Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть II. Одномерные неустановившиеся движения (1163277), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Однако, в отличие от плоских волн, 79 б) Рис. 18 интенсивность сферических волн давпения при распространении изменяется пропорпионапьно у . То же поведение имеет и связанная с давпением часть возмущений плотности. Рассмотрим волну давпения, бегущую от центра симметрии, Запишем потенциал возмущений ~(~ дпя такой волны в аиде х. ~ - — — (,'( ((.- — ') 11згц а, (18.11 ) 1(ля скорости и возмущения давпення в волне, получим Формулы а~ ~( ц~ Ъ- %,ж х х р- в,= у а.,— И (1 — — ) о о 1( ОГЗ. ао (18.12) Вычислим поток газа ~~ (х,ц через поверхность сферы х сопзг наружу 'у ~ а ~( а1 ('((( а~) О О о н найдем предельное значение этого выражения при х.
— О Ь ~м М=ЯЮ. х 0 Отсюда следует, что возмущения, описываемые потенциапом (18.11), можно рассматривать как результат действия в центре симметрии = О источника (стока) с объемным расходом ИЮ . Согпасно выражению (18,11), возмущения от действия такого источника приходят в точку с координатой х. с опозданием относительно момента их возникновения в центре симметрии на время х.)а,, которое требуется возмущению дпя его распространения от центра симметрии по данной точки со скоростью звука О,. В связи с этим потенциап возмущений вила (18.11 ) называется запаздываюшим потенпиапом.
Этот потенциал явпяется обобщением потенцнапа источника в несжимаемой жидкости 80 и переходит в него в предепьном случае бесконечной скорости распространения возмущений О.,= оо Согпасно формулам (18.12) изменение давдения в волне при некото ром значении х повторяет с соответствующей задержкой н уменьшением интенсивности изменение по времени производной от мощности источника. Закон изменения скорости в данной точке прн прохождении волны существенно меняется с увеличением расстояния х.
При малых х изменение скорости с соответствующим с.двнгом по времени и уменьшением интенсивности повторяет изменение по времени мощности источника, прн больших же х изменение скорости становится все более близким к изменению производной от мощности источника. Пусть волна имеет конечную ширину, так что функция И('-) в выражении (18.11) для потенциала возмущений отлична от нуля только при О ~ Ф(т. При условии, что после прохождения водны газ вновь приходит в первоначальное невоэмушенное состояние, допжно быть: Й(о)=(((01=0, Я(т)-ИЮ-О.
Поскольку о ! то знак производной (1 ((.) обязан меняться в ннтервапе О ~ 1 с 'С; со- гласно второй формуле (18.12) это означает,что в волне обязательно ме- няется знак возмущения давления и связанной с ним часги возмущения плотности. Таким образом, в отличие от плоских волн, в сферических волнах конечной ширины обязатепьно присутствуют эоны ц повышенного и пониженного давления. (Известно, что прн действии взрывной воины оконные стекла часто вылетают наружу — зто результат наличия обдас- тн пониженного давления в волне). Если в бегущей волне конечной ширины возмушенне давпення сохра.— т Ф ьяет знак (нпн - в более общем случае - если ( ЦЯН = Я (т~ Ф. О '), о' то газ после прохождения волны не придет в состояние покоя, а будет двигаться стационарно с распредепенкем скорости Ясй и= —,, 1л х.~ соответствующем источнику в несжимаемой жидкости.
При этом в бегу- щей воине давдения происходит нестационарный переход от области по- коящегося газа к расширяющейся со скоростью О., обпасти установив- шегося течения от источника, Тс, что в этой области в принятом при- ближении давление и плотность имеют невозмушенные значения, легко обьяснить. В самом депе, .в стационарном потоке (см. ч. 1) скорость связана с давлением интегралом Бернулли ~ — ~,-- 7 9, согпасно:.оторому при малой ведичине возмущения давдення оно имеет порядок квадрата скорости и, следовательно, не учитывается рассматривае- мой линейной теорией.
Сравнение результатов нелинейной теории ддя распространения слабых ударных волн, изложенной в 6 '1 и й 15, с результатами дннейной теории 81 обнаруживает непригодность последней для описания поведения возмущений на значительном уделении от места их возникновения (точнее — от границы области, на которой эадены начально-краевые условия). Так, в 6 11 в задаче о поведении слабых возмущений при вдвигвнни поршня в облвсть, эвнятую гвэом, с последующим возврвщением поршня в первоначальное положение, бегущее пс газу возмущение представляет собой расширяющуюся и ослабвдлюшую со временем волну, состоящую иэ простой волны разрежения н ограничиваюших ее с обеих сторон ударных волн.
Согласно же линейной теории в той же задаче возмущение от поршня респростреняется сколь угодно двлеко в виде незатухающей бегущей волны неизменной формы. В соответствии с нелинейной теорией и бегущих непрерывных волнах при нх респространении могут возникнуть разрывы с меняющейся во времени интенсивностью. По линейной теории разрывы могут образоваться лишь вследствие их неличия в нвчельно-краевых условиях, причем в случае плоских волн нх интенсивность в процессе рвспространения не изменяется. Однвко, на небольших удалениях от места возникновения слабых возмущений линейнея теория вполне удовлетворительно описывает нх распространение.
Упомянутые выше недостатки линейной теории связаны прежде всего с тем, что в этой теории все возмущения респространяются с одинаковой скоростью с., независимо от нх амплитуды. Это исключает воэможность градиентной катастрофы и, следовательно, возможность образования рвзрывов - явления, столь важного в нелинейной теории а также нсключвет взаимодействие простых волн и ударных волн, бегущих в одном направлении.
Линеаризвпня же уравнений исключает вообще взаимодействие волн, в том числе и бегущих в резных напревлениях, Л нтература 1. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гндромеханика. - Мгл Гостехиздат, 1948, т. П. 2. Курант Р., Фрндрнкс К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. - М.: Изд-во иностр. лнт., 1050. 3. Ландау Л.Л., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. - Мд Гоотехнздат, 1954, 4. Мизес Р.
Математическая теория течений сжимаемой жидкости. — М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 5. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. - М.: Наука, 1081. 6. Рождественский БЛ., Яненко Н.Н, Системы квазилннейных уравнений н их прнложения к газовой динамике. - М.: Наука, 1978. 7. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1076, т. 1 н П. 8. Седов Л.И. Методы подобия н размерности в механике. - Мл Наука, 1981. 9. Станюкович К.П. Неустановнвшнеся движения сплошной среды. — Мл Гостехнздат, 1955. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
