Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 4
Текст из файла (страница 4)
(1Л5) Глааа апораа некотОРые ОБщие ВОпРОсы теОРии мАлых кОлеБАний тяжелой жидкости ~ 1, формулировка задач ~(х уэ О) «0(х у)3 (2.3) (х,у). а~~ ю О (2.4) -25- В этой главе рассматриваются некоторые общие вопроСы, связанные с линейной задачей. Напомним, что линейной мы называем задачу определения всевозможных .и функций <р (Р, 1), гармонических в т по Р (рис,7) и удовлетворяющих условиям а — = 0 на 2р (2.1) Ю У аа — +ц — = 0 на Я. (2.2) а2, а~ а~2 аю Мы будем рассматривать сле- Е дующие задачи: а ) задача определения функций ср,периодических по $ Рис.
7 (задача о собственных колебаниях); б) задача Коши - определения функции у, удовлетворяющей определенным начальным условиям. В качестве стандартных начальных условий мы выдвинем условия, чтобы потенциал скоростей у в начальный момент определял течение, обладающее заданной конфигурацией свободной поверхности и с заданным распределением скоростей точек свободной поверхности. Таким образом, в начальный момент должны быть выполнены следующие условия: Примечание. Вместо(2,3) н (2.4) могут быть заданы такие условим: р(Р О) з (Р) (г.б) (гл) Нетрудно показать, что задача (2.6)-(2.6) сводится к предыдущей, Выпишем еше необходимые для дальнейшего соотношения, связываюшие ср и» (см.
( 1.24 ) ): динамическое соотношение — +р» 0 (2.7) и кинематическое соотношение д~ (Вд) (2.8) 5 2. Оператор Неймана - Р(Ф дн Р,.Е ~ (2.9) называется задачей Неймана1 Для решимости задачи Ней- мана необходимо, чтобы функция г'Я) удовлетворяла ус- ловию 1" ГЩ)Ж 0. Е+5 (2.10) Здесь под Е+Я понимается полная поверхность объема т.
Если функция гЩ) удовлетворяет условию (2.10), то задача Неймана имеет бесчисленное множество решений, но функции ~р(Р), удовлетворяюшие условию (2.9), отличаются друг от друга на аддитивную постоянную. Пусть РЩ) обращается в нуль на Е и удовлетворяет условию (2.10), Тогда, решая задачу Неймана, мы можем определить функцию ср(Р), гармоническую в т и та- — — ~ ВФ ° (2 11) 1) знак РяМ означает, что точка Р(х,у,к) принадлежит множествуМ, например, РеБ означает, что точка Р есть какам-то точка нлоскоифигуры 5.
— 26- Напомним некоторые факты теории гармонических функций (см„например, (11). - Задача определения функции д(Р), гармонической в ~, по значениям ее нормальной производной на границе Этот факт будем записывать в следующем виде: ср(Р) = НГ(()), Рет, ЯеЯ, (2.12) Символ Н означает закон, по которому строится функция ~(Р), гармоническая в объеме т и удовлетворяюшая усло.- виям (2,11). Таким образом, Н вЂ” это некоторый оператор, мы будем его называть оператором Неймана. Функция Н(Р, (,) ) двух точек Р н Я, определенная при помоши равенства ~(Р)-Н1'М) - ХН(Р,О) — Ж- 3'Н(Р,0)Р(0)ИЯ, а~(() ) д1~ называется функцией Грина задачи Неймана для области Если граница гладкая (т.е.
без угловых точек), то функция Грина задачи Неймана в точке Р () имеет логарифмическую особенность в плоском случае и полярную в пространственном (см, ( 1) или (21), ПРИМачйнйе. Если область имеет угловые точки или линии, то особенность повышается, однако остается слабой в смысле С.Г, Мнклииа [31. Если использовать оператор Неймана Н, то нетрудно вывести интегро-дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять свободная граница " функция ~(Ц,$).
