Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть II. Одномерные неустановившиеся движения (1163277), страница 7
Текст из файла (страница 7)
При нестационарном расширении газа в цилиндрической трубе эта скорость выше (при )'~ 3)> чем при стационарном истечении через неограниченно расширяющееся сопло Лаваля. Вернемся вновь к задаче о поршне. Пусть закон движения поршня задан в следующей форме. Сначала, как и ранее, поршень начинает двигаться влево с нулевой скоростью в точке О, ускоряясь до некоторого значения скорости> меньшего максимальной в точке В, после чего скорость поршня остается постоянной (рис.8>3). Тогда ясно, что волна Римана будет лишь в области П между прямолинейными характеристиками ОА и ВС .
К характеристике ВС слева примыкает зона Ш однородного состояния газа, движущегося со скоростью, равной скорости поршня. Это следует из краевого условия и.(Х, >.')=1>.„= сон.й > согласно которому в области Ш и второй инвариант Римана имеет постоянное значение. О Рис. 8.3 Будем теперь уменьшать длину отрезка ОВ траектории поршня, сохраняя неизменной конечную скорость поршня.
В пределе, когда длина участка ОВ обращается в нуль, все прямолинейные характеристики волны Римана в зоне П выходят из одной точки 0 и волна Римана становится центрированной (рис.8.4). При этом поршень с самого начала будет иметь постоянную скорость, Отметим, что в найденном течении с центрированной 'волной Рима-, на имеется особенность в распредепении параметров газа; при подхоце к точке 0 с разных направлений значения параметров различны. Эта особенность вызвана, как уже о том говорилось в конце 6 6, несогласованностью граничных значений скорости в точке 0 пересечения двух участков границы области течения - оси Ж и траектории поршня.
Рис. 8.4 Если конечная скорость поршня превосходит по величине максимальное значение скорости расширения газа П,,„я, следовательно, качи ная с некоторого момента поршень отрывается от газа и перестает вли- Ф ять на его движение, то можно считать, что, начиная с этого момента поршня просто нет я фронт расширяющегося газа граничит с областью вакуума, Если при этом вновь совершить предельный переход, устремляя к нулю длину отрезка траектории поршня, на котором скорость возрастает до 1~, щ, то получим течение с центрированной волной Римана, на переднем фронте которой давление и плотность равны нулю, а скорость газа равна скорости истечения газа в вакуум', поршень при этом можно считать 'исчезнувшим" в начальный момент времени. Эту задачу можно трактовать следующим образом.
Покоящийся однородный газ в области х ~ О отделен при ц, = О перегородкой от области вакуума при х . О, В момент времени 1 = О перегородку мгновенно убирают и газ начинает истекать в пустоту (рис.8Л ). Нетрудно убедиться в том, что движение газа при выдвигании поршня с постоянной скоростью и движение газа при истечении его в вакуум после мгновенного исчезновения перегородки автомодельны во всей области, занятой газом. Действительно, оба эти движения состоят из областей, занятых либо газом в однородном состоянии, либо центрированной волной Римана, причем эти области ограничены прямыми — =сап.й . Таким образом оба движения в целом автомодельны, т.е. х распределения всех параметров газа в них зависят лишь от комбинации х неэ ависимых переменных.
й Отметим, что автомодельный характер найденных движений следует уже из постановки соответствующих задач. В самом деле, обе задачи состоят в нахождении зависимости скорости и., давления ц и плотности р от координаты Х и времени С при данных начальных значениях у, и р, в покоящемся газе, при заданной скорости поршня Ц в первой задаче и при р О на левой границе области движения - во второй задаче. Уравнения, которыми описывается возникающее движение> содержат в случае совершенного газа с постоянными теплоемкостями лишь один параметр — отношение теплоемкостей Рис. 8.5 Легко убедиться, что система постоянных определяющих параметров задачи содержит масштабы шш давления, плотности н скорости ( р р„, или а,-Д вЂ” ') и не содержит масштабов длины и времени, поз- .Г(~,' уа воняя определять лишь их комбинацию Таким образом, безразмерные отношения —, — и — должны 1' У и Р0 ' ф~ быть функциями лишь одной переменной — ~ и одной постоянной а в первой задаче - еще и постоянной О~Ь,.
Это н доказывает автомо- дельный характер возникающего движения, Отметим, что возникновение центрированной волны Римана с особен- ностью в точке О в задаче об истечении газа в вакуум при удалении перегородки вновь вызвано несогласованностью условий, задаваемых на границе области движения: при подходе к точке О вдоль участка гра- ницы Ф = О давление равно с,, а при подходе к этой точке вдоль неизвестного заранее участка границы - переднего фронта истекающего газа - давление равно нулю, В более общем случае задачи о поршне, когда распределения пара- метров -газа при 1 = О неоднородны, движение в области 1 находится путем решения задачи Коши, а движение в области П путем изложен- ного в 6 6 решения задачи Ш-го типа, когда граничная траек- тория (траекторня поршня) заранее известна, Конечно, прн этом предпо- лагается, что непрерывное решение существует.
