Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 12
Текст из файла (страница 12)
ПоследоватенЬ- ность отображений и отображаюших функций приведена на рис. 23. Отсюда сразу можно найти функцию, которая отображает данную область на плоскость с разрезом 1 1-Я (4.13) где у —.При этом отображении граница области Аз(." 2~с 7с+2 ф ц переходит в верхний берег разреза, а симметричная ей часть А0С- в нижний берег. Симметричным точкам ~ и -~ соответствуют точки Ц1 и Ц2 положительной оси Ц. Комплексный потенциал течения, вызванного стоком единичной интенсивности в точке (Ц1, О) и источником единичной интенсивности в точке (02,0),имеет вид 1 И' Ц1 $ — — 1п 2п и~ Ц Подставляя сюда функцию, реализуюшую отображение (4.13 ), получим К этой функции можно добавить произвольную функцию переменной Ц. Выберем эту функпию так, чтобы У(0) О.
Тогда получим окончательно и) т(1+ ~)т- (1+М)т(1-~)т ( 1+и)" (1+ ц)" — (1-и)"(1-Ц)" Теперь для того, чтобы построить ядро 6(Х~ Ц) интегрального уравнения (4.12), в последнем выражении надо выделить действительную часть, положить 7~0 и удвоить результат. Это дает Нетрудно проверить, что 6(Х;Ц) 6(Ц;Х) и 6(-Х; Е) -6(Х; ц). -9$- Таким образом, задача о собственных колебаниях жидкости в круговом канале сведена к решению интегрального уравнения (4,12) с ядром (4.14), Для численного решения уравнения (4,12) разобьем интервал 0~Ц<1 на Х частей точками ~ ЬЬ, где л 1/Я. Тогда интеграл в уравнении (4.12) приближенно можно вычислить следующим образом: ьл+2 1 М-1 2 1 Х6(х~ В)ч(В)4Ф- е ч(Вд) Х 6(хю Ф)4Ф+ ч (1) Г 6(х; В)4Ф.
о >>ю 1 й >.'>-- 1-- 2 2 При этом мы учли, что 6(0; Ц) О. Функпия 6(Х~ Ц ) при ~ х имеет логарифмическую особенность. Нетрудно показать, что в окрестности этой точки 6(х, ц) - — — 1п ~х — ц1+р(х), 1 где 2у(1-х ) р(х) — — 1п » (1+х) - (1- х ) 2~ 2~> ' если Хф1. При Х 1 6(1; ~) --1п!1- ц~+ -1п2. Т у Отрезок 0<х<1 также разобьем на Х частей точками Хд~ВЛ ° Тогда, очевидно, что ьл+ й 6(х,; ц)д~- л6(х„; ~„), если н ~ Ж и М ~ и; ~л й 2 1 Ф 6(х„; ц)дц - ~~ 6(х„; 1), если й - И и В ~ и. Ь 2 При В - И (т.е. Ц Х) 2 Л ей+ 2 6(х„;ц)4ц >~р(х„)-~ (' 1п~х-фФ~ а р(х„)+-~ — 2) > 1 Ь тиЬ 2 вЬ-2 -9б- если И~ Х и где вектор Х составлен из величин ~, матрица Т является диагональной матрицей вида 100...0 010 ...0 001 ...
0 000 „, 1 матрица А является симметричной матрицей с элементами А ~, которые вычисляются по следуюшим формулам: пй~ если 1 ~ И; воли И ~ И; А„~ — 6(х„; ~ ), А „„= р(Х„) + „- 1-1п ~ А — !1 — 1п -~ . у! Мж ! 4~. Условие ортогональности собственных функций 1 ~Ч (Х)Ч (Х)ЙХ- 0 также можно записать приближенно где матрица !!Хщ!!1 состоит из одной строки, а матрица !!Х„!!2 - из одного столбца.
Собственные векторы матричного уравнения (4 ° 15) точно удовлетворяют этим последним соотношениям. Уравнение (4.15) решалось на электронной вычислительной машине (14). Г1рн расчетах полагали )Ч=20. В резуль-97— при И- Х. Таким заменить уравнений образом, уравнение (4.12) приближенно можно системой однородных линейных алгебраических порядка Ж или матричным уравнением вида Атх - — х, -+ Я -е (4.15) Хд !! Х !! Т!!Х !! 2 0 И И 1 2 Х Рис.
