Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 9
Текст из файла (страница 9)
и хву ву ту ву в О в ° 1 Рассмотрим однородную систему уравнений М (Х- ~,)х + еХ Е е х, - О, 1-1,2,...,Х, Е, 1т(г в которой а<<1, коэффициенты ~( и ег( порядка единицы, а Х вЂ” параметр, К такому виду можно привести обе системы (3.66), если отмечать собственные значения и собственные функции (3.64) одним индексом.
Для этого надо только пронумеровать их соответствуюшим образом. Условие разрешимости системы имеет вид (3.61), где Х У1+ еХе11 еХЕ, 13 е ХЕ21 Х-ч +еХЕ 23 31 еХез2 Х- ъЗ+еХЕЗЗ Проделав необходимые выкладки, мы найдем, что в дан- ном случае система (3.60) распадается на две независи- мые системы: Тах хах при составлении систем (3.68) члены порядха е2 были опущены, то, и расхрывая этот определитель, следует оставить тоже только члены порядка е.
Тогда В (А ч) + еХС11)( А "ч2+ВХС22)* ° е(Х чУ+ВМ)Ч)Ч) + и ° ° ° ° 2 Точками отмечены члены, порядок малости которых а2 и выше, Расхрывая в последнем равенстве произведение двучленов и сохраняя члены порядха и условие разрешимости системы можно записать в виде Ф У М П(Х-ч )+а Е 8 П (Х-ч ) О. 1 1 ~ 1 1~1 При а О это уравнение имеет Х хорней А ч, 1 1,2,...,И. Если все ч различны, то при малом и корни уравнения аналитичесхй зависит от и1~. Поэтому корень Х, хаторый при а~О переходит в ч , следует искать в виде Х~ч +ач + ° ° ° ° Подставляя это выражение в уравнение и сохраняя в нем тольхо члены порядка а, можно получить следующее уравнение для определения поправки ча: Ф Ф еу П (ч -ч1)+еч~С П (ч -ч ) О.
1,~а 1~а Отсюда у -ч Сан, и с точностью до членов порядха е 1-ч,-ач,Е„, З-1,2, ..., Ж. Применив полученный результат х первой системе (3.88), мы получим набор собственных значений Р~ РЯ которым соответствуют собственные функции Х Р~. Рассматривая вторую систему (3.88), мы найдем собственные значения х х — ах ~ ~ 1,2...,; р 1,2,..., (ЗА8) -2 — 2 -2 (ру) РЯ РЧ РЧ РФ которым соответствуют собственные функции Х РЧ ~Доказательство атой теоремы можно найти, например, и книге Глжа [91.
-70— Теперь осталось вычислить поправки г, РЧ и (РЧ) Согласно формулам (3.85) и (3.64): РЧ РЧ 1 276 ц РЧ)- -~ — ~Г1 (к т)Й ~ 6,(т",созИЕ)соз~рейе- РЧ )0 р РЧ рч о — ~ Г3 (к т)йт ~ -61(т",соаИЕ)Г18+ )~~2 Р РЧ РЧ + -~- ~Г~ (к Г)й ~ -6 (т",созИВ)соз2РИВ. 1 2 и И о Р РЧ о РЧ Соответственно ч Рч - — Г ГУ2(х г) й ) 1 6 (т", созие)йв— РЧ-Ы2 О Р РЧ 021 РЧ 1 2 2п — — ~Г3' (х Г)йт ~ -61(Г",созИЕ)соз2рвГ18. я2 о РЧ Рассмотрим интеграл 2к 1 Х вЂ” 61(Г",созИЕ)соззвдв, 2=0,1,....
Ф ' о Этот интеграл множителем )/~ или )/2к отличается от коэффициентов разложении функции 61(г",соз И8) в ряд Фурье на отрезке 19, 2тц. Так как 61(г",соз И8) периодическая с периодом 2к/И и четная, то разложение ее в ряд Фурье на отрезке 10,2т~) содержит лишь гармоники соз ~И Е, где ч О, 1, 2, .... Таким образом, рассматриваемый интеграл отличен от нуля лишь при 2 чИ, ч 0,1,.... Отсюда, в свою очередь, следует, что если 2Р ~ ~И, т.е, Р~ ~И/2, то 1) — Г Г 1 (х Г )Й ~ — 61(Г > соз ив)4Кв (РЧ) (РЧ) 1 2 1 и РЧ РЧ )~2 Р РЧ 2 О 0 Положим 2 М и вычислим интеграл 1. Во-первых, очевидно, что 2тс 2к Х вЂ” 6 (Г", соз Ие) соз ~Ива 8 ~ 1 61(г", соз а )соя ч М 0.
