Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Опираясь на проведенный анализ, теперь можно указать, как надо выбирать эти функпии; чтобы система (2.15) подобно системе (2.18) распалась на отдельные уравнении. В качестве функций ул возьмем функции, определенные равенством р„(Р) - л„Б р„(()), где у„- нормированные собственные функции оператора Н. При Ре5 ч„(Р) - ч„Я).
(2.29) Из равенства (2.25) и смысла оператора Неймана Н следует, что (2.30) л~п ' Вычислим коэффициенты а„,п уравнения (2,15) ар„~ О, и~а; лю ~ д / ~~ ~ л (~и~пи~~ Таким образом, система (2.15) также распалась на от- дельные уравнения которые совпадают с уравнениями (2.27), Мы установили, что движение жидкости описывается пеРеменными 1л(Ф) или ~„(Ф), котоРые УдовлетвоРЯют системам (2.16) и (2.18), Далее было показано, что системы (2.15) и (2.18) эквивалентны и с одинаковым правом могут быть использованы для исследования колебаний жидкости, Однако переменные ~„и ф„не тождественны друг другу: они имеют различный физический смысл и различную размерность.
Для будущего полезно установить связь между ними. Используя кинематическое соотношение, мы найдем, что потенциал ~ следующим образом определяется переменными и л' В точках Р~Я выполняется равенство Ну — у поэтому 1 л ~ л ° л оф ф ч(Р,1) е — ~„(0) Ре5 ° (2.31) лв1 1'л Но, с другой стороны, В точках Ре5 в силу равенства (2.29) ~рл(Р) ул(()), поэтому ч(РМ- е ~ ч„(0), РеБ. л 1 (2.32) Сравнивая (2.31) и (2.32), находим первую из искомых зависимостей (2.33) — 34- Условие постоянства давления можно представить в сле- дующем виде: ФО и в то же время ~ т. ~ у .
Следовательно, л 1 В В ф В Я (2.34) Это - второе из искомых соотношений. Таким образом, переход от переменных ) к переменным и и обратно л л требует только одной операции дифференцирования. ~ 6. Эиергия жидкости Составим выражение енергни в переменных а и 1 л л' Кинетическая анергия определяется выражением Т=- р ) (дел ат. т Т-- р Г ср — ~б, 1 дср 2 ди (2.3б) но на дср/ди ~Ой. Используя, кроме того, кннематическое соотношение получим Т=р ) ср — Ж.
д~ 2 (2.36) Нана $ д~ Š— Ил: Е Ф И л1Хлл' д1 „, лл Позтому для кинетической анергии мы получим выражение Ф юо Я оо Т- — р У ~ -й.~ ~ ~',~1ИЗ, 2 л1Х, лл откуда в силу нормированности и ортогональности функций ул имеем окончательно юй Фл Т- ~р е —. (2.37) лв1 ~"л При помощи формулы Грина заменим объемный интеграл поверхностным Для того чтобы получить выражение энергии в переменных ~„надо в выражении (2.35) принять и воспользоваться тем, что на 5 выполняются равенства (2.9) и (2.30). Тогда аналогично предыдущему получаем Т ~~Г Р Е ХлГ„° и 1 (2.Э8) Потенциальная энергия П выражается формулой (1.52) и-~~ рй 1~2Ю или П ~~ рИ )(Щ„д )~15 ~ р)) в ~' ° )2.З9) В переменных ~„мы получим выражение (см,(2,34) ) — ~ Г„° (2АО) 2я „, л Вычислим производную полной энергии 4Е ИТ Ип й Ис й' Используя равенства (2.30) и (2.37), найдем В силу уравнений движения выражение, которое стоит в скобках, равно нулю.
Следовательно, полная энергия колеблющейся жидкости постоянна. Этот результат можно было предсказать заранее, так как жидкость идеальная и сил трения, рассеивающих энергию, нет. ПРИМЮЧИНИ6. Найденные выражения для энергий позволяют отметить одну важную особенность переменных и ° Если составить функн пию Лагранжа 1. Т-й, то легко убедиться, что уравнении (2 27) ляютси уравненными Лагранжа второго рода малых колебаний жидкости, если в качестве координат взяты функпин у„. Также легко убедиться, что функиии ~„не являются переменными Лагранжа.
~ 7. Колебания жидкости в цилиндрическом сосуде Выделим специально случай цилиндрической области, у которой образующая вертикальна, а дно горизонтально (см. рис. 8, где приведены также и обозначения). -Зб- Рассмотрим сначала задачу о собственных колебаниях. Положим Ч(1;1)- Ф(Р)со о.1. Функции Ф гармоническая в т. На дне она должна удовлетворять условию дФ вЂ” -О; л--Ь. дх (2.41) Легко проверить, что условие (2.41) будет выполнено, если функцию Ф принять в виде Ф Х (Х,У)сЬ х(й+Ь. (2.42) Функция Ф удовлетворяет условию (2.41), каково бы ни было число х. Подставляя выражение (2.42) в уравнение Лапласа, найдем, что функция Х удовлетворяет уравнению Л „Х+ к ~Х О. (~.43) Рио.