М колебаний жидк шестой главы), тате расчетов получены формы колебаний жидкости в канале и зависимость первых безразмерных собственных значений Л от безразмерной глубины жидкости С. ГраФиФ ки зависимостей показаны на рнс. 24. Решение этой же задачи вариационным методом приведено в 65 шестой главы (частный случай, соответствующий И О, задачи о 3 колебаниях жидкости в со- 2 суде, имеющем форму горизонтального цилиндра~.М ожно заметить, что и один и другой методы дают практически совпадающие резульг таты.
/ Аналогичным методом в работе ~141 решена задача о колебаниях жидкости в сфере для трех значений безразмерной глубины С: С О, С 1 — а, р С -1+э где е« 1. Эти ре-~о -~ж;р о дг аг зультаты здесь не приведены; заметим только, что они совпадают с результатами расчетов собственных частот ости в сфере вариационным методом (63 Глава яляал ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ О КОЛЕБАНИЯХ ЖИДКОСТИ В предыдущих главах были рассмотрены некоторые методы решения задачи о собственных колебаниях жидкости.
Наиболее общим из них является метод Фурье. Тем не менее, как мы видели и этот метод позволяет решать весьма ограниченный круг задач. В еше большей степени это относится к методам, изложенным в четвертой главе. В то же время, в практике часто бывает необходимо рассчитать колебания жидкости в сосудах разнообразной формы. Как правило, при этом формы сосудов бывают достаточно сложными, так что не остается надежд решить задачу до конца аналитически, Поэтому возникает необходимость разработать достаточно универсальный численный метод, удобный для реализации на электронных вычислительных машинах. Одним из таких методов является метод Ритца, Этот метод основан на совершенно ином, вариационном подходе к задаче о колебаниях жидкости. К рассмотрению его мы и переходим.
51. Принцип Гамильтона Рассмотрим движение жидкости, которая занимает область т неподвижного сосуда и ограничена смоченной поверхностью сосуда Е и свободной поверхностью 5 (рис.25). Свободную поверхность жидкости в положении равновесия обозначим через Я . Введем декартову систему координат Х~Е, плоскость Ху которой содержит плоскую фигуру Яо, а ось л направлена вертикально вверх.
Проекцию свободной поверхности 3 на плоскость ху обозначим через $~. Если стенки сосуда не вертикальны, то БО и 5О не совпадают. Предположим, что жидкость находится в поле силы тяжести, вектор напряженности которого ц направлен против положительного направления оси х. Как и прежде, -99- ем обозначать вектор о скорости жидкости через У, будем и — че ез р, а уравнение свободной по- плотность жидкости — через верхности буцем пис ать в виде х - »(х,у, ~).
Рие. 35 казано что кинетическая и по- Ы аве первой было по гл е ргия жидкости имеет д рги ви тенциальная знерги 2 Т ГО Ит, П р~~» ИЯ. 2 ~а (5.1) Составим функцию Лагранжа 1. Т- и (5.2) и функционал д ействия по Гамильтону с, (5.3) но п иннину Гамильтона для действительных дви- (5.3) п инимает стационарное жени й интеграл действия . прин О. т.е. изохронная вариация 6~ значение, т.е. з б будем рассматривать и кость, занимаюшую о~ъем т, уд на которую наложены следукак механическую систему, на к т ющие связи. 1) жидкость неразрывна, т„е.
<6.4) ЧР- > 2) стенки сосуда непроницаемы, т.е. нормальная составляюшая скорости на стенке у„ О; (5Л) 3) вертикальная составляющая скорости жидкости частицы на свободной поверхности совпадает со скоростью вертикального смешения свободной поверхности д~ — ~р И~ (5.6) 4) течение жидкости потенциально У а (5.7) Условия 1-3 определяются сушеством задачн1). Последнее условие является дополнительным ограничением. В приложении к этой главе будет показано, при каких условиях это ограничение может быть снято.
