Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть II. Одномерные неустановившиеся движения (1163277), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В силу того, что уже говорилось ранее прп рассмотрении задачи о поршне, начинающем двигаться сразу с постоянной скоростью, возникающее при распаде произвольного разрыва движение должно быть автомод льным, т.е. искомые параметры газа и./а,, р/р,, у/у должны быть функциями одной переменной х./и,,( и постоянных параметров и;/а,, 0ч/0,, р,/р, у /у, а также у; и у,, если рассматриваются совершенные газы с постоянными теплоемкостями.
Ясно, что если возникающее движение состоит из нескольких областей то эти области должны отделяться линиями — =сопяг . Ранее мы уже х нашли два элемента автомодельных движений — однородное состояние газа и центрированную волну Римана. Покажем, что все автомодельные неустановившиеся движения с плоскими волнами ( с постоянными по времени масштабами для параметров газа и одной независимой переменной х/(. ) представляют собой комбинацию только этих двух элементов. Будем искать решения исходной системы уравнений одномерных не- стационарных движений с плоскими волнами, зависящие лишь от переменной ~ = Х/(.. Так как —.
=- — — — ..— -=-- — — то уравнения (1.1)-(1.3) примут д 14 В г ц. 'дх 1 4 Й (.,(у вид Йс (О.— ~') — + ю — = О, ,а 3~ Эти уравнения (как и исходные) имеют очевидное решение и.= сопб(., ~= сопз1„р= соп.й, соответствующее однородному состоянию газа, Будем отыскивать другие решения системы (12,1), т.е. элементы решения автомодельных задач. Последнее уравнение этой системы имеет два решения. Одно из этих решений 'и — ~ = О не удовлетворяет первому уравнению и должно быть отброшено.
Второе решение: 5 (у, ~) = соцб( (12.2) показывает, что разыскиваемый элемент автомодедьного движения дол- жен быть изэнтропическнм. Исключая из первых двух уравнений (12.1) и — и, получаем (Йз') — —,— = О 0~)дя У ( ал(.у Ц. + ~ — '-- = сопя( иди (12.3) Наконец, из первого уравнении находим (12.4) Но последние два соотношения представляют собой решения для центрированных волн Римана. Таким образом, действительно, все автомодельцые движения должны состоять только из двух эпементов - оцнородных состояний газа и центрированных волн Римана, примыкающих одни к другим вдоль линий х11,=соп51. Волны Римана примыкают к однородным состояниям газа вдодь прямолинейных характеристик х/1=сопз1.
однород- 7 ные же состояния газа могут быть отделены одно от другого ударными волнами или контактными разрывами постоянной интенсивности, траектории которых в плоскости щ, Т суть линии х/1 = союз(.. Так как в задаче о начальном разрыве кусочно-постоянные начальные значения параметров газа по обе стороны плоскости з". = О вполне произвопьны, то соединить эти два состояния при (. ) О посредством ударной волны, контактного разрыва или центрированной волны Римана в общем случае, очевидно, невозможно, так как при зацанном состоянии газа перед волной иди разрывом соотношения на волне или разрыве допускают варьирование лишь одного из параметров в газе позади них. Поэтому система волн должна содержать три элемента, включая контактный разрыв. Покажем, что в кажцую сторону от контактного разрыва по газу может распространяться только либо одна волна Римана, либо одна ударная волна (предполагается, что оба газа являются нормальными).
В самом деле, если по газу распространяется центрированная волна Римана, то ее задний фронт перемещается по частицам газа со скоростью звука. В автомодельном движении распространение скачка за волной Римана в ту же сторону невозможно, так как скорость скачка по частицам перед ним больше скорости звука. Точно так же невозможна н вторая волна Римана, отделенная от первой конечной зоной однородного состояния. Ширина этой зоны при движении сохраняется из-за равенства скоростей заднего фронта первой волны и переднего фронта второй водны, что невозможно в автомодедьном движении. Если по газу распространяется ударная волна, то ни вторая ударная волна, ни волна Римана распространяться по газу в том же направлении в автомодельном движении не может. Действительно, первая волна распространяется по газу за ней с дозвуковой скоростью, тогда как следующая ударная волна распространяется по тому же газу со сверхзвуковой скоростью, а волна Римана - точно со скоростью звука.
В автомодельном движении это невозможно. Таким образом, при распаде произвольного разрыва возможно образование лишь трех существенно различных волновых конфигураций. В первой из них в каждую сторону от контактного разрыва по газу распространяются ударные волны. Во второй кинфигурации в одну сторону распространяется ударная волна, в другую — центрированная волна Римана. Наконец, в третьей конфигурации в обе стороны от контактного разрыва распространяются центрированные волны Римана, Во всех случаях между расходящимися волнами образуется область постоянных значений давления и скорости газа, включающая контактную поверхность, на которой в общем случае терпит разрыв плотность газа.
