 и=0 1 .... г 2И+1 л 2И+1 ~РО а 2 е 2 е 2,~ л а а -б2- с точностью до членов порядка а' сим- ~2 колебаний жидкости описываются фор- Таким образом, метричные формы мулами (1) 2ит~ Х и "~ро. — ©лл = 1т йл~л О (й~и), а несимметричные формы — формулами ) „- (2и+1) —,й — —, (2) 2И+ 1 ~0, иа 2 а Ь„„=1; Ь„„-О (и(~и).
Полученное решение совпадает с поперечными колебаниями жидкости в прямоугольном канале ширины а . В самом деле, из выражения (3.50) следует, что линия а=а' а' пересекает ось у в точке у 6 — ° 2 Полученное решение можно было бы уточнить, сохрае2 нив члены порядка а . Для этого в выражениях для коэффициентов С и С множитель (1) (2) 1 надо аппрок1+сп а Х симировать функцией — ~1- — а' Х ~.
И в этом случае все интегралы легко вычисляются. При этом и в систему для ф2 Фл, и в систему для ()л войдут члены порядка а . 3то дает возможность применить теОрию возмущений для приближенного решения этих систем ~). %8. Изотермические координаты (случай осевой симметрии) ср - )((Х,у)сЬ х(Х+л)сов о$, 1) В Ф 8 этой главы подробно описываетси применение методов теории возмущений дли решении подобных систем, Применение теории возмушений дли случаи близких областей излагаетси в 9 9, Рассмотрим задачу о колебаниях жидкости в вертикальном цилиндре с плоским дном.
Предположим, что границы плоской фигуры 5 (зеркала жидкости) образованы координатными линиями некоторой изотермической системы координат а= а(Х,~), р р(Х,~).Тем самым мы предполагаем, что известно конформное отображение области Ь на одну из областей, для которой известно решение задачи (такими областями являются, например, прямоугольник, круг и другие области, решение для которых приведено в первых параграфах этой главы, Как было показано в () 7 второй главы, потенциал скорости жидкости надо искать в виде Если все линейные размеры отнести к радиусу Й и обозначить через л Ь /Й безразмерную глубинУ жидкости, а через С ф/Й безразмерную ширину перегородок, то задача сведется к краевой задаче (3.52)г (3.53) на единичном круге 5 с разрезами длины С, равномерно расположенными по окружности(рис.18, 6).
Отобразим область 5 на единичный круг 51 в плоскости Ш И . При 38 этом мы будем использовать принпип симметрии, Последовательность отображений и отображающих функций показана на рис.18, Подробно" сти читатель может найти в книге М.А.Лаврентьева и Б.В.Шабата (81. Функния, отображающая внутренность единичного круга с й разрезами на внутренность единичного круга, имеет вид Для простоты предположим, что с много меньше единицы, так что можно считать, что параметр е — «1.
Юб 4 (3.62) Тогда нетрудно показать, что с точностью до величин порядка е2 функция В(И) имеет внд С той же самой точностью обратное отображение задается функпией Теперь задача сведена к решению краевой задачи на единичном круге для уравнения (3.55). С принятой точ- где 2 -1+4ИТ +Т -2(И-1)Т сов И8-2(И+1)Т с вИ8 6 (Тп,соаИ8)-2 ° Э (1-2Т сов И8+Т ") 2п 2 вспомогательной задачи (ЗЛВ), (3.57) в дан- имеет внд (см, 63, глава1Ц): Решение ном случае 1 ф упу — я шу 1 ф . и Шу 1пу' ( х,Т )соаИ)8, уй 0,1,..., ~ 1,2 (х Т)в1пй8, )И 1~,..., 1 1в2ю..., (364) 2 Х -и1 (х ), К,--1 —— 2 2 — 2 и )Н ОУ О ОУ ~ пзу 2 — 2 ту' где х ~-1-ый корень уравнения у (х) О.
Решение задачи (3.55) будем искать в виде Х Е а,пу Ъу+ Е Ь,пу 9~1 ° у 1 у 1 т О т 1 Теперь нужно разложить функции 6 (Т,8) у,п н 6 (Т, 8) у 2 2 в ряды Фурье по системе функций (у ~, ~уп,у) на единичном круге. Прежде чем выписывать эти ряды, отметим следующее обстоятельство. Функция 6 (Т, 8) четна по переменной 8, функции у у также четны, а функции у,пу нечетны по 8.
Таким, образом оказывается, что периодическая с периодом 2и функция 6 (Т,8) у,пу четна, а периоди- 2 2 ческая с периодом 2и функция 6 (Т,8) у у нечетна по 8. Отсюда уже с очевидностью следует, что в единичном круге разложение функпии 6 (Т,9)у,пу имеет вид 2 6 (Т8)у . Е а . у,, ° 2 " (ву) ту й*О Соответственно 2 - " Ж) 6 (Т8)~ .- Е 8 ву .
Йу йу й ° 1 -68- 2 НИ 2 постыл функпия О (Т 8) — может быть записана сле- Ф Д дующим образом: 62(Т,8) 1+ е6 (Тп, сови8), Коэффициенты а ! и р .У имеют вид й( й( (в1) 6(ву) + ец ~ву) (ву) 6(ву) (ву) айу ~ й1 + аЦй1 , '1й1 6й, + ет)йу где 6 . 1, если 1 ~, Ь В; 6„. 0, если 1т(1, Й т~В, (ву') ° ву й! й( (ву) 1 2тс п - Г 1'й Х 61(т",совка)~„~~й,.да; о о (3.65) 1 2тс ( И)' ~ 6 (У'и,сои)1а)ц, р Иа. (х — х~)йв~+ ах~ Е Ц ййу 0 ~ 12,...; уи 01,...; 1* 1 й о (3.Е6) (х -х ° )5 .+эх Е т) Вйу 0,~ 12,... уз 12.... -2 2" (М ву ву ву И йе1 Это означает, что собственные функции задачи распадают- ся на две ортогоналъные друг другу подсистемы: ОО ОО х- е и„.~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
