Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Положим у О, тогда из условия (1.32) сразу найдем, что С О. Положим затем )~ 1. Условие (1.32) нам дает з1п ~/Ъ1 О, Это равенство может иметь место тогда и только тогда 1 когда число й удовлетворяет равенству ~%1 и с, — 16- При х 0 должно иметь место условие (1.30). Область т бесконечна, поэтому требуется еще некоторое условие, которому должна удовлетворять функция Ф при Х вЂ”, Естественно считать, что при х -, так же как и во всей области, скорость жидких частиц (т.е. величины ~ Ф) ограничена.
Будем искать решение в виде произведении Ф(у,й) У(У)2(Х) . Подставляя в уравнение (1.31), получим у « °,~~ ВŠ— + — ~ О У Е где И - любое целое число. Таким образом, У(У) - С,сов~у, (1.33) здесь С 1 - про извол ьное число, Функция 2 удовлетворяет уравнению откуда л~С пк ~ л ° ~ Я 2-Са +Се Так как второе слагаемое при й-~-м обращается в °, то постоянную С4 следует принить равной нулю. Итак, полу- чим окончательно птс Ня Ф(У,я) - Ссов-~-"Ус ' х-п,/1, и, следовательно, собственная частота определяется формулой (т ю ИТСД/1р (1.34) Потенциал скоростей искомого движения жидкости имеет вид пт~ Рп(Ур й ~) С сов Т Ус сову — 1.
(1 Зб) Ит~ 1 ! Я~И Нам осталось теперь найти только форму волны. По фор- муле (1.28) найдем, что Ф„(У) = асов -~-У, (1.3Б) а — амплитуда — число произвольное, С постоянной С оно связано равенством Са С ~/Ф~9 8 И~1 БрО рор Ррррр р,„р рл ер Ромехрррр„Л~ . — 17- где с С1 Сз- произвольное число. Для определения собственной частоты о мы используем теперь условие (1.30), Подставляя в него выражение Ф, найдем Функции Ф„называются главными формами колебаний жидкости. Итак, мы установили, что поставленная задача имеет бесчисленное множество решений, которые даются формулами (1.34), (1.35) и (1.38).
.Для того чтобы представить себе физическую картину, которую описывает найденное решение, выясним, как деформируется свободная поверхность ~д (7, $ ), соответствующая частоте ав. На основании формул (1.27) и (1.38) получаем ~,(у,1 ) - асов-"~-~в1п п,1. (1.37) Фиксируя значение у, мы видим, что точка поверхности волны совершает периодические колебания с частотой о, т.е. поверхность жидкости представляет собой стоя- 5' чую волну, Если фиксируется значение 1, то видно, что в каждый момент времени волна имеет вид косинусоиды.
Высота горба и глубина впадины будут одинаковыми и равны Фе1п о„$. В момент времени $ О, ж/ол,2м/стд и т, д. свободная поверхность, распрямляется: в эти моменты она представляет собой горизонтальную плоскость. Ряс. 4 -18- Амплитуда колебаний точек свободной поверхности зависит от координаты )~. В точках, нмеюших координаты У И/И (В 0,1,.",И) амплитуды максимальны и равны а ° В этих точках расположены горбы н впадины волны. Ам- плитуда колебаний точек свободных поверхностей, имеющих координаты у В1/2И (к 1,2,-.,И), будет всегда равна О. Эти точки непОдвижные.
Они называются узлами, В зависимости от номера главного колебания И число узлов различно. На рис. 3 изображена первая одноузловая форма главных колебаний, рис. 4 и — вторая двухузловая форма, а на рис. 4, б — третья. Выясним теперь, как движутся жидкие частицы. Для этого воспользуемся следующими равенствами: вг~ ~У д~ Й~~ ! — С -а1в -~Ф сов о $; и Иа ~Ч' И~ И вЂ” — ~ — сон — УФ соз а Й дю 3 3 и Так как С вЂ” величина бесконечно малая первого порядка, то в правых частях этих уравнений можно заменить зна- чения ~ и Х их значениями в положении равновесия ~ Таким образом, ф Ий ИС 1 В ' дф 2 и — -й сон о $; — 6 соао 1, где вк ~ — сов — УОФ Ия Ик 2 У 1 О Таким образом, частицы жидкости совершают колебательное движение с частотой ов и амплитудой 61+ 62, при- 2 2 чем эти амплитуды убывают с глубиной по экспонейциальному закону, притом тем быстрее, чем больше частоты колебаний.
Найдем траектории жидких частиц. Для этого составим выражение ИХ ©2 Ик — = — — = — сф — у Иу — а, — 1 О (1.38) Уравнение (1.38) - это уравнение прямой. Наклон этой прямой зависит от ординаты точки, Точки, лежащие на одной вертикали с горбом нли впадиной ( 70 й1/И) движутся по вертикальным прямым. Точки, лежащие на одной вертикали с узлами, движутся по горизонтальным — 19- прямым, На рис, 5 отрезки жирной прямой показывают траектории частип в различных точках, лежащих на одной и той же глубине. 57, Задача Коши Выше было установлено, что, как и в случае малых колебаний математического маятника, часРяс.
5 тота колебаний жидкости между вертнкальнымн стенками не зависит от амплитуды. Послед няя, в свою очередь, определяется только начальными условиями. Рассмотрим математический маятник. Его движение описывается уравнением 8 + о2д~~ О (1.39) здесь о ~Я) — частота колебаний; Ю вЂ” угол отклонения от положения равновесия.,Для того чтобы определить закон движения, надо решить уравнение (1.39), которое удовлетворяет определенным начальным условиям: в начальный момент должен быть задан угол отклонения д фО и угловая скорость К д~.
