Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Поэтому в силу уравнений движения для частиц поверхности Здесь индексом ( )О обозначены точки поверхности волны в момент времени $О. В качестве точек»,у,» возьмем точки поверхности волны, лежащие в момент времени ФО+ М на нормалях, восстановленных в точках»О,уо»О х поверхности волн. Поэтому эти точхиг помимо уравнения (1.8), в котором мы отбросим член порядка (Ы)» г удои" летворяют еще уравнениям нормали: (В, ®), »»о (»»о)' у уо (»»о) аР ' ' аР Уравнении (1.8) и (1.9) позволяют вычислить величины»-»о,у уо,»-я ', г -г, - -ф1гс® '; (1.$) уу, а ь|аР »-» -д ь|~Г к» дР где Следовательно, )г - длина отрезка нормали х поверхности волны в момент времени 1, заключенного между этой поверхностью и по верхностью волны в момент времени гО+ М г выражается формулой й(»,у,» ) (»-» )»+(у-у ) +(»-» ) - ~" ~ ай —.
~,дф,~о К Таким образом, за время И рассматриваемый объем Т увеличится на величину аТ- ~~ — ~а1 — Ж, /дР~ 1 , ~а1~ к 1 Г~ — ~ — а--Гр„~~. Ги„а. гаР 1 , ~дв), К Второе слагаемое правой части имеет порядок 1, Кроме того, о о .о $» 51 при 1~0 и поэтому Н» ~ И», где 5» - единичный вектор норг 1 мали х поверхности $1 ° Следовательно, переходя в этом выражении х пределу при 1~0 и принимая во внимание, что $1 произвольно, получим условие неразрывности в виде р„+ — — О. о (1.10) — 10- где $1 - площадь поверхности фигуры АВС1) (см. рис, 2) ° Тах хах жидкость несжимаемая, то изменение ее массы в объеме Т может быть компенсировано только за счет притока жидкости через поверхность 32(А1В 1С1В1) и боковую поверхность Яо, Следовательно, принимая во внимание знак нормали, мы придем х равенству Нетрудно убедиться в тождественности равенств (1,10) и (1.7).
В самом деле, и„- ю+ ~р+ув, где а,~, у - направлявшие косинусы нормали; Так как кроме того и <Ь/а1 и т,д., то равенство (1,10) можно переписать И у- 6. Б. ДЬнамячвског умоаив, Кроме кинематических условий мы подчиняем искомые функции требованию, чтобы на поверхности волны давление было равно заданной постоянной, равной атмосферному давлению; так как жидкость несжимаема, то не ограничивая общности, эту постоянную будем считать равной нулю, Тогда вдоль свободной поверх- ности р- О. (1.1 1) 54.
Случай потенциальных течений Потенциальными или безвихревыми движениями жидкости называются течения, обладающие свойством а - го1 Р - Ч х й - О. Как известно, это условие является необходимым и достаточным для существования функции ~ ( потенциал скорости) такой, что или в скалярном виде дскб дср и= —; и- —; дх' ду д~р и) = — е д.й — 11— Условие (1.11) называется динамическим, т.к, в него входит давление, Итак, давление р и скорости частиц жидкости, колеблющейся в сосуде, должны удовлетворять системе уравнений (1.2) и граничным условиям (1.4), (1.6) и (1,11).
Заметим, что форма свободной поверхности (волны) также должна быть определена в процессе решения задачи. Следовательно, в общей постановке кинематическое и динамические условия выполняются на неизвестной свободной поверхности. В прикладных задачах особое внимание уделяется именно потенциальным. течениям. Это происходит потому, что любые движения идеальной однородной несжимаемой жидкости в поле силы тяжести, вызванные импульсивными силами или давлениями, являются потеициальнымн.
Используя уравнение непрерывности, найдем, что функция ~р(2,~,2,$) гармоническая по координатам Ю,~,З, т.е. удовлетворяет уравнению Лапласа д~~р д~у д2<р — + — + — ~ О дМ2 д72 д2'к или Граничные условия (1.4) и (1.7) перепишутся теперь тах: на Š— =О; дср ди (1.12) на поверхности волны — + + (1.13) й' д2 д2 ' дУ дУ дй ' Динамическое условие (1.11) можно записать в такой форме, чтобы оно нахладывало ограничения только на функцию у и не содержала давления. Для этого надо воспользоваться интегралом Коши-Лагранжа.
Так как течение потенциально (т.еД ~ О) и х дх, то фа уравнение (1.3) можно записать в форме (д~р (ч4 Р~ 7 — + — +82 +- =* Ое ~м 2 р) (1.И) Градиент выражения, стоящего в скобках, равен нулю, следовательно, это выражение не зависит от координат,т,е. дЮ 1 2 Р дФ вЂ”.~(7 р) +Н2.--©О, Р где (~($) — произвольная функция времени. Равенство (1.15) носит название интеграла Коши-Лагранжа, Теперь динамическое условие (1.11) при Х * ~(Х, у, 1) будет записываться так: дС вЂ” +-(с~ <р) +В~-0 д9 1 2 (1.16) Не ограничивая общность, функцию (,) можно считать равной нулю, В самом деле, рассмотрим две функции ~р и ~р1, связанные соотношением -12- с ч-ч +Г®® о Так как дц Чр, то эти функции определяют одно и то же течение, но условие (1.18) для функции ~1 при Х будет — +-(~у ) +~~ О.
