Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть II. Одномерные неустановившиеся движения (1163277), страница 5
Текст из файла (страница 5)
На таком участке границы могут задеваться либо два условия, связывающие искомые функции, ли- бо только одно такое условие, а пвраметры течения во внутрен- 23 Рис. 6Л Рис. 6.4 них точках области течения находятся при этом в первом случае (рис. 6.4) иэ двух соотношений вдоль характеристик, ис одипшх из точек границы, и одного — вдоль характеристики,идушей иэ области течения прп меньших т.
( иэ прошлого"), а во втором спучае ~рис.6Л) - из одного соотношения вдоль характеристики, исходяШей из точки границы, и двух - из соотношений вдоль характеристик> идущих из области течения. Подчеркнем, что характер кривой (пространственно- подобная или временно-подобная в первом или втором варианте) связан с значениями искомых функций на ней и поэтому не во всех случаях заранее определен, При постановке граничных условий полезно учитывать, что пространственно-подобная граница в 1юпоскости х, 1 соответствует, очевидно, перемешению этой границы со сверхзвуковой скоростью относительно газа, а временно-подобная - дозвуковой.
При этом сквозь пространсч венно-цодобную гранипу газ втекает внутрь области течения, а сквозь 24 Рис. 6Л временно-подобную может либо втекать (в первом из рассмотренных выше случаев), либо вытекать (во втором слуцае), в промежуточном случае, когда граница совпадает с характеристикой С (траекторией), она непроницаема для газа. Из сказанного следует,что характер граничной кривой может менять- ся в процессе движения и> соответственно с этим, может меняться чио- ло условий, которые необходимо задавать на границе для определения ре- шения.
Вернемся для иллюстрации к рассмотренному в 6 2 примеру, когда неподвижная правая граница области течения проницаема для газа, пря- чем связь меа,ду массовьпл расходом газа сквозь границу и давлением на ней определяется соотношением (2.3). Могут представиться различные случаи. Если газ вытекает из трубы с дозвуковой скоростью, то граница х=х,, очевидно, является временно-подобной с одной уодящей от нее внутрь области течения акустической характеристикой (характеристичес- кие скорости С, > О, С+ > О, С к 0). В этом случае при определе- нии течения внутри трубы на границе х = х достаточно задавать од- но условие (2.3).
Если газ втекает в трубу с дозвуковой скоростью, то граница вновь является временно-подобной, но с двумя идушими внутрь области течения о характеристиками - акустической С и энтропийной С ( С, к О, С+ > О, С-а 0). Поэтому в этом случае дополнительно к условию (2.3) иа границе нужно задавать энтропию втекаюшего газа. Если скорость втекання газа в трубу у границы х х, сверхзвуко-. вая, то гранила является пространственно-подобной ( С < О, С~ ~ О, С к О, т.е. все три характеристики направлены внутрь области течения пря б.1.
> О,' ~ на границе должны быть заданы значения всех трех параметров газа или эквивалентные этому три связи между параметрами (к примеру, если граница 'х х„представляет собой выходное сечение сопла Лаваля, через которое газ из большого резервуара втекает в тру- бу, и движение в сопле можно приближенно принять за установившееся, то должны быть заданы Окорость, давление и энтропия газа в выход- ном сечении сопла), Наконец, если газ вытекает через сечение я, щ со сверхзвуковой скоростью, то все три характеристики подходят к границе из области течения ( С, ~ О, б ~ О, С ) О) и на границе не могут быть пред; писаны заранее никакие условия.
Если сама граница области течения должна находиться при решении задачи (как это быпо, например, выше в задаче со свободной границей», то число краевых условий на такой границе должно быть на единицу большим, чем это следует из предьпушего рассмотрения. При отыскании непрерывных решений задач, в которых граничные значения функций задаются на пересекающихся отрезках кривых различных типов, должны быть выполнены некоторые условия согласования этих значений в точке пересечения кривых.
В противном случае в потоке возникнут разрывы или другие особенности. С примерами такого несогдасованного зацания краевых условий (обусдовпенного постановкой физической задачи) мы встретимся позднее. Заметим, что в ряде случаев вопрос о математической корректности постановок задач с краевыми условиями разпичных типов до настоящегф времени не решен.
й 7. Простые волны (волны Римана) Рассмотрим баротропные, в частности, изэнтропические течения с плоскими волнами. Для таких течений вдоль характеристик справедливы соотношения (4.1) при Йс = (ц»п.)й., й- Свпб(, при дя.=(и-ц) И. х- (и+а)~ = Т(ч), содержащий произвопьную функцию Я(ч) . Таким образом, в рассматриваемом течении характеристики первого семейства являются прямыми ливиями, причем вдоль каждой из них все гаэодинамические величины постоянны. функцию У можно, конечно, считать зависящей не от ъ, а от любой из вепичин р, ~, а или от скорости и,.
