Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Однако при известных условиях любой конечный отрезок этого ряда дает асимптотическое представление решения. Примером условий, которые гарантируют сходимость ряда (8.21), являются условия (9,1). Если эти условия выполняются, то соответствуюшее утверждение можно сделать в следующей форме: решение вспомогательной задачи (8.7)-(9„9) имеет вид ср ~рР~ + О(е ~~ ) где ~р ~ Е я~ е (Ж) п О Аналогично решаются остальные краевые задачи, откуда находятся остальные члены ряда (8.13). Теперь в выражениях (9.18), (8.20) вернемся к старым переменным Х, У, Х, подставим то, что получится> в разложение (8.13) и найдем решение вспомогательной задачи (8.7) -(9.9 ), которое дает следующее представление для потенциала скоростей; 3, Решая вспомогательную задачу, мы считали извест- ными функции а(Х,у,1) и»(Х, ~, $) ° В действительности они не известны, Формула (9.21) показывает, что если бы можно было определить эти функции, то потенциал скоро- стей вычислялся бы легко.
для определения функций а и» в нашем распоряжении есть два условия: динамическое условие (8.3) и кинема- тическое условие (8,4 ). Эти равенства содержат произ- водные потенциала скоростей. Если теперь воспользоваться выражением (8.21), то условия (9.3) и (8.4) будут содер- жать только две функции а и» ~ и их можно рассматри- вать как уравнения для определения граничных значений потенциала и формы свободной поверхности, Первый вопрос, который возникает при реализации этой системы, состоит в оценке различных величин, которые входят в граничные условия (8.3) и (8.4).
Предположим, что справедливы оценки: 3» д» д» 32» — О( ); — =О( ); — О(); — О( ) и 31 ' дХ ' дУ ' 3Х2 31 дт д т — = 0(е); — 0(е); — 0(е2 ) т. д.; дХ 3У' дХ2 2а 2 — -0(е ) и т. д. дХ2 да,. да да — = 0(е) — = О(е) в — 0(е) в д$ ' дХ ' дУ Дифференцируя выражение для потенциала (9.21) и используя эти опенки, нетрудно показать, что при Х ~',(Х,у,1) 3Р да з. д~ да з. дХ дХ ' 3У ду — = — +О(е ); — — +0(е ); дс~) — — да»+~(у~а)+О(е ); 4 дХ дя да з 31 дй — — +0(е ). да — + а»+ Ц(х, у, », 1)+ -(ч а) - О; 1 2 (9.2 2) 3» 31 — + п»оа-- ла»+ ч(уч а). Подставляя эти выражения для производных потенциала в условия (8.3) и (8.4) и отбрасывая члены третьего порядка малости, получим следующую систему уравнений для определения функций а и»: Последнее из этих уравнений удобно записать в виде (9.2Э) 4, В гидродинамике сушествует глава, называемая теорией сейш, Этим термином называется теория линейных колебаний жидкости в мелких водоемах: озерах, заливах, Уравнения этой теории легко получить из уравнений (8 22), (8.23).
Лииеаризируя эти уравнения относительно функций 6 и», получим: д© дС вЂ” +(6+0 )»+О - О; д» вЂ” - ч(Иа) - О, д$ здесь Цо Ц,01 (д0/дХ) „О~ а Ъ у-» — глубина жидко" сти. Применяя оператор ~т( Ь д) к первому из уравнений (8.24 ) и диФФеренцируя второе по $, можно исключить функцию 6. В результате получим линейное уравнение вто- рого порядка, которое содержит только одну неизвестную функцию», д» вЂ” +(6+ "1)~("~т»)+ 'т(® ~тцо)+ ~(" ~т Ц1)»- О (9 ~5) ~~2 Уравнение (8.25) и есть известное уравнение длинных волн. Рассмотрим периодические колебания, т.е. решения вида »-1(У,~)соа стй.
Подставляя это решение в уравнение (8.25), мы найдем, что функция ~ удовлетворяет уравнению (П О) ч(И~) + — ~ о2 й (9.26) Если стенки сосуда вертикальны, то функция ) должна удовлетворяться условию д~/ди О (9.27) иа граиипе области Я. Если стенки сосуда не вертикальны,то уравнение (8.26) имеет особенность иа границе области 5: функция у обращается в нуль. Поэтому условие (8.27) должно быть заменено условием ограниченности функции ) иа границе области 5. 5.
