Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть II. Одномерные неустановившиеся движения (1163277), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Обратимся вновь к задаче о поршне. Пусть поршень вдвигается в область, занятую газом, и на некотором начальном участке своего пути ОА имеет постоянную скорость, после чего его скорость уменьшается (рис.11.1), Тогда на участке ОЬ траектории ударной волны до прихода к ней характеристики первого семейства из точки А волна имеет постоянную скорость, параметры потока за ней однородны и поэтому характеристика АЬ прямолинейна.
Спедоватепьно, решение задачи Ш типа в области АЬС между этой характеристикой и траекторией поршня прейставляет собой волну Римана, распространяющуюся в сторону ударной водны и взаимодействующую с ней, начиная с точки Ь. Область взаимодействия ограничена слева известной характеристикой второго семейства ЬС волны Римана, а справа — ударной волной. Траектория ударной волны под влиянием подходящих к ней сзади возмущений отклоняется от пря- 46 модинейной и зарвнее,неизвестна., Требуется определить движение в области взаимодействия и найти саму эту обпасть, в частности, нвйти траекторию удврной волны. Отметим, что в части области взвнмодейст вия, ограниченной ударной волной и траекторией частицы, проходящей через точку В (пунктирнвя линия на рис.
11.1 ) движение будет неизэнтропическим в отличие от движения в области зв ударной волной между этой трвекторией и поршнем, где энтропия всех частиц одинакова поскольку все они прошли через удврную волну постоянной интенсивности нв участке ОВ . Выделим на характеристике В С, ряд промежуточных точек В, В н т.д. Через точку В проведем эпемент характеристики первого семейства в направлении ударной волны. Вдоль этого элемента с точностью до малых величин справедлива связь п.в'+ 'лР 0в) (рп); С другой стороны, в точке пересечения этой хврактернстики с ударной ванной значения и, и Р опредепэнным образом связаны соотношениями на ударной волне (см.
формулу (9.6)) ° О Иве связи между значениями Рис. 11 1 и. и р в точке В~ за удврной волной позволяют определить эти значения и с полющью соотношения (9.7) найти скорость удврной волны, т.е. угловой коэффициент трвекторни ударной волны в этой точке. Попожение точки В~ найдем прибпиженно нв пересечении элемента скачка, идущего цз точки В, с элементом хврактеристпки, идущей из точки В, проводя ел~мент скачка из точки В в соответствии с найденным угловым коэффициентом (ппи беря среднее от углового коэффициента в точках Вл и В ).
Песне этого применим процедуру решения эпементврной задачи метода хврвктернстик к точкам В и В~~ в резупьтвте чего найдем решение в точке В~', затем найдем решение в точке В~ и т,.д., покв не будет найдено решение в узловых точках на характеристике В~С, и свмв эта характеристика, Повторяя описанное построение, найдем решение в треугольной области, ограниченной известной характеристикой ВС, отраженной от поршня характеристикой С и ударной волной ВЕ . Лве последние границы оп- с редепяются в процессе решения. л1впьнейшее продолжение решения в случае> еспи задана траектория поршня после точки С, сводится вновь к решению задачи Ш типа в области между известной характеристикой СЕ и траекторией поршня, после чего может быть построен дальнейший участок течения за ударной волной и т.д, Описанное построение применимо и в спучве, если с самого начала скорость поршня переменив; дпя этого достаточно заменить небольшой 46 начальный криволинейный участок траехтории поршня отрезком прямой.
Если газ перед ударной волной находится в движении, то это движение рассчитывается независимо от движения за волной, так как ударная волна распространяется по газу со сверхзвуковой скоростью и поэтому не может влиять на движение газа перед ней. Расчет в этом случае отличается от описанного выше тем> что в соотношениях (9.6) и (9.7) на ударной волне величины и,, 9,, Ч не постоянны, а являются известными функцияьщ точки плоскости ъ, (.. В случае, когда ударные волны явпяются слабыми, многие задачи о течениях с такими волнами могут быть решены аналитически.
Пусть движение первоначально покоившегося однородного газа вызывается движением поршня на левой границе области, занятой газом. Если при этом возникающие в потоке ударные волны можно считать слабыми, то инвариант Римана н- †'п(сй остается неизменным при переходе через них н, следовательно, во всем потоке выполняются соотношения О. — щ ~М = — ПС а,1, х = (и. + О.'1 (. + ( С~й (11.1) Функция ~ М1 определяется законом движения поршня. ' На возникающих при пересечении характеристик ударных волнах допжно выполняться соотг.к ношение (9.12): угловой коэффициент ~Г траектории ударной волны должен быть равен среднему арифметическому угловых коэффициентов характеристик первого семейства, подходящих к волне спереди и сзади д.к ( .
+ а)о+ (ц+ а'1 Ы~ В тех случаях, когда с одной стороны ударной водны гез не возмущен, это уравнение приобретает вид Дх а, + о. + а. ДЛ = (11.2) причем а, = сопь1,. В таких случаях, рассматривая х и 1 на ударной волне как функции параметра ц., после несложных выкладок с использованием соотношений (11.1) н (11.2) подучим линейное уравнение дпя определения ( Ий (и+ а1- ао И А (и. + а) [~.ц. — + 1. Ац + (Сц'1 = О. (11Л) Зависимость х (ц1 определится вторым соотношением (11,1).
