Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть II. Одномерные неустановившиеся движения (1163277), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Особенно просто выглядят решения при у -1 (модель Чапкягина) и при )' 3 (модель Бехерта-Станюковича): при У = -1 Х Ъ1("~ эй(м 1(".~ 3( и.=-(ч. 31, 3), ).=~'() рМ, а. = — — (ч — Ф~ 2 14 В этом случае линии ч.=сэпэ1. и 3 =сап,э( удобно изображать в плоскости перемеииых ц,, Ь.)) . Если в соотиошениях вдоль характеристик (3.16) определяемыми функциями считать х и Ъ, а независимыми переменными ъ и ь, то эти соотношения приведутся к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных Зх д(.
Зт. Ж вЂ” (и,+ а>— — = (и.— а'1— дб ай ° ъ ж при г 3 ч.й(О- й(( -1 ~(~' 1("' х= и. = — ('с б) а. = — (ч. — э) 2 где ~ и >>1 - произвольные функции своего аргумента. Переход в соотношениях (3.16) от искомых функций >, к (з, >, > и ь = ь Сш,> > к ъ и ь как независимым переменным возможен, если для данного решения существуют однозначные обратные функции к = т-с>., ь.>, 2 1(ъ, ь>, т.е.
если якобиан Э'1. а 'йк. а 'це 'ц г. отличен от нуля. Из соотношений (3.16) следует, что этот якобиан равен 2а. — — . Следовательно, если а. Ф О, то такой переход возЭ~. 3з ц~. 3щ ь можен всегда, кроме случаев, когда ~— = 0 и> согласно первой паре соотношений (3.16), ч.= сопз1 либо когда —, = 0 и, согласно втоЯ~ 'Ях. рой паре соотношений (3,16)> Ь сг'.Й, либо когда одновременно ч = сопз1, з - сопФ > что, очевидно, соответствует однородному потоку. Эти особые случаи течений, для которых ч.
- соцз1 либо =сод в1 > будут рассмотрены в й 7. й 4, Метод характеристик Уравнения одномерных несташюнарных движений в форме соотношений вдоль характеристик (3.10) удобно испош зовать для нахождения реше- ний различных конкретных задач, а также для анализа зависимости ре- шения от исходных даниых на границах области движения, Рассмотрим сначала следующую задачу, которую назовем элементар- ной задачей метода характеристик (в том смысле, что решение этой задачи служит элементом решения более сложных задач).
В дальнейших рассуждениях мы не будем стремиться к математичес- кой строгости, ограничившись ссылкой на имеющиеся книги по теории дифференциальных уравнеиий в частных производных гиперболического типа и ее приложениям к газовой динамике (3>6], Пусть иа отрезке Ао прямой 1=1> = сок.з1 (если т' = 2>3> то ш ~ 0) заданы достаточно гладкие распределения значений искомых величий и., о, й . Не ограничивая общности будем считать 0 и предположим, что в некотором интервале 0 к 1 - 1, существует гладкое решение уравнений (3.6)-(3.8), удовлетворяющее заданным на- чальным данным. Возьмем на отрезке АВ две достаточно близкие внутренние точки Р и Р+ .
Если решение, существование которого мы предположили, известно, то из точек Р и Р„можно (при усло- вии, что в этих точках а 1 0) провести характеристики разных акус- тических семейств до пересечения их в точке Р (рис.4.1). Из точ- ки Р можно затем провести назад характеристику третьего семейст- 16 Рис. 4,1 ва до пересечения ее в точке Р, с осью х . Легко убедиться по формулам (3.9), что при любых гладких начальных данных точки Р и Ро найдутся, есля точки Р„и Р+ достаточно близки.
Если решение заранее неизвестно, то определить координаты х,, $р точки Р можно приближенно, считая вдоль малых отрезков характеристик Р Р и Р+ Р характеристические скорости С,. и С постоянными и равными их известным значениям в точках Р и Р+ соответственно. Йля етого нужно решить два линейных уравнения хр — хр = (и-а)р 1р Длн нахождения значений и.
и р в точке Р заменим первые два дифференциальных соотношения (3.10) вдоль характеристик линейными конечноразностными уравнениями Рр Рр / аи.~ 1ь — и + = =-()-О~~ — ) (уа) Р )р р и.р — и., — ' = (~-$,)( — ) Рр Рр+ ~ ац,~ ОпРеделив отсюда ир и Рр, найдем кооРдинатУ хр точки Р считая на малом отрезке характеристики РР, характерйстическую скорость с, постоянной и равной ее известному значению в точке Р, т.е. решая линейные уравнения ар(1р ~р1) 1р, о 1(ля нахождения величины Б в точке Р воспользуемся соо гношением (3.10) вдоль характеристики третьего семейства, которое интегрирует- ся, в результате чего находим Б — 8 =О. р рр Значение бр, известно илн, если начальные данные заданы в дискретных точках осн х, оно может быть получено приближенно путем 13 Рис. 4.2 Соотношения вдоль характеристик (3.16) интегрируются в этом случае в конечном виде ъ(и.,а1-соаэ( при Йх=(и+ а)й х (и„Ж= соо.в(. при При известных значениях и и а в точках в точке Р находятся из точных интегралов 4х - (и,— а)~(( .