Образующаяся в результате распада разрыва конфигурация волн зависит, естественно, от принадлжености начальных значений параметров газа той или иной области пространства определяющих параметров. На рис.12а,б,в приведены волновые конфигурации в трех типлчных случаях и соответствующие им распределения давления и скорости газа. Мы не останавливаемся на доказательстве того, что в случае нормального газа при любых начальных данных решение задачи о распаде произвольного разрыва су»ествует и единственно. Это доказательство и формулы для расчета образующихся течений имеются, например> в ~ 5>6 1. Из физических соображений ясно, что конфигурация с двумя ударными волнами, обязательно осуществляется, например, если начальные значения параметров отличаются лишь направлением скорости в обоих полупространствах и скорости направлены к поверхности раздела (за- О Рис.12б Рис.
12а Рис. 12в Рис, 12г дача о симметричном соударении двух масс газа). Конфигурация с од- ной ударной волной и одной волной Римана возникает, к примеру, в слу- чае, если газы по обе стороны поверхности раздела первоначально по- коятся, но имеют разное давление (задача о выравнивании давлении). Наконец, конфигурация с двумя волнами Римана образуется, например, если при одинаковых начальных давлении и плотности скорости газа с обеих сторон поверхности раздела направлены от этой поверхюстн (задача о разлете двух масс газа), В случае.
распада разрыва с образованием цвух волн Римана возмо-~ жен отрыв одной массы газа от другой. Действительно, ранее было установлено, что имеется максимальная скорость расширения газа при нестационарном адиабатическом движении с плоскими волнами. Поэтому, если модуль разности начальных скоростей разлетающихся газов больше суммы величин их максимальных скоростей расширения, то газы при расширении не смогут заполнить образующуюся при разлете полость и между передними фронтами расширяющихся во встречных направлениях газов образуется зона вакуума - в таком случае говорят о полном раз- лете газов. Соответствующая полному разлету конфигурация волн раз- режения и графики распределения давления и скорости в этом случае приведены на рис.
12.1г, Зацача о распаде произвольного разрыва может возникнуть и при более сложных, чем одномерные, пространственных распределениях па- раметров газа, когда начальная поверхность раздела искривлена и ско- рость газа с обеих сторон в общем случае имеет все три компоненты, не равные нулю, Зля выяснения того, что происходит при распаде такого разрыва, обобщим сначала сформулированную ранее постановку задачи об одномерном разрыве на случай, когда газ с каждой сторо- ны плоской поверхности раздела однороден, но скорость его может иметь все три компоненты не равными нулю.
Очевидно, что и в этом случае вывод об автомодельном характере возникающего движения сохраняет силу, Разыскивая завясящее тодько от ф решение для компонент скорости и., и, 1п', легко убедиться что единственным автомодельным решением, отличным от однородного потока с постоянными значениями и,, и,, цт,, будет решение, в котором продольная компонента скорости удовлетвзряет тем же соотношениям для волны Римана (12,2)-(12.4), а поперечные компоненты скороС- тн сохраняются постоянными. Так как поперечные компоненты скорости не изменяются н при прохождении ударной волны> а условия на контактном разрыве допускают произвопьный скачок тангенциальных скоростей, то образующиеся волновые конфигурации в этом случае ничем не отличаются от рассмотренных ранее, а возникающие течения отличаются от прежних лишь тем, что в обпастях с каждой стороны контактного разрыва сохраняются первоначальные значения тангенцнальной скорости, не обязательно равные нулю, Если первоначапьная поверхность криволинейна, а начальные распределения параметров не однородны и не одномерны, то полученное описание распада произвольного разрыва может применяться лцшь локадьно в окрестности каждой точки и дишь в течение малого промежутка времени.
При этом конфцгурация образующихся первоначально волн может быть различной вблизи разных участков начального разрыва, В следующих параграфах будут приведены примеры одномерных движений, при изучении которых возникает задача о распаде начального разрыва, 6 13.
Столкновение ударных волн. Отражение ударной волны от стенки. Взаимодействие ударной волны с контактным разрывом. Отражение ударной волны от открытого конца трубы Пусть две ударные волны распространяются навстречу одна другой по однородному покоящемуся газу (рис.13.1) В момент встречи волн известное распределение параметров газа в пространстве будет разрывным и не удовлетворяющим на разрыве зако- Рис, 13.1 58 нам сохранения; при этом скорости газа с обеих сторон разрыва направлены одна навстречу другой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