В ,Для того чтобы было удовлетворено условие непротекания через боковую поверхность цилиндра, т.е, для того чтобы на этой поверхности — О, функция Х должна на Е дФ ЗИ Ьраница области 5) удовлетворять граничному условию дх аОв дИ (2.44) ~и(Ь~У й~1) Ха(~.У)сЬ ки(1+В)сои о„$, (2.45) где са — пока еще нами не определено. Функция (2.45) является гармонической и удовлетворяет условиям непротекания на Е.,Цля того чтобы удовлетворить условию постоянства давления на 5 ° необходимо надлежащим образом выбрать собственную частоту — число ~, ° Используем -37- Краевая задача (2.43)-(2,44) имеет решения только при исключительных значениях параметра к, которые называются собственными числами этой задачи.
Этн числа, которые мы будем обозначать через хл, образуют дискретную неограниченно возрастающую последовательность. Соответствующие им решения Х (й,У) называются собст- и венными функциями. Таким образом, потенциал И-го главного колебания будет иметь вид Глава ярйяьл МЕТОД ФУРЬЕ Выше мы уже познакомились с методом фурье. В на" стоящей главе рассмотрим ряд задач> которые этим ме" тодом решаются эффективно 1). 5 1. Стоячие волны в прямоугольном канале Рассмотрим поперечные волны в канале прямоугольного сечения (см.
рис. О, где приведены обозначения и размеры). | Систему координат введем так, как это указано на рнс, О. Частные решения ищем в виде ~с(У,У,В) - ~(Ф) У(У) ~(2), У(У) сон -"1- У; (3.)) где И - любое целое число. Легко проверить, что в таком виде Рис. 9 функция у удовлетворяет граничным условиям на стенках канала (условия обтекания) ° Будем решать задачу о собственных колебаниях.
Для этого положим ~ - Ссоа о.1. 11Перечень таких задач невелик. Практически он исчерпывается теми случаями, когда область т представляет собой нилиндр с вертикальной образуюшей и горизонтальным дном. Несмотря на ето, значение указанных задач весьма велико, так как на практике часто встречаются емкости подобной формы, Кроме того, в перечисленных случаях задача оказывается особенно простой и доступной для детального исследования, а результаты - очень наглядными. -40- Тогда условие постоянства давления (2,2) нам даст значение собственной частоты а — Й вЂ”. 2 6 И~)1 (3.2) и ! ! Таким образом, в прямоугольном канале могут возникать стоячие колебания жидкости, которые описываются потенциалом (3,1), а собственная частота колебаний дается формулой (3,2). Форм таких колебаний бесчисленное множество, каждому натуральному числу отвечает своя форма колебаний.
Обратим внимание на зависимость частоты о„от параметра Ь/! (относительной -глубины). Табл. 1 иллюстрирует эту зависимость (через а' обозначена величина о' ~ ~) Табл и ца1 Мы видим, что величина собственной частоты заметно изменяется с глубиной только для очень мелких водоемов и только для первых собственных частот, когда длина волны не очень мала.
Если исследовать колебания жидкости в сосуде более или менее значительной глубины, то во многих случаях с достаточной степенью точности сосуд можно считать бесконечно глубоким и формулу (3.2) заменить приближенной: (У ° ° 2 1~~6 ! (З.З) С этой формулой мы уже встречались, анализируя пример в первой главе (см, (1.34)) ° Для иллюстрации точности, которую обеспечивает формула (3.3) заметим, что при вычислении даже первой собственной частоты колебаний жидкости в сосуде, глубина которого в два раза меньше ширины зеркала свободной поверхности, формула (3.3) дает погрешность порядка 4%. 2 П2~ 2~)~ 2 1 (3.4) Форма свободной границы определяется из соотношения (3.5) Обозначим через ~„- форму свободной границы И-го главного колебания, тогда на основании (3.5) (3.6) ~л й„~р„в1п о„1, здесь через у„обозначена функция 2 пт~ ~у = — сов — У, ,/1 которую мы будем называть главной формой колебания.
Зта функция нормирована условием 2 ~ ч„(У)дУ 1 ° о Амплитуда а„является произвольной постоянной. С постоянной С„в выражении потенциала (3.1) она связана соотношением ~ О Л и ь П вЂ” — сн —. 6 2 Хак показывает формула (3.6), первое главное колебание имеет одноузловую форму свободной поверхности (узел в точке У 1/2 ). Свободная поверхность второго главного колебания обладает уже двумя узловыми. точками (У !/3 и У -21/3) и т.д. Обозначим через Л„длину волны. Очевидно, что 21 Л И йалее будет видно, что такая зависимость частоты колебаний от глубины жидкости наблюдается во многих других случаях. Это обстоятельство позволяет упрошать вычисления, если только глубина жидкости имеет порядок линейных размеров свободной поверхности, Если речь идет о волнах на поверхности очень мелкой воды, причем основной целью является вычисление первых собственных частот, то зависимостью частоты от глубины пренебрегать уже нельзя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