(4П) Р и Р+ их значения ч.(тср, ар) = с(ър, ар), й(ир,ар)=й(ир, а,~ (4,2 ) Положение же точки Р, как и в общем случае, находится приближенно из соответствующей системы двух линейных алгебраических уравнений. При фактических вычислениях, учитывая малость отличия значений и.р, с р от их значений в точках Р и Р+ соотношений (4.2) также можно линеаризовать. В случае же совершенного газа с линейной интерполяции по значениям й в точках Р и Р,: хр — хр х -х о Р~ р Описанный срвсоб нахождения решения в точке Р по известным при меньших значениях времени 1 ("в прошлом ) данным в точках Р и Р, применим и тогда, когда эти точки лежат не на линии 1=сопэС, а принадлежат отрезку кривой, в точках которого при заданных на нем значениях искомых функций акустические характеристики обоих семейатв выходят при росте времени (, в одну сторону от кривой.
Такие кривые (рнс.4.2а) будем называть пространственно-подобными. Очевидно, что любая линия С = сэпФ является пространственно-подобной. В другом возможном случае, когда направление кривой в каждой точке разделяет направления акустических характеристик обоих семейств, выходящих из точек кривой при Ю ) О, кривая называется временно- подобной (рис.4.2б).
Примером временно-подобной кривой может служить характеристика третьего семейства (траектория). йля баротропных течений с плоскими волнами элементарная задача метода характеристик решается проще, чем в общем случае. постояннымн теплоемкостями эти соотношения и в точном виде линейны относительно ар и ар '. 6 б. Задача Коши. Область зависимости и область влияния. Слабые разрывы Покажем, как использовать решение изложенной в Ф 4 элементарной задачи метода характеристик в более сложных случаях. Рассмотрим следующую задачу, Пусть при 1 = О на некотором отрезке 4В оси э (рисЛ.1) задано начальное состояние газа и,(ъ, О) ** а,Сй), рСъ, О) р (ъ), бах,0) = Ь~Ск).
Требуется найти движение газа при 1 э О. Будем предполагать при этом выполненными все необходимые условия для существования непрерывно днфференцируемого ре4- шения этой задачи в некоторой области определения. Возьмем на отрезке АВ, кроме его конечных точек, еще ряд достаточно густо расположенных точек. К каждой паре соседних точек можно приьвнить процедуру, использованную в элементарной задаче метода характеристик, т.е. построить элементы акустических харакчеристик разных семейств, выходящих из выбранных на отрезке АВ точек, и найти решение в точках пересечения этих характеристик. Йалее ту же процедуру можно применить к каждой паре найденной системы точек, построив следующие элементы характеристик и вновь найдя решение в точках их пересечения, и т.д.
В результате приближенно находится сетка характеристик и значения искомых функций в узловых точках этой сетки в области, ограниченной отрезком АВ оси х и акустическими характеристиками первого и второго семейств, выходящими из концов этого отрезка В общем спучае эта область представляет собой криволинейный треугольник 1однако, прн некоторых специальных начальных условиях граничные характеристики могут не пересекаться, уходя в бесконечность). Рис. 5.1 18 Имеется доказательство (см., например, ~ 5] ) того, что если существует непрерывно дифференцируемое решение описанной задачи, то оно единственно; приближенное сеточное решение задачи, данное выше, при уменьшении расстояний между узлами сетки все более точно аппроксимирует точное решение. Совершенно аналогично предыдущему решение может быть найдено и тогда, когда начальные значения искомых функций заданы в плоскости х, 1.
на отрезке А В пространственно-подобной кривой (рис.5.2). Рис. 5.2 Описанная задача о построении решения по значениям трех искомых функций на пространственно-подобной кривой называется задачей с не- характеристическими начальными данными нли задачей Коши (назовем ее еще задачей 1 типа). Область, в которой находится решение по начальным данным, называется областью определенности решения этими начальными данными, Используем решение задачи Коши для анализа вопроса о зависимости решения от начальных данных. Возьмем внутри области найденного решения (рнс.5.2) какук~либо точку Р и проведем через нее акустические характеристики обоих семейств до пересечения их с начальной кривой в точках Р и Р+ ° Отрезок начальной кривой межцу точками г' и Р+ называется областью зависимости точки Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