О о 2 1) 1 Тпп пап р=0,1,2..., то прп й четном м-0,1, .. °, а прп й печатном т=0„2,4, И з вида функпии 6 («и, сов 6 ) ясно, что прежде всего следует вычислить интеграл 27% сое И,Ь«", о (1-2Ь сое В+ Ь2) Выражение этого интеграла приведено в справочнике (101: сое р б Р,+1) Ь 2Ь~ 0 (1-2Ьсо» 3+3«) 1 — Ь ) (1-Ь ) Применим этот результат для вычисления интеграла 1 и получим 2и 2тс р 6 («рсовИ8)сов И$048 ) -61(«,сов 6)сов~ЯЬ- 0 о -1+4И«~и+« -2(В-1) «и со» д-2(В+1)«тисо» Ю о (1-2«и со» $+«2и) и 2 (~у+1)« 'р™ 2«(ч+2)и 2 и (-1+ 4П«2и+ «4 ) + (1-«2")2 (1-«2») ~ ( и-1)и ( м+1) и (и+1) и ц 1),и ( 1)«Зи) 1р«2«(у+2)« (1 «2и)2 (1 «2и )3 (1 «2и)2 С помощью этого результата выражения для и т) Р~) можно привести к следующему виду: РЯ РФ 1 — — )' «,) ( к О «) О«; (О у) 4тс 2 Од ~2 О 09 0,«0 - — — ~- уг~ <~ р)Ит — — ~ — рг ~ (р г)Ир, р- —; (рд) 2рс 2 — 2'и(1+2Р) 2р+1 2 М р<« ~ р Х Р РЧ 2 р,) О РЧ О 1 - — — ~«~ (к «)Й, р~ —; (рд) 2л 2 — М рц ~2 Р РЧ ' 2 ~ о РЧ~ ~~ Г Г ~2( к У)Ф ~ +2р ('Г2~+1~2( х У)СЦ р- ~~~' 1 27~ ~РЧ ~2 Р РЧ )~) 2 Р РЧ РЧ' 1 — — ~ Г ? (к Г)ЙГ, РЧ Наконец, вычислим оставшиеся интегралы от бесселевых функций1>: 1 о — 1 (х ); Р— 2 р РЧ РЧ 1 2 ? У Р 1' (х Г)ИГ 1+— Р РЧ 2(2Р+ 1) РЧ Теперь с помошью этих результатов из формул (3.67) и (3.68) можно найти приближенные выражения для собственных значений задачи: (кр ).
к к (1+4е) и 1, 2 -2 9 ОЧ ОЧ у Я вЂ” 1у у ° его 2 Ф 4е р2 1 —— 2 РЧ р2 4е— -2 РЧ 2 -2 х х РЧ РЧ ,р — ~=1,2,...; 2 "2 2 РЧ РЧ р2 1 —— -2 РЧ - к (1+2е), РЧ 7И рф — ц 1,2,.... 2 ' 2 -2 Р? РЧ ~С твииниои вмнисланни последнего интеграла можио... г'»коми г.г си в ини; е Ват;:»на ',1 11, Собственные частоты колебаний жидкости в цилиндре с перегородками, которые при е~ О переходят в соответствующие колебания в "гладком" цилиндре, связаны с собственными значениями хР формулой (3.54).
Таким образом, получена зависимость этих собственных частот от величины ребер. В первом приближении оказывается, что если поместить в цилиндрический сосуд И перегородок, то это приведет к расшеплению" собственных частот колебаний форм с н,2В,Зи,... радиальными узловыми пиниями(если и нечет- но) или с и/2,и,Зи/2,...
радиальными узловыми линиями (если И вЂ” четно), ~ 9. Применение изотермических координат в случае близких областей В изотермических координатах задача о собственных колебаниях жидкости сводится к алгебраической задаче решения бесконечной системы уравнений (3.44) или (3,60). Эта задача весьма громоздка, и решение ее, как правило, может быть получено достаточно быстро только на электронных вычислительных машинах. Однако существует предельный случай, когда можно построить хорошее приближенное решение системы (3.44) или (3.60) методами теории возмущений. Это так называемый случай близких областей. Частный случай такой за-' дачи уже был рассмотрен в предыдущем параграфе.
