Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть II. Одномерные неустановившиеся движения (1163277), страница 4
Текст из файла (страница 4)
По построению решения ясно, что решение в точке Р зависит только от начальных значений на отрезке РР+; изменение начальных значений вне этого отрезка не сказывается на решении в точке Р (для непрерывных решений). Отсутствие такого влияния есть следствие конечной скорости распространения слабых возмущений: возмущения нз области вне отрезка РР+ не успевают прийти в точку 1, распространяясь в пространстве с конечными характеристическими скоростями ц, + а и и — 0 соответственно. Если изменить начальные данные только на отрезке РР+ то, как вновь ясно из построения решения, это проявится в изменении решения между акустическими характеристиками Р Й и Р+ Й+.
Область между этими характеристиками называется поэтому областью влияния от резка Р Р+ . Характеристика Р 4 распространяющаяся из точки Р' со скоростью звука по частицам газа влево, есть таким образом, левый 1О фронт возмущений, вызванных изменением условий на отрезке РР -+ т аналогично характеристика Р+ О.+ есть правый фронт этих возмущений. Существование границ областей определенности, зависимости и влия- ния позволяет во многих случаях проводить качественный анализ одномер- ных течений, не прибегая к решению описывающих их уравнений.
Пусть начальные данные на отрезке АВ (рис.5,2 ) определяют непре- рывно дифференцируемое решение в области АВС . Изменим начальные данные нв участке АР , сохраняя их прежними на остальной части от- резка . Будем считать, что новое решение зацачи Коши по-прежне- му непрерывно в области определенности. Решение в области Р ЬС и, в частности, нв характеристике Р С осталось после изменения началь- ных данных прежним, поскольку оно целиком определено этими двинь на Р , решение же левее характеристики Р С изменилось, твк как эта часть области определенности решения входит в область влияния Таким образом,решение в области правее характеристики Р С жет быть продолжено через характеристику неецинственным образом.При этом отличие измененного решения от первонвчальн ого может состоять в том, что производные от некоторых искомых ф нкций у по нормали к ха- рактеристике станут различными при подходе к ней с разных сторон (про- изводные по касательной к характеристике с обеих ее сторон опинаковы из-за непрерывности решения на характеристике).Б таком случае говорят> что на характеристике искомые функции имеют слабый разрыв.
Уточним понятие слвСого разрыва решения. Гладкая кривая Г в об- ласти определенности решения называется линией слабого разрыва, если решение непрерывно всюду его первые производные тоже непрерывны вне к ивой Г и р односторонне непрерывны на ней, но некоторые произ- водные по но мали к Г рмали к Г имеют в ее точках разрыв первого рода. Из сказанного следует, что характеристика может быть линией слабо- го разрыва решения (но может и не быть ей).
С другой стороны, если на какой-либо линии решение имеет слабый разрыв, то эта линия обяза- тельно является характеристикой, йействительно, обратимся к уравнениям (3.6)-(3.8). Пусть на некоторой линии нормальная производная какой-либо из функций и, Р или Ь терпит разрыв. Твк как производные по касательной к Г непрерывны с обеих -ве сторон, то можно считать, не уменьшая обшнооти,что терпят разрыв производные по ш . Записывая каждое из уравнений (3.6)- (3.8) дважды — в точках цри подходе к кривой Г с одной и с другой стороны, и вычитая почленно одно такое уравнение из угого, получим =0 Знак обозначает скачок значения соответствующей величины с двух сторон Г . Если и ъс(.'з — уравнение кривой Г „ то иэ неп ерывности производных вцоль Г с обеих ее сторон следует, что Исключая из выписанных соотношений скачки производных по времени, подучим (а+а — й) З.
+ с 8 =О Спедовательно, линией слабого разрыва скорости и давления могут быть только акустические характеристики, линией слабого разрыва энтропии может быть только контактная характеристика. При этом слабые разрывы скорости и давления связаны на характеристике С соотнс г ч О шанием [О.з~ - — [ и 1 . 0 а на хаРактеРистике С вЂ” соотношени- О ем [и~]+ — [)1 ) = 0. На характеристике С скорость и давление не могут иметь слабого разрыва. Вместе с давлением на акустической характеристике имеют слабый разрыв и все другие величины, зависящие от давления и энтропии : плотность, температура, скорость звука н другие.
й 6. Задачи с усповиямн на характеристиках (задача Гурса, задачи с условием на траектории; задача о поршне, задача со свободной границей) Пусть теперь два пересекающихся в точке О отрезка О(~ и ОЬ (рис.6.1) представляют собой акустические характеристики разных семейств; пусть на каждом отрезке известны значения трех искомых функций (на каждой характеристике эти значения связаны соответствуюшнм характеристическим соотношением, так что только две из трех функциИ являются независимыми). Предположим также, что распределения искомых функций на обеих характеристиках являются гладкими и что их значения в точке О совпадают. Будем искать решение в уг Рис.