Искомое решение будет иметь внд О д дО сои о1 + — а1п о$- (У 2 О 3 + — сов(о$ + 6); О о2 (1.40) О В агсф ~- — ~- ) ° О волны; (1 41) Вернемся теперь к задаче колебания жидкости и рассмотрим более сложную задачу определения движения по начальным условиям (эту задачу мы будем называть задачей Коши), По аналогии с маятником в качестве начальных условий зададим начальпое отклонение ( форму волны в начальный момент) и скорость точек поверхности Таким образом, задача Коши - это задача отыскания гармонической в т функции ср(~, Е, ~ ) и- формы волны ~(у,1), удовлетворяющих краевым условиям (1,24) и начальным условиям (1.41). Построим решение задачи Коши для случая колебания жидкости между двумя вертикальными плоскостями.
Будем разыскивать решение в виде суммы решений типа (1.35): ср Е ~„(1) сов — 316 Ия Ю' и .1 1 (1.42) Е ~1 ($)сов — У, и ° 1 где 1 и я„- подлежащие определению функции времени. Первое из условий (1.24) позволит сразу найти связь между функпиями фи и 1и. Подставляя в это условие выражения (1.42) и приравнивая множители при косинусах одинаковых аргументов, получим 11 - — 1 И7$ и ] и' (1.43) Таким образом, И 7~ ср Š— с1„(Й) соа — УФ И 1 и 1 Ии и 1 6 +~ич (1 44) где 2 И 7~6 и п 1 Уравнение ( 1.44) совершенно аналогично уравнению колебания маятника (1.39). Таким образом, колебание жидкости в объеме т эквивалентно колебаниям бесконечного количества маятников, длины которых равны 1/и7~. Нам осталось теперь найти начальные условия для уравнений (1.44).
Подставляя далее это выражение во второе из условий (1,24), получим уравнение, которому удовлетворяют функ- ции ~1 в ряды Фурье по созИ~~у: Им соз — у. ! Разложим функпии ~ и ~ 1 м Е д о в=1 Е Ь соз — у, Ит~ и=1 1 где 2 а, - ! Г ~о(У)соз ! уеду; Ит~ о Ь вЂ” ~ ~ 1'(у)соз — фу. 2 . Ит~ ! 1 Условия (1.41) при $0 можно записать в таком виде; дц„ «„(О) - а„; —" - Ь„, о а решение нашей задачи теперь может быть записано Ь„ а созо й+ — ~з1по 1, й ~ й <у л п т, е. совершенно аналогично ( 1.40 ) .
Следовательно, для функций Я„роль начального отклонения и начальной скорости играют коэффициенты ад и Ьл. Выпишем в заключение общее решение линейной задачи: оа ( ~ !Д ~ Ит~н ! ~ Итси ~1 ср Е ~-а ~ — з1п~ — 1+Ь вЂ” соз~ — $)соз — ус (1А5) ОО Ит~9 ! °, Ит~В Итс Е а сои~( — $+Ь ~ — з1п~ — $ соз — у .-1 ° Нетрудно проверить, что найденное нами решение удовлетворяет всем условиям и граничным, и начальным, 5 8. Зне!и.ия жидкости т 1руу йт. с (1.46) Кинетическая энергия колеблющейся жидкости определяется выражением Если движение потенциально, то Т 1 РХ(Чэ)~И 2 (1.47) Преобразуем объемный интеграл в поверхностный по формуле Грина ((79) Ит- / Ч вЂ” а й дф 'т дв и воспользуемся условием на смоченной поверхности Е: д<р/дВ О.
Тогда т- .РИ вЂ” а, д~р дй ио согласно (1.24) аР 1 а'~ ЭГ, дк И дй дй Поэтому выражение для кинетической энергии можно за- писать в двух следующих эквивалентных формах: т — Р~~ — а; а~ аю т 1 Р 2Й~ дй~ Вычислим потенциальную энергию П (1.46) (1.49) (1.5 О) и- Мл'+С, где М вЂ” вес жидкости: й' - аппликата центра тяжести; С вЂ” произвольная постоянная. Обозначим через т(1) объем, занимаемый жидкостью в момент времени $. Напомним, что через т обозначен объем, ограниченный поверхностью Е+Я, т.е.
объем, занимаемый жидкостью в положении раи новесия. Выберем постоянную так, чтобы потенциальная энергия в положении равновесия была равна нулю, т.е. С -Мйе, где 2 -аппликата центра тяжести в положении равновесчя. йалее Преобразуем интеграл (1ЛО) (рис. 6) Г 2~т- ГИт+ Гй Г242. ~(с) т, я О Поэтому г 2'- — ) ~ 05+2', В результате мы получаем формулу для подсчета потенциальной энергии П- рй ('~2а. (1.5г) 5 Вычислим кинетическую и потенциальную энергию жидРис. 6 кости, колеблющейся между двумя вертикальными плоскостями (отнесенную к единице длины канала), Рассмотрим сначала И-е главное колебание, которое описывается формулами (1,35) и (1.37), Пользуясь формулой (1.48) или (1.40), сразу находим Т вЂ” ря16 сов ст 1 ° 1 2 2 (1АЗ) Точно так же находим П - рр1а а(п а 1 2 2 й (1.64) Заметим, что полная энергия Е не зависит от времени, Она не зависит также и от номера главного колебания. Полная энергия определяется только квадратом амплитуды а и шириной зеркала свободной поверхности 1 Е -41 рфа2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