На основании кинематического соотношения ( 2.8 ) мы можем написать ( Р $ ) н ~ ( ( ~ ) н а ~( ( ~ ) Подставляя выражение для е в динамическое условие (2,7), получим Н~~д~Щ,И Ю. а 2~((),1) а1й (2.13) 53. Метод Фурье В предыдущей главе мы рассмотрели задачу Коши для одного частного случая. Метод, который использовался и привел к успеху, называется методом Фурье. Согласно этому методу решение разыскивается в виде ряда, члены которого представляют собой произведение функции, зависящей только от времени, на функцию, зависяшую только от координат. Теперь мы применим тот же метод при исследовании задачи в случае сосуда произвольной формы.
Пусть 1у. (Р) ) — система функций, гармонических в т, удовлетворяющих на Е условию ду/дую=О и образуюших на Я -27- полную ортонормированную систему ° Будем разыскивать 1) потенциал ~ в виде ряда (Г,1)- Е К„(С) „ж. и 1 (2.И) Подставляя этот ряд в условие постоянства давления (2.2), получим д%'„ Е1Ч 6Е~ — -О.Р.Я и1нпц1лдй' Разложим функцию (ду /дк)к О на 5 в ряд — Е ©„ к О Олей- ~ — ' Ч~юФ Сравнивая затем коэффициенты при одинаковых функциях у» мы получим следуюшую систему обыкновенных днффеи» ренциальных уравнений для определения неизвестных функ- ций ~„: +8 Е а 1„, О.
(2.16) ив1 (2.16) 1>Систему функций (ср;(Р)! мы будем называть полной на 3„если лля любой функпни г'(Р) такой, что 1г Ф существует, и любого е моей 8 и й но составить линейный агрегат «Ф Е и е,такой»что Яг-<ро®) 43< в> и л» система функций 1е ° ) называется ортогональной на $,если ~~р1~р~43 и прн 3 уЦ, Функцию <р; буяем называть нормированной, если 1 у.431.
й В Система называется ортонормированной, если она состоит иа ортогоиальных н нормированных функций, -28- Если исследуются собственные колебания жидкости в сосуде, то следует принять ~„С„сои а$. Характеристическое уравнение где Ь „- символ Кронеккера ~в с~и( в~1 Тогда мы придем к задаче Коши для системы (2.15).
В качестве начальных значений дли фУнкций 1в и д1в/д$ Ф ФФ надо принять числа 1 и ~„ , соответственно. Итак, метод Фурье позволяет свести линейную задачу к исследованию некоторой бесконечной системы линейных дифференциальных уравнений, Приведем еше один способ сведения задачи к бесконечной системе. Пусть 1 у„(Я ) ) - некоторая полная и ортонормированная на 5 система функций. Разложив функцию ~ Я $ ) в ряд Фурье используя условие (2.8), представим потенциал скоростей в виде ср(Р, й) Е ц„(й) ср„(Р) в 1 (2.17) где Подставляя выражение (2.17) в условие постоянства давления, которое примем в форме (2,7), получим будет тогда уравнением частот — его корни определяют собственные частоты колебания жидкости.
Если исследуется задача Коши, т,е, если заданы, например, условия (2.5)-(2.6), то функции у' и с~" следует представить в виде Положим, далее (~и)» 0 ~ ~пж~в ' в 1 Яв+ЙВл - О. и 1 (2.18) Система (2.18) совершенно эквивалентна системе (2.15). Начальные условия для системы (2,18) следует принять в форме (2.3)-(2.4). При практической реализации приведенных рассуждений, основная трудность состоит в построении системы (ул), (Ниже мы будем специально заниматься этим вопросом). Если же, однако, такая система построена, то аппроксимируя искомый потенциал скоростей ср линейным М агрегатом ~р(~) Е 1 у, мы можем получить некоторое приближенное решение. Для теоретических исследований очень важно упростить систему (2.10) и прежде всего, решить вопрос о том, как же надо выбирать функции ~~, чтобы эта система распалась на отдельные уравнения.
5 4. Основное интегральное уравнение. Теорема о собственных колебаниях В задачах теории колебаний жидкости большую роль играет уравнение и(Р) - хНиЯ), Р, Ое5. (2.19) Используя функцию Грина Н(Р,Я), это уравнение можно записать в интегральной форме и(х,у) - х~Н(х,у,О; х',у,О)и(х,у )й5. 5 (2.20) Это уравнение однородное и его решение существует только для исключительных значений параметра Х. Числа Х Х„ называются собственными числами оператора Н. Функции ил(Р), которые удовлетворяют уравнению (2.19) при Х Х„, называются собственными функциями оператора Н.