Если скорость выдвигае- мого поршня относительно прилегающего к нему газа в начальный мо- мент времени не равна нулю и направлена в сторону от газа, то локаль- но течение в окрестности точки О описывается центрированной волной Римана. Есди эта скорость не равна нулю и направлена в сторону облас- ти, занятой газом, то непрерывное течение невозможно - в газе образу- ются поверхности резрыва. (9.6) Многие следствия из этих соотношений рассматривались ранее — в ч.
1. Выведем еще некоторые важные и нужные для дальнейшего связи между параметрами газа на ударной волне. Уравнению импульсов (9Д) с использованием величины ш. можно придать одну из следующих форм: с — р, =- пъ(и,— и), х Р Р = (~о~). Здесь Ч - удельный объем. Исключив из этих двух соотношений величину ю., получаем уравнение, связывающее изменение скорости в волне с изменением термодинамических параметров (и.- /=(р-р,~Я,-Ч~ (9.6) Так как давление р и удельный объем Ч за волной связаны уравнением Гюгонио (см, ч. 1), то это соотношение выражает изменение скорости газа прн прохождении им ударной волны через изменение давления или через изменение плотности.
Заменив в соотношении (9.3) слагаемое ъ з с (и — Ж) равной ему величиной (~А- Ы) и разрешив это соот~о ношение относительно Й, получим Ы- и+ Уо ~' 'го 11 у (9.7 ) Это выражение дает скорость ударной волны, распространяющейся по газу в одну или другую сторону, через изменение термодинамических паре.— метров в волне.
Ранее при изучении адиабаты Гюгонио было установлено, что в случае ударной волны небольшой интенсивности, когда величина С вЂ” р, мала по сравнению с ( или ~, дч, изменение энтропии в волне имеет порядок (р — ~,~ . Таким образом, с точностью до членов порядка (~-~,~ включительно связь между давлением и плотностью в ударных волнах является изэнтропической. Ударные волны, которые удовлетворяют этому условию, назовем слабыми, 11ля слабых ударных волн сравним связь между скоростью и давлением в них с соответствующей зависимостью в бегущей волне Римана (Ы~ =-1р~И.
(9.8) 'Так как и в волне Римана и в слабой ударной волне связь между плотъ постыл и давлением одинакова до членов порядка ( Ч вЂ” У ) включительо но, т.е. 'йс (дс 2 9 ~ = ' (Ч-Ч).— —.(,Ч-Ч) г~= у~ о 2 Я~ о (9.9) где производные берутся при постоянной энтропии, то подставляя эту связь в соотношение (9.6) и в соотношение (9.8) и интегрируя последнее, получим, что в обоих случаях 38 8я -- ° = —. — '(ч-ЧФ вЂ” — (ч-Ч4 а,, 1 дЧ Ч '~ " др дЧ (9.10) О- и-"а, Выразим скорость Ф с учетом членов следующего приближения в раэложенни (9.9), т.е. с учетом членов порядка (Ч вЂ” Чо) . 3 Найдем сначала выражение для скорости звука П: дЧ ' ~Ч, 2р / (9.11 ) Простыми выкладками, подставляя в формулу (9.7) разложения (9.9) для )1 и (9,10) для 'и., получаем а, 0„„ о о 1 о (9.12) С другой стороны, сложение и вычитание выражений (9.10) и (9.11) для и. н О.
дает и. а= и = а + — (Ч-Ч ). о )'Вг о о 2 о (9.13 ) Исключив нз двух последних соотношений слагаемое с разностью Ч - Чо, находим Ю = — (и. я а. + ось а) . о о а (9.14) Таким образом, скорость распространения слабой ударной волны равна полусумме скоростей распространения слабых возмущений перед волной и за ней.
Этот результат будет использован далее в задаче о затухании удар- ных волн и в других задачах о движениях газа со слабыми ударными волнамн, Заметим, что все полученные выше результаты являются следствием лишь двух законов сохранения на ударной волне - массы и импульса- я не связаны с конкретными термодннамнческнмн свойствами вещества, (Единственным требованием к свойствам вещества здесь является услодс вне — '- ~ О), ЪЧ В системе координат, в которой ударная волна движется, полное теп- лосодержанне газа за волной не равно его значению перед волной. Из последнего уравнения (9Л) получаем (верхний знак соответствует распространению волн вправо, нижний - влево) . Таким образом, в слабых ударных волнах связь между изменением скорости н изменением давлении нлн плотности та же, что и в простой волне.
Отсюда следует, что в слабой ударной волне соответствующий инвариант Римана не терпит разрыва. Выражение (9.7) для скорости ударной волны показывает, что прн учете в разложения (9.9) только членов порядка Ч вЂ” Ч,, т,е. в линейном приближении, скорость ударной волны по частипам есть скорость звука Так как разность и.— и, в ударных волнах уплотнения имеет тот же знак, что и Й, то полное теплосодержание газа при прохождении по нему волны увеличивается. При очень большой скорости распространения ударной волны В в соотношениях на волне (9.8) можно пренебречь слагаемыми е, с Рь ° ~а ПО СРаВНЕНИЮ С ЕДИНИЦЕЙ. УДаРНЫЕ ВОЛНЫ, ДЛЯ КОТОРЫХ ,ге можно считать выполненными эти условия, называются сильными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