А Рассмотрим плоскую за- ДАР дачу о стоячих волнах в неподвижном сосуде. Предположим, ~.о что область т, занятая жидкос-с, ~+ стью, близка к прямоугольнику (рис, 18). Конформно отобразим область т в плоскости И у+1Х на прямоугольник Т в Рис. 19 плоскости ю а+1ф. Это эквивалентно введению изотермических координат а и®Х), р ф (У,Х ) в плоскости И. Так как области т и Т близки, то функцию, реализующую конформное отображение т на Т, можно приближенно представить в виде Р~Фе + ~ п~ и. 1 где е — некоторый малый параметр, характеризующий близость областей т и Т. Коэффициенты Ламэ изотермической системы координат можно вычислить по формуле Ии 6- дв Пусть свободная поверхность жидкости совпадает с линией ф О, а смоченная поверхность полости образована линиями и=0, и2 а и Д РО ° Напомним, что в изотермичес- -74- ких координатах задача о собственных колебаниях жидкости формулируется следуюшим образом (см.
6 7 этой главы): ~р = Ф ( а, ~ ) сон сто; Ьф - 0 в области Т; (3.69) — = 0 при а-0 и а=а', .— -0 при ~-~; (3.70) дф дф да д~ О' — — — х ф 0 при р= О. (3.71) 1 дф 6(а) д~ 3аметим, что величину 1/5 можно представить в виде ряда — -1+ х Р6„, (3.72) 6 и *1 где величины б„вычисляются через действительные и мнимые части производных известных функций %„(Ф).
Решение задачи (3.86)-(3.71) будем искать в виде (и) „(~) и О в=О (3.73) Подставив ряды (3.72) и (3.73) в условия (3.88)-(3,71) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях э, мы получим следуюшие краевые задачи для функций Ф~~): Ьф 0 в области Т; (3.74) д (.) дф(з) 0 при а 0 и а а ', — О при Д~~О; (3.76) да дф — -Х Ф ~ р. ф -(Ъ вЂ” при р О. (3.76) дф (О) Ь) 8-1 (з и) (и) дф др и О др Таким образом, функпии Ф можно находить после(д) довательно одну за другой, если только известна функ- ция ф(0) При й О условие (3.78) принимает вид дф( ) (О) (О) — — Х Ф О при ф О, др и решение задачи (3.74)-(3.78) описывает плоские коле- бания жидкости в пря(моугольном канале. Таким образом, Функции Ф и числа Х нам известны (см,61 атой главы): (О) О) -75- (3.77) Итак, в нулевом приближении мы получаем плоские колебания жидкости в прямоугольном канале.
Будем искать решение задачи (3.69)-(3.71), которое при е 0 переходит в Ф (о) Для первого приближения Ф условие (3.76) прини- (1) мает вид аФ„(0) (1) (1) (О) (1) (о) щ )„Ф - )„Ф -6, щ при ~-О. (3.78) Будем искать первое приближение в виде (1) " (И (О) и ~ ~тй ФЬ /с =0 где функции Ф~ определяются формулами (3.77). (0) Подставим этот ряд в равенство (3.78) и получим (1) ( (0) (0) (0) (1) (0) (0) 6 (0) ) й О (о) (о) Функцию 6 Ф разложим в ряд Фурье по функциям 1 щ (О) (1) (О) 6Ф„- ХС Ф А~О аа (1) 2 Вжа Миа С ~, - —, /' 61соа —,сов —,Иа, 1=1,2,е ° °,' а О а' а где С - —, ~6 сов — да. (1) 1 йтса тО о Подставим это разложение в равенство (3.79) и получим где бщ(, — символ Кронеккера.
-7б- (1) ( (О) (О) ) (О) (1) (О) (О) ~ (1) (О) Отсюда в силу полноты системы функций 1 Ф 1 получаем й бесконечную систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов ц (1 тй (1) ()„(О) Х(0) ) Х(1) ~(0) (1) М й щ тй щ щй' ' ° '"' При В )П левая часть уравнения(3.80)обрашается в нуль, Для того чтобы это уравнение удовлетворялось, необходимо, чтобы Х Х С (3.81) и и тт' Это равенство дает нам поправку для собственного значенияя зад ачи (ЗЯО ) - ( 3.71 ) . При Вфй уравнения системы (3.80) имеют единственное решение (О) (1) (1) и ~тй ий (0) (0) и й Коэффипиеит й можно выбрать из условия нормировки 2 )' Ф Иа 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