Вследствие формул (5.1) -(5.3) интеграл действия может быть записан в виде с, 1 Р)и~И~-1рЦ,1" ~~45 й. (5Л) О 5 о Таким образом, задача об определении движения жид- кости может быть сформулирована следующим образом: среди функций, удовлетворяюших условиям (5.4) -(5.7), найти те функции, которые удовлетворяют условию 61 ° О.
(5.9) Покажем, что эта вариационная формулировка эквива- лентна формулировке задачи о движении жидкости, при- веденной в первой главе. Из равенств (5.4)-(5,7) следует, что потенциал ско- рости жидкости у(Х, у, Х, 1 ) является гармонической функ- цией в области т, которая удовлетворяет условиям.* д'-а (5.1а) дн на поверхности Е; — — +~ ~~~ на поверхности 5.
дср д~ дл д$ (5.1 1) Через Н обозначена внешняя . нормаль к поверхности объема т ° Будем вычислять изохронную вариацию интеграла действия (5.8). Заметим, что объем т ограничен поверхностью 1) Из условвй 1-8, в частности, следует, что объем т, аанатмя жвдкостью, остаетса постоапвмм ~(Х, ~, $ ) и, следовательно, должен варьироваться. В обшем случае сосуд имеет наклонные стенки, поэтому дойжна варьироваться и плошадь фигуры Яо. Кроме того, вследствие условия (5.11) вариации функций у и ~ на свободной поверхности связаны некоторым соотношением.
Возьмем вариацию от обеих частей этого равенства. Так как независимые переменные Х,У,Х не варьируются, то в результате получим дб~ дб~р + ~6179+7~769 дй дх (5.12) Соотношение (5.12) можно представить в виде 46Г, — 1+(ч~) — . 2дбр их дл (5.13) (5.14) Функционал (5.8) в силу условия (5.7) можно переписать в виде Ф Х - .Г ~ Р Г(Ч%) "'~ — — РИ Г ~ "~ ~1 О т ~о (5.15) Проварьируем это выражение; с, Р й~рЧбюйт+-Р Г ЙЧ) 6~О+1- Р Х (~р) 6~Ж- 1 2 2 О т 2 2 "РИ Х ~6~~~ — Рй,,1 О~М~ Й.
5о б~о (5.15) Второй, третий и пятый члены в выражении (5.1о) появились в результате того, что объем т н плошадь 3оварьируются. Прежде всего рассмотрим третий и пятый интегралы, входяшие в выражение (5.18). Из рис.26 ясно, что ~ ( )26~,5 ~ ( )26~6ЦЗ б~е 1'о где через 1 о обозначен контур, ограничиваюший фигуру 5 . Очевидно, что 61 6~, если угол наклона степени сосуда -102- Соотношение (5.13) связывает между собой вариации бср и б~ на свободной поверхности. Кроме того, из условия Ьу 0 и условия (5.10) находим, что дбр Ь бср 0 в области т, — 0 на поверхности Е. дл к оси 2 не слишком мал (т.е.$д Р 1). Поэтому интеграл имеет порядок (б~)~ и может быть опушен.
Аналогично можно оценить и опустить пятый интеграл. Первый интеграл с помошью формулы Грина и формул (5.14) преобразуется следующим образом: ГЧеЧбрдт--У РЛ6Р4т+ Г Ч~~Ж- т т 5+Е - Х ч 1+И~) — Ж. йдбР ~о дИ Теперь учтем соотношение(833) и получим окончательно уч97 690',) 9 — Ж. (5.17) дб~ Рис. 36 й Р Подставим формулу (5.17) в выражение для вариации (5.16) и получим 6,1~ 1" р ~ у — Ж+ — Р11 )'(ду) 6~0$ — рц 1 ~б~дЯ Юб~ 2 2 5о Й, (5.18) Первый член этого выражения проинтегрируем по частям по времени $ . Так как варьирование производится изохронно и вариации на концах обрашаются в нуль, то б~ = О при 1=Он при $ $1, и ~бГ, '1 / ГЧ вЂ” ВЙ Херб~ 45- о ~. "~ ~ о -Г У вЂ” б~а4УЕ--Х У вЂ” +(ЧЧ) дср де 2 оз, ~~ оз, б~ЮБй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
