Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть II. Одномерные неустановившиеся движения (1163277), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Возможность использования газа за проходящей и, особенно, за отраженной ударной волной для изучения различных физико-химических процессов в газах прн высокой температуре превратила ударные трубы в одни нз основных ин- струментов для таких исследований. Область покоящегося газа за отраженной волной с высокой темпс ратурой н с высоким давлением может использоваться в качестве ре- зервуара, из которого через сопло Лаваля газ истекает в предваритель- но вакуумированную емкость, сохраняя в течение некоторого времени стационарные значения параметров.
Такова схема действия некоторых аэродинамических труб кратковременного действия (рис.14.2), Эта же область с высокими температурой и давлением может исполь- зоваться в качестве резервуара, из которого гаэ истекает в тонкуЮ тру- бу с помешенным в нее поршнем, разгоняя его до большой скорости. Та- кова схема некоторых установок для метания тел (рис.14.3).
Конечно, реальные ударные трубы для аэродинамических и физико-хи- мических экспериментов и реальные метательные установки устроены намного сложнее описанных выше схем, Высокое давление в камере ударной трубы может достигаться при по- даче в нее газа иэ баллона нли от компрессора или это высокое данае нне может создаваться в камере, если заполнить ее горючей смесью га- зов с низким давлением, а затем смесь поджечь. После сгорания смеси при постоянном обьеме камеры давление в ней сильно повышается.
Задача теории ударных труб очень близка к той, которую называют задачей о взрыве. Разница состоит в том, что в задаче о взрыве обычно предполагается, что гаэ высокого давления образуется в результате быст- рого сгорания конденсированного (твердого или жидкого) взрывчатого ве- шества, т.е. имеет очень высокую (для газа) плотность, а также в том, что в задаче о взрыве очень важно изучение движений не только с плос- кими, но и со сферическими и цилиндрическими волнами. При взрывах раз- вивается весьма высокое давление (для типичных взрывчатых вешеств оно достигает сотен тысяч атмосфер), причем, в отличие от теории удар- 63 ных труб, основной теоретический интерес представпяет определение ин- тенсивности ударной волны от взрыва не только на начальной стадии ее распространения, но, и притом даже в большей степени, на стадии взаи- модействии волны с догоняющими ее возмушениями вплоть до расстояний, очень больших по сравнению с первоначальным объемом взрывчазого ва- шества и даже по сравнению с областью, занятой расширившимися продук- тами взрыва.
(Лля типичных взрывчатых веществ объем расширившихся до атмосферного давления продуктов взрыва превышает первоначальный объем взрывчатого вещества в 800-1000 раз, т.е. в случае сферического взрыва радиус объема продуктов взрыва всего примерно в 1О раз боль- ше начального радиуса.) Расчет движения газов после взрыва в конкрет- ных случаях можно произвести с помощью уже описанных ранее решений задач о взаимодействии ударной волны н контактного разрыва с подхо- дящими к ним сзади возмущениями, В следуюших параграфах будут установлены некоторые обшие законо- мерности поведения ослабляюшихся ударных волн в двух различных пре- дельных случаях.
й 15. Асимптотическое поведение затухающих ударных волн В е 11 было описано поведение слабой ударной волны, вызванной движением плоского поршня> после того, как воздействие этого движения на волну прекратилось (поршень остановился). Интенсивность волны при этом с течением времени убывает так, что при 1 ее превышение скорости волны над скоростью звука в газе перед ней стремится к нулю как 1/Я.
И в некоторых других задачах газовой динамики возникает вопрос о том, как ведут себя ударные волны после того, как вызвавшие их образование причины (взрыв, расширение поршня и т.п.) перестали действовать. Оказывается, что на больших расстояниях от источника, их вызвавшего (или, что то же самое, по истечении достаточно большого времени после прекращения действия источника образования волны), все плоские ударные волны при достаточно общих предположениях затухают по одному и тому же закону и нх асимптотическое поведение определяется одной константой, которая только и характеризует всю предысторию образования и распространения волны.