В пятой главе было показано, что задача о колебаниях жидкости в сосуде сводится к решению экстремальной задачи для Функционала с, 3(~) Г 1 Р Х(ЧЧ) сс ~р6 Х ~ ссо О 2, 2 5 Применим формулу Грина к объемному интегралу и получим следующее выражение для функционала ): 1 - 1 - р ~ Ч вЂ” с~5- - рв ~» ~5 Й. 1 дР 1 2 о На поверхности Я ч - а(хЮ Ф); Мдю - - ла «+ ~ (тпа). Последнее выражение можно преобразовать к виду ду/дл 7(ЬРФ)+ ч~7сс Подставим это выражение и выражение для потенйиала ~ на поверхности 5 в функционал 3: с, ,à — р Га~Яча) Б — 1 рн Г ~~с5 Й. 2 2 Наконец, используя первое из уравнений (8.24) (считая И=О), исключим из выражения для ) функцию ~ и получим окончательное выражение для функционала действия по Гамильтону 1- 1 с~1~ аЧ(л~а) — ~ ~» Лй, (9.28) Рассмотрим задачу о собственных колебаниях жидкости и положим й Ф(Х,у)сон о'1 ° Подставим это выражение в функционал (8.28), положим 11 2~/о, проинтегрируем по времени и опустим в полученном выражении несущественный множитель ~ р/2о.
В результате придем к следующему утверждению: задача о свободных колебаниях жидкости малой глубины и сосуде сводится к определению чисел Х а2/ц и функций Ф» обращающих в минимум функционал Р( Ф ) ~ Ф17 ( Ь7Ф) -Х ФИЯ, 5 -238- Опуская квадратичный член относительно ~ и й, получим, что на поверхности 5 ду/дл ч(Бра). Рис. 66 Будем считать, что глубина жидкости мала по срав нению с длиной волны и радиусом цилиндра. Это позволит решать задачу в приближении длинных волн. В декартовых координатах Ох'У'х~ (см, рис. В8) функция ~(х',У~,1)- возвышение свободной поверхности — удовлетворяет урав- нению д2~ д2~ — - д Ь вЂ” + — 6 — В области с, д~' дх' дУ' дУ' (9.29) где и ЫУ') — глубина жидкости, и граничным условиям д~/дх' - 0 при х'- 0 и х'-1.
(9.30) Кроме того, функция ~ должна быть конечна при У' М. Будем искать функцию ~ в виде г(х, У, Е) 1(х,У ) Е ° 1)другие нримеры ислолъэованин теории колебаний жидкости мелок глхбниы см„в книге Г, ламба (7) и работе Б.и. Рабиновича и лр. (313.
Решение этой задачи следует разыскивать в классе функций, ограниченных на границе области 5 ° Пример. Колебания жидкости в цилиндрическом сосуде'>. 1. Рассмотрим задачу о собственных колебаниях тяжелой идеальной несжимаемой жидкости в пилиндрическом сосуде с горизонтальной образуюшей (рис. Оо). Радиус поперечного сечения цилиндра обозначен через Й, длина цилиндра 1, поперечный размер невозмущенной свободной поверхности 2А Тогда функция 1(М', у') будет решением следующей крае- вой задачи: дЧ д Ю В вЂ” ~+ —, Ь вЂ” +~— ~- О дх (9.31) в области т; при й' О, х' 1; (9.33) при У 2И. (9.33) Й~',Х') - конечна 2 Глубина жидкости в сосуде описывается функц ей Ь(у ), которая имеет вид р2 «2 д2 ~2 Так как глубина жидкости мала по сравнению с Й, то можно приближенно положить Н 2Н Вставим это выражение в уравнение (9,31) и получим ,2 дЦ д,2 ф Я -у' ) — + — (И -у' ) —, +~~ О, Ф д)' д)~' где Х 3щ К/ф — удвоенная безразмерная собственная час- 2 тота колебаний жидкости.