6.1 21 доной области между задвнными характеристиками ОА и Оц. Поставленная таким образом задача называется задачей с характеристическими начальными данными ипп задачей Гурса (назовем ее также задачей П типа). Применим дця ее решении метод характеристик. Зля этого возьмем нв отрезках 0 А и О Ь кроме граничных точек еще ряц промежуточных точек. дпя пары точек Р и Р+, ближайших к угловой точке 0 и принадлежащих разным характеристическим отрезкам, можно применить процедуру решения элементарной задачи метода характеристик, проведя из этих точек внутрь угла межцу отрезками 0 А и ОЬ элементы характеристик разных семейств Р- Р и Р+ Р до их пересечения в точке Р, Р / Затем та же процедура применяется к парам точек Р Р и Р+ Р и т.д„пока не будет построено решение для узлов характеристическрй сетки, пежащих на характеристиках разных семейств, выходящих из точек Р и Р+ .
Левее процедура очевидным образом повторяется вновь и вновь до тех пор, пока не будет построена сетка характеристик и найдено решение в ее узловых точках в области, ограниченной заданными отрезками характеристик и характеристиками разных семейств, выходящими нз конечных точек А и Ь . В общем случае эта обпвсть представляет собой четырехуп~цьник, однако при некоторых специальных условиях онв может быть и неограниченной.
Рассмотрим еще одну задачу (назовем ее задачей Ш типа). Пусть (рис.6.2) на отрезке 0 А акустической характеристики, например первого семейства, заданы значения искомых функций (опять из них тоцько две независимы) и пусть на неизвестной заранее траектории частицы> проходящей через точку О, задана некоторая связь между искомыми функциями и, может быть, ш и 1 (кроме заданного на ней постоянного значения энтропии; последнее не требуется, если движение баротропно).
Примем также, что начальные значения функций нв отрезке ОА удовлетворяют в точке 0 наложенной на траектории 0 В связи между ними и имеют в этой точке то же значение энтропии. Требуется найти область определенности решения и найти это решение, в частности, найти форму траектории 00 . Как и в предыдущих задачах, выделим на отрезке ОА кроме концевых точек ряц промежуточных точек. По известным начальным данным проведем из точки 0 элемент траектории, в нз точки Р+ элемент характеристики второго семейства до их пересечения в точке Р .
Лпя определения двух параметров течения в этой точке (третий - энтропия- - известен) имеем два соотношения: заданную связь между этими парв- Ь Рис. 6.2 метрами (ее при фактических вычислениях можно при необходимости линеаризоввть) н соотношение вдоль х>рактернстнки второго семейства Р+Р. После определения таким образом параметров течения в точке Р решим элементарную задачу метода характеристик для пары то- 1 ! чек Р и Р+ в результате чего найдем узел характеристической сетки Р и знвчения параметров потока в нем. Повторяя вналогичную л» процедуру, найдем решение в узловых точках ~ и т.д. характеристини первого семейства, выходящей из точки Р .
Палее очевидным образом строим сетку харектеристик н находим решение в ее узловых точквх во всей области определенности решения, представляющей собой треугольник, сторонами которого является начальный отрезок характеристики ОА и отрезки выстраиваемых в процессе решения хврактеристики второго семейства А о» и траектории частицы (характеристики третьего семейства) 0В . Уквжем нв два частных случая рассмотренной задачи. Первый случай: пусть зацанная на траектории связь между искомыми функциями 6(ц., р; х, >.) = О не содержит р .Так как вдоль траектории пт — = к, то задание такой связи, очевидно, эквивалентно просто звда- Ы нию самой траектории в плоскости х, ь, а, следовательно, и значений скорости и.
вдоль нее. Эта задача возникает при нахождении движения газа> вызываемого движением поршня по заданному закону. Второй случай: пусть, наоборот, связь >>(»., р; х, 1) = О не содержит >х . Этв задаче возникнет при нахождении движения геза, вызываемого движением поршня, на котором давление изменяется заданным образом. Наиболее интересным является при этом случай, когда р = Р<х, >.>= = сомА., т.е. когда давление на поршне или в пространстве, с которым граничит газ,постоянно; в последнем случае траектории является так называемой свободной границей. Несколько более сложной связью на траектории в задвче Ш типа является дифференциальная связь в упоминавшемся ранее случае разгона поршня газом: М вЂ” = (Р Р)8 цп Еще раз подчеркнем, что изложенное описвние решения сформулиро-, ванных задач предполагаЕт существование их непрерывно дифференци- руемого решения (в звдаче Гуров треекторня, исходящая из точки пере- сечения хврвктеристик, может быть линией слабого разрыва энтропии).
Пусть участок границы области течения является пространственно- подобным. Тогда все характеристики С, С»> С исходят нз точек этого учвстка внутрь области течения (рис.6.3) и, следоввтельно> на нем должны задвветься знвчения всех трех определяемых величин, так квк парвметры течения во внутренних точках области течения в окрест- ности такого участка границы нвходятся из соотношений вдоль характе- ристик, исходящих из точек границы, Если участок грвницы обнести течения является временно-подобным', то нз него внутрь обнести течения могут исходить либо две характе- ристики - одне вкустическан, нвпример С , и энтропийнэя , С (рис, 6.4)> либо только одне акустическая характеристика (рис.6.5 ). Соотнес ственно, из области течения к границе подходит либо одна акустическая характеристика, либо еще и энтропийная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