Числа Хв образуют дискретную последовательность, причем Х„- -зо- Тогда для определения функций ф„мы получим следующую бесконечную систему дифференциальных уравнений: при В-~., Каждому числу Х„соответствует лишь конечное число решений уравнения (2.18), Функции Ил, соответствующие различным Х„, ортогональны. В дальнейшем мы всегда будем считать эти функции нормированными. Любая функция Щ),удовлетворяюшая условиям Л'Кьа -. Л(аа-о, может быть разложена в ряд 1(0)- 2 1„н„(0), в 1 (2.21) где Г„- Л(Фи„(0Ю. 3 Ряд (2,211 сходится в среднем, т.е. У й 1ин ~ Е ~„И„- Щ) ~б О. Ф-е ю ~ вж1 Все перечисленные свойства функций И„и чисел Хв следуют из обшей теории линейных интегральных уравнений и общих свойств функций Грина. Сейчас эти свойства мы примем на веру, В приложении к этой главе мы снова вернемся к обсуждению свойств функций И„, К интегральному уравнению (2,19) мы приходим естественным образом, изучая собственные колебания жидкости, В самем деле, выше было выведено ннтегро-дифференциальное уравнение (2.13), которому удовлетворяет форма свободной поверхности «Я,$).
Периодическое решение этого уравнения будем разыскивать в виде «(Ц,Ф)- у((2)э1п о1. (2.22) Из уравнения (2.13) сразу находим, что ч(0) - ~Нм(0). где Х ~В ° 6 <у ~ Приняв во внимание особенности уравнения (2.19), которые были перечислены выше, мы приходим к следующему утверждению, Творв.иа, Существует бесчисленное множество форм свободных потенциальных колебаний тяжелой жидкости, налитой в сосуд. Свободная поверхность каждого из этих движений описывается выражением ~„(Ц, $ ) - а„ч (Ц )в(п ~„$, (2.24) (2.26) 55. Общая задача Вернемся теперь к общей задаче и вопросу, который был поставлен в конце третьего параграфа настоящей главы: как выбрать системы функций (у„) и (у„), чтобы бесконечные системы дифференциальных уравнений (2.15) и (2.18) распались бы на отдельные уравнении.
Рассмотрим сначала систему (2.18). Коэффициенты атой системы определяются формулами Ь„„- 3 у„(Р)у„(9Ю, РМ, Я Возьмем теперь в качестве функпий у — собственные функции оператора Н; тогда на основании формулы (2.26) получим (р) "п((~) р~~ п (2.26) А так как функции у„ортогональны и нормированы, то при таком выборе функпий у„ — если и в 1 Л 1 Ь„~ и О, если л~й, и, следовательно, система уравнений (2.18) распадается на отдельные уравнения м ~в ~~в где о„- собственные частоты, причем ~в в а~ (2.23) у (Ц) — собственные функции оператора Н, Числа о„образуют дискретную неограниченно возрастающую последовательность, амплитуда йв может быть любой.
На основании формулы (2.12) потенциал скоростей Л-го главного колебания определяется следующим выражением: ср (Р,Ф) с„ср„(Р)ю~ ~„й; ~„(Р) - Н~„(®, Р, М~. или, используя обозначение (2.23), (2.27) Изучаи плоские колебания жидкости в прямоугольном канале, мы уже столкнулись с тем, что эти колебания в некотором смысле эквивалентны колебаниям бесчисленного множества маятников. Теперь видно, что указанная аналогия справедлива дли колебаний жидкости, заключенной в сосуд произвольной формы. Если мы будем решать задачу Коши, то должны удовлетворить начальным условиям в форме (2.3)-(2.4), Если обозначить ~0п- «0(®~п(~) 5 ~,„- г~,(в „(ва, 5 то начальные условия для системы (2.17) примут вид: % (О) 10 3 ~п ~1л ' Вернемся теперь снова к системе (2.15). Мы получили эти уравнении, опираясь на систему функций (у; ) весьма общего вида.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