Постоянная интегрирования уравнения (11.3) находится из условия начала волны в ближайшей по времени 1 точке пересечения характеристик: прн о. = и~. Таким образом, все течение в целом определяется как волна Римана с разрывом на ударной волне, форма которой находится аналитически. Рассмотрим, например, задачу о равноускоренном вдвигании поршня в трубу, которая при Ь О занята однородным покоящимся газом. Газ будем считать совершенным с постоянным ~ . Пусть при ф > О скорость поршня меняется по закону с> О. х, 1 можно тогда представить в Траекторию поршня в ппоскости параметрическом виде 47 ~Р х — > $с и с (11,4) где параметр и.
> О есть скорость поршня, В возникающей простой волне справедливы соотношения (11.1), где 2а для совершенного газа о 1ау = — ° Для определения во втором соотношении (11.1) функции ~~и) подставим в него выражения (11.4), в результате чего найдем и ~(с.) = — — (а,, + — и.) (11Л) 3+1 ш к 1а + — и~).М- ~(а + — и). о р с 0 Из условия начала ударной волны в точке х,, 1, находим постоянную интегрирования С ** О. Прн этом из двух последних формул следует, что образующаяся ударная волна имеет параболическую форму, а ее интенсивность монотонно возрастает от нулевой в начальной точке. Если (рис.11.2), начиная с некоторого момента, соответствующего точке Ь, скорость поршня сохранить постоянной, то после прихода к ударной волне характеристики волны Римана, исходящей из точки Ь| интенсивность ударной волны тоже будет сохраняться неизменной.
Пусть теперь движение поршня происходит следующим образом. Сна- 48 Характеристики в волне Римана образуют в рассматриваемом случае сходящийся пучок, Найдем момент времеви, начиная с которого эти ха- рактеристики пересекаются, т.е. начиная с которого в газе образуется ударная волна. Для этого проднфференцируем второе уравнение (11.1) по параметру ы и результат приравняем нулю; 1+1 а () = — 1- — — — о-.
с с Это уравнение вместе со вторым уравнением (11.1) и выражением (11.5) при ш ь 0 определяет о~ибэюшую характеристик в плоскости Наименьшее значение 1 на этой линии соответствует значению и. =О, т.е, точха, где начинается ударная волна, в соответствии с уже доказан- ным ранее (.6. 10), лежит на переднем фронте волны Римана. Координаты а, атой точки ' т = — — хо = по~~ Таким образом ударная волна на- ~+1 с В чннаясь на передней характеристике, распространяется по покоящемуся газу и угловой коэффициент траектории ударной волны можно определячч по формуле (11.2).
Следовательно, на траектории волны ~Ы ~+) — — 11, + — н. )~ о (11.6) и уравнение (11.3) в рассматриваемом примере имеет вид сй 1 ч а., — + й — = — (М+ — '). Д.ц. ш = ц.))с Интегрируя это уравнение, находим — с..~- — ~ 4 — ~ ф (1+Йс 1, 5 где С вЂ” постоянная интегрирования. Зависимость х(о.'1 определится формулой чала он движется с постоянной скоростью о.~ в область, занятую газом, По истечении некоторого времени поршень внезапно начинает двигаться в другую сторону со скоростью и.х (ит < 0) и затем вновь останавливается (рис.11Л). Будем считать скорости поршня о.~ и с.т настолько малыми по величине сравнительно со скоростью звука в первоначально покоившемся газе, чтобы возникающие ударнью волны можно было считать слабыми.
Прн движении поршня со скоростью О ~ по газу из точки О ~ распространяется ударная волна постоянной ин— тенсивности, за которой в области 1 образуется однородный поток со скоростью о.„. И момент смены ско- В рости поршня от него нз точки О отходит центрированная волна Римана; ее передний фронт догоняет ударну1о волну в точке Ь~, после чего волна Римана начинает взаимодействовать с ударной волной.
За задним фронтом волны Римана в области П однородный поток газа имеет скорость, равную скорости поршни о.т, так что Рис, 11,2 в момент остановки поршня в точке 0~ от него по газу начинает распространяться вторая ударная волна постоянной интенсивно сти, в которой газ останавливается. Эта ударная волна через некоторое время встречает задний фронт волны Римана в точке В~ н начинает взаимодействовать с ней. Рис, 11,3 49 Как и в предыдущей задаче, во всей области течения справедливы соотношения (11.1). Примем зв начало координат в плоскости х, 1.
точку О, в которой происходят смена скорости поршня и образование пентрированной волны Римана. Тогда соотношения дпя этой волны Римана в случае совершенного газа примут впд: Х = 1.и+ а') л. (11.7) Так как первая ударная волна распространяется по покоящемуся газу, то дпя определения ее формы вновь получим дифференциальное уравнение (11.6).При использовании соотношений (11.7) оно становится следующим: (11.8) Это уравнение справедпиво и дпя второй ударной вопны,так как слева от этой волны газ согпасно первому интегралу (11.7) находится в том же однородном состоянии,что и перед первой волной, Решение уравнения (11.8) есть х= а,(-+ С1 1 где С - постоянная интегрирования.
Обозначим' координаты точек начала взаимодействия волны Римана с ударными вопналш через х~ 1~ и Хт ~1 соответственно. Тогда, определив значение постоянной Г т ~ из условия прохождения ударной водны через точку начала взаимодействия, подучим дпя первой волны (при ( > (.~ ) (11.9) а дпя второй воины (при ь > (-Э)- М+ ( ~/1 $/% х = а,1 + — и.т~~ (11,10) Отметим следующие важные свойства поведения ударных волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