Перейдем к безразмерным переменным х- х'/1~ у- у'/А Тогда последнее уравнение примет вид Г (1-у ) — + - (1-у ) — ~+х1- О. дм (9.34) 2д1 ~2 2Я Граничные условия задачи в новых переменных следующие; д1 — -О (9.35) дх при и Ои2 1; конечна при у-~1. (9.36) Чтобы удовлетворить граничному условию (9.36), положим 1(х,у) - Я(у)сои и~х, где и - произвольное положительное целое число, отлич- ное от нуля, а функция Х()~) является решением краевой задачи: !(1 — У~)Е 1 +! Х-е(1 — У2)12-0; 2 конечна при у- ~1, (9.37) (9.38) 2 Х +е 2 +...; Хт=Х +е Х +... (О) 2 (1) (О) 2 (1) Подставив эти выражения в уравнение (9.37) и приравняв члены при одинаковых степенях е, получим: (9.39) !(1 У2)Е(1)'1' х(о)Г(1) (1 У2)Г(о) х(1) Г(о) (9 40) т + т т т т т Уравнение (8.38) имеет конечное решение на концах интервала !-1, +11, если Хт )п(1Н+ 1), (о) (9.41) Решением этого уравнения являются функции Лежандра первого рода Е - Р„(У)„ (0) (9.42) которые на интервале ! -1, +11 образуют полную ортогональную систему функций.
Решение уравнения (8.40) будем искать в виде ° цьт Рт(У). т о (9.43) (1) Помножим уравнение (9.39) на Е ~, а уравнение (8,40) (взяв индекс Й вместо Ф) — на Р„. Вычтем из уравнения (8.40) уравнение (8.39) и проинтегрируем разность от -1 до +1. Тогда получим (~1, -Хт ) ~ ~1, Рт(1У- 1(1-У )Р1,Ртйу-Х), ~Р~Ртйу. (9.44) -1 -1 -1 Однако -241— здесь введено обозначение 1' ИЕ/ф, е И~д/1 ° При наших предположениях параметр е существенно меньше единицы. 3. Собственные функции и собственные числа краевой задачи (8.37) и (9.38) будем искать в виде, Коэффициент Ю~~ найдем из условия нормировки функций 2 . Положим 1 ~2 ду-— 2В+ 1 и получим а~~ 0.
Таким образом, а~ О, если ефй-2 или В~ 1+2. Л.а ~ел 7 д 2,5 Рио. 67 Следовательно, с тОЧностью до членов порядка (йИя/1)2 безразмерные собственные частоты колебаний жидкости можно вычислять по формуле Х1, ю Й(Й+1)+ — 1- « „~~2 (1+1)2 ! (2Й-1)(21+1) (21+1) (21+3) Главные формы колебаний имеют вид и,~ а (В+1)(1~2)Р. (у) й(й-1) Р (у) Р( ) 576 1 Мй+1)(21+3) (2Й+Б) (2Й-3)(2Й-1) (21+1 сала НИХ Заметим, что следующие члены разложений функций 2 и чисел Х можно вычислить аналогичным способом, Сходимость процесса следует для достаточно малых значений ~ из общей теории, На рис. 67 построены граФики, показывающие зависимость Х~1/2 от Ю1 при 1-0,1=1 и М 2.
ЛИТЕРАТУРА 1. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т.1, 11. М."Л., Гостехиздат, 1951. 2. Тихонов А.Н., Самарский А,А, Уравнения математической физики. М., Гостехиздат, 1853. 3. М ихли и С.Г Проблема минимума квадратичного функционала, М„Гостехиздат, 1862. 4. Р я с е Ф., С е к е ф а л ь в и - Н а д ь Б.С. Лекции по функционал ьному анализу. М., ИЛ, 1964. 5 Ко чин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчнспения. М., Изд-во Наука, 1966. 6. М ак-Лахлаи Н.В. Теория и приложения функций Матье, М., ИЛ, 1963.
7. Лам б Г. Гидродинамике, М,-Л., Гостехиздат, 1947. 3. Лаврентьев М.А., Шабат Б В, Методы теории функций комплексного переменного. М., Физматгиз, 1953 8. Гурса Э. Курс математического анализа, т. 1. М,-Л., НТИ, 1936. 10. Град штейн И.С, Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, М., Физматгиз, 1862. 11. Ватсон Г.Н, Теория бесселевых функций, ч. 1. М., ИЛ, 1948. 12, Канторович Л.В., Крылов В.Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