1 3$ 2 1 (1.17) Хотя условие (1 17) накладывает ограничение только на потенциал скоростей, оно тем не менее является динамическим, так как в него входит потенциальная энергия частиц жидкости, лежаших на поверхности волны. Итак, в случае потенциальных течений задачи определения скоростей жидких частиц и давления разделяются. Сначала определяется гармоническая функция у(Х, ~, Х, $) и форма волны ~(Х, ~, С) по условиям (1.12), (1.13) и (1 ° 17), а потом давление рассчитывается по формуле Р- -р — -х-Ф~ч) -®».
3% 1 2 3$ (1.18) 5 5. Линеарнзация Большое значение для решения прикладных вопросов имеют линейные задачи, так как во многих интересных случаях амплитуда волны и наклон ее поверхности бывают малыми. Это позволяет значительно упростить постановку задач за счет линеаризации. Процесс линеаризации сводится к следуюшему, Все функпии, характеризуюшие движение жидкости (скорости, их производные по координатам и времени, высота волны, т,е.
шах ~ ЦХ, у, $)~ и производные 3~/3Х, 3~/3У, 3~/3$) считаются бесконечно малыми первого порядка. Все величины порядка выше первого отбрасываются. Поэтому уравнение движения (1.2) и интеграл Коши-Лагранжа (1.15) примут внд: дР +О 1 3$ ИХ 7Р' р (1.19) 3у 3Ф вЂ” +у+- - а. (1.20) На этом же основании кинематическое условие на поверхности волны будет записываться — 13- д~ дй а 9 ° (1.21) Рассмотрим теперь некоторую функцию Ф(х, ... ) такую, что ее производные суть малые величины первого порядка, тогда Ф(~,...) Ф(0,...)+~ ~ ~+.... (дФ~ ~дх~, Так как второе слагаемое — малая второго порядка, то на этом основании оно также должно быть отброшено.
Таким образом, условие (1.21 ) должно быть выполнено не на поверхности волны (котораи заранее неизвестна), а на плоскости й О. Точно также мы должны потребовать выполнения динамического условия р 0 при Х~0 . В случае потенциальных течений условие (1.17) будет записываться — + а~-о. (1.22) Таким образом, потенциальные волновые движения жидкости описываются гармонической функцией ~, которая удовлетворяет условиям: ду — О; (1.23) дн на Е д~ дскб ° у д! дй' на 3, т.е. при л 0 (1.24) д~ д$ — +ц~ 0.
Если мы нашли функцию щ удовлетворяющую условиям (1.23) и (1.25),то форма волны определится выражением ~ав ~д 5 6. Основнаа линейная задача (1.26) Среди задач теории колебаний тяжелой жидкости особое место занимает задача о свободных (илн собственных, — 14- Эти условия содержат неизвестную функцию Ю ~( ®, ~, 1), которая описывает форму волны. Из условий ( 1.24 ) эта функция может быть исключена дифференцированием второго нз этих условий по $ ° В результате получим д2 ср дср — +6 — - 0.
(1.2б) дй или главных) колебаниях. Этим термином мы будем называть такие потенциальные течения жидкости, потенциал скоростей которых имеет вид ср(Р,й) Ф(Р) сон стй, здесь буквой Р обозначена точка с координатами Х, ~, й, Число о называется собственной частотой.
На основании равенства (1.28) форма поверхности волнщ главного колебания будет %(х,у)а1ц о$, (1.27) где ж - ~ Ф(х,У,0). 6 (1да) Функция Ф(Р) будет гармонической в объеме ч, ограниченном плоскостью 2 0 (поверхность 5) и поверхностью Е. Она должна удовлетворять условиям: на Е дФ о; И~ Ф (1.29) дФ вЂ” ХФ~ дк на 5 (1.30) где Х~ о /8. 2 Задачу определения функции Ф, гармонической в т, и числа Х по условиям (1.29) и (1.30) будем называть основной линейной задачей. П Р И М 6 Р .
В предыдущих параграфах мы выяснили каким уравнени- ~У ям и каким граничным условиям должны удовлетворять скорости частиц колеблющейся жидкости. Теперь рас- х 4гу.й смотрим простейший пример такого движения — изучим колебание жидко- 9 сти, заключенной между двумя вертикальными плоскостями (см. рис.э, где приведены обозначения), Глубину жидкости будем считать бесконечной, г а движение — потенциальным и плоским. Последнее означает, что любая жидкая частипа движется в некоторой плоскости, движение жидкости в нлосввстях, перпендикулярных некотоРой оси, совершенно идентично. Таким Ряс.
3 -1$- образом, потенциал скоростей не будет зависеть от координаты Х, Сформулируем для нашего объема т основную линейную задачу. Согласно предыдушему, задача сводится к отысканию функпии Ф (У, й), гармонической в области т,, т.е, в этой области она должна удовлетворять уравнению Лапласа д Ф д Ф вЂ” ~+ — О, ду д1й (1.31) а на границах области (см. (1.29)) при у О или у 1 условиям «,О ° дФ ду (1.32) нли ~ю уме — =- — -В, 2' У Так как левая часть этого равенства не зависит от у, а правая часть- от й, то Й вЂ” некоторая постоянная. Отсюда Х" +й У-О. Следовательно, У С сои~/Ъу+ С ит ~%у, где С1 и С2- постоянные, которые подлежат определению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