Интеграды Х-(и+ а~1 = ('(14 й(и.,а) -Ь,, (7.1 ) определяют в неявной форме зависимости скорости м. и скорости зву- ка а, от координаты сс. и времени 1 . Течения, описываемые этими интегралами, называются простыми волнами иди волнами Римана. Пусть один из инвариантов Римана, например й, постоянен не только вдоль каждой характеристики второго семейства, но имеет одну и ту хе. величину во асей области течения, т.е.
пусть в этой области имеется интеграл Ь 5,= сопз1 . Тогда вдоль каждой характеристики первого семейства постоянны оба инварианта Римана ч. н й, а, следовательно, постоянна и сумма и.+а, так что можно проинтегрировать и второе соотношение вдела характеристики первого семейства и получить еще один интеграл Аналогичные интегралы ч(и,а) ч,, х-(и-а)1 - р~ и.— (и д)1= ~(и~ и ~ — = сопя(., йа Рассмотрим волну Римана, такой волны ж — (и- дМ = д(и) распространяющуюся по газу вправо. Лля х- (и+ а) Е -((и). 3 = Ц.-1У-Со й(, Пусть распределение параметров в волне известно в некоторьй момент времени.
С ростом времени прямолинейные характеристики в этой волне сходятся, если в ней 8(и+ а) — с О дх и расходятся при выполнении противоположного неравенства, Преобразуя' написанное неравенство к виду фц ~д) Д~ и (н'~а1 д~ ( о н используя выражения (3.11) и (3.12) для д и О; после несложных выкладок получим Р О ч" а'р а 2з~1~ь ц Э р! Отсюда следует, что для сред, для которых ~уя~ ) О, а, следовательно, для нормальных газов и, в частности, для совершенных газов с постоянными теплоемкостями, или для баротропных процессов, в ко(ь торых — ) О, характеристики с ростом времени сходятся (рис.7,1а), описывают простые волны с прямолинейными характеристиками вто- рого семейства.
Название "волна" для описанных движений газа оправдано тем> что при таких движениях состояние с неизменными значениями параметров - скорости, давления, плотности, скорости звука - распространяется по частицам газа со своей постоянной скоростью звука, опережая частицы или отставая от них. В связи с этим простые волны, описываемые интегралами (7.1), на- зывают еще бегущими вперед, а описываемые интегралами (7.2) - бегу- щими назад, Очевидно, что область в плоскости течения х,1, занятая волной Римана, при переходе в плоскость с,.Ь вырождается в отрезок линии ч, = сап,ЯС или б сонэ( .
Таким образом, простые волны и есть те особые случаи течений, о которых говорилось в конце Ф 3, Наличие в формулах для простой волны одной произвольной функции позволяет удовлетворить одному условию, наложенному на искомые функ- ции. Йля совершенного газа с постоянными теппоемкостями волны Римана с использованием зависимых переменных и и а описываются формула- ми Рис, 7.1 если давпение в частицах возрастает при распространении по ним волны Римана (такие волны называются воинами сжатия) и расходятся (рис. 7.16), если давление в частицах уменьшается (зти волны называкпся волнами разрежения). )1ля сред, для которых ь~ «О> этот вывод меняется на противоположный. В случае, если — г- = О, т.е., если ЗУ~ ('=А-оч (модель газа Чаплыгина)> прямолинейные характеристики в волне Римана параплельны независимо от того> является пи волна Рима- на волной сжатия ици волной разрежения. Из того, что в волне, бегущей вперед, б =и-!!=сопя! следует Йь Йъ ! 4р — = — = — — так что волны сжатия ускоряют частицы в направлении «().
~Й ро- ц! ' своего распространения; в волнах разрежения, наоборот, частицы попу- чают ускорение в противоположном направлении. Очевидно> это же верно и дпя волн, бегущих назад. Если в формулах> описывающих волну Римана, например, в формупах (7.'1), считать )(и) х,-(д.+и)1,, то все характеристики первого се- мейства в такой волне образуют пучох прямых (рис.7.1в), выходящих из одной точки (х>, 1>! плоскости Х, 1 . Такая волна называется цен- трированной, 11ентрированная волна Римана представляет собой пример автомодельного решения уравнений газовой динамики, в котором иско- мые функции зависят не от двух переменных х и 1, а лишь от их комбинации х/! (в системе координат, начало которой совмещено с центром волны Римана), Несмотря на то, что волны Римана представпяют собой лишь узкий класс одномерных нестационарных движений с плоскими волнами (сооч ветствующие решения уравнений содержат лишь одну произвольную функ- цию, тогда как в общем случае решение допжно зависеть от трех таких функций), они возникают прн решении многих задач газовой динамики.
Это обьясняется, в частности, тем, что любое непрерывное течение, в котором есть прямопинейная акустическая характеристика АВ с по- стоянными эначенними т>., )!, у вдоль нее (причем ц. 1 О), является либо течением с постоянными параметрами, либо простой волной. о8 Пусть характеристика АВ принадлежит, например, первому семейству (рис.7.2).Проведем из каждой ее точки траекторию (характеристику третьего семейства) в сторону роста времениЯсно>что в обнести, покрываемой этими траекториями, энтропия В всюду одна и та же (зто следует из постоянства ее на характеристике АВ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