Аналогичные обшие законы асимптотического поведения справедливы и при затухании шсливдрическнх или сферических ударных волн. Будем рассматривать (рис.15.1) движение в области х,~ х < х Т ~ О, где т,, — некоторое начальное значение координаты волны, х, — ее текушее значение, Волну на этой стадии ее распространения будем считать слабой (в смысле определения, данного в е 8), а движение в рассматриваемой обпасти — непрерывным.
Тогда всюду в этой области я сааб(., т.е. течение является изэнтропическим, а параметры течения непосредственно за волной связаны теми же соотношениями, что и в бегушей вперед волне Римана. Предположим, что эта связь с той же точностью справедлива во всей области движения, т.е. в этой области всюду (15,1) 66 Рис. 15,1 М (.1-1) — — = 0 ая. дХ и+ш х или Ы ди.
т-( 0х дя ф ~-( ~~ш — + + — + — + — — =0 и. а 2 Х 'о- ~ 2 х. Следовательно ~ь-1 х ~ЫХ = с«- (15.3 ) где ОС - величина, постоянная вдоль характеристики С Проинтегрируем второе соотношение (15.2) вдоль характеристики от Х= Х АО фРОнта ВОЛНЫ Х= Хе (Рнс 15,1): ( 1. ( «~+.~ з о,) ~~.~д счнтея координаты точек волны функциями параметра Ос., продифференцируем это соотношение по о«. В результате, принимая во внн~~х. мание, что — =- — — ( й - скорость волны) получим дс«Я ОО« 1 зз Э ( — — — ) — '=1( ° 1 — — д .
и+аз <(ч« ' ~3«и+а хе (15.4 ) Используем результаты 6 9 для слабых ударных волн. Из формул (9.12), (9.13) и (9.10) при и., = О, беря верхний знак для волны, распространяюшейся вправо, найдем Тогда соотношение (3.10) вдоль характеристики С дл.~ — + (т'- () — й.
= 0 4Р пн. дх уа, х при — = и+ а (15.2) Й. интегрируется в конечном виде. действительно, пользунсь (15.1), получаем из него при Р = 2 "-~о х=К— кк ~~ ка р„ %,Л Здесь (~ 2 — —" — для совершенного газа К = 1~~ п т 1+1 ко о Рчт цри Ц 3 Ф 16, Сильный взрыв М- б.У~хо Е б'(Р1ко 9 где бд = 1, К, — К цля 9 = 1,2,3 соответственно, Ц Таким образом, искомые функции ц., р, р при О < як ьч и (, > О в зависимости от т.,(. размерных параметрош должны определяться и следующих постоянных (~„~,е И, Е, т.е.
Эти размерные параметры позволяют образовать масштабы для измерения всех искомых функций, расстояния х и времени Будем интересоваться той фазой движения, когда размер возмущенной области за ударной волной много больше х, и много больше расстояния, на которое переместится хонтактный разрыв, отделяющий продукты взрыва от газа, т.е. будем изучать асимптотику движения, когда вели чиной к, можно пренебречь по сравнению с размером возмущенной области. Это значит, что можно не включать величину х,, а вместе с ней и М, в число определяющих параметров. Величина Е должна быть сохранена, так как именно ею определяется возникающее движение: для типичных взрывчатых веществ энергия, остающаяся в продуктах взрыва после их расширения, пренебрежимо мала сравнительно с энергией, переданной в окружающую среду. Из физической постановки задачи следует, что при высокой концентрации энергии в продуктах взрыва (очень большие начальные значения Покажем, как в задаче о взрыве можно, при довольно широких предположениях о начальных значениях параметров среды, установить важные общие свойства возникающих движений, Будем рассматривать движения с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами.
Пусть покоящийся вначале газ имеет давление С, и плотность о . эо Состояние продуктов взрыва в начальный момент времени будем характеризовать размером занятой ими области х, ( т, есть полутолшина плоского слоя, рациус цилиндра или сферы, занятых вначале продуктами взрыва)> их общей массой М и общей энергией Е . В случае плоских или цилиндрических волн М и Е отнесены к единице плошади или единице длины области, занятой продуктами взрыва. При равномерных начальных распределениях параметров в продуктах взрыва и модели совершенного газа дця них параметры М и Е связаны с начальными значениями давления н плотности продуктов взрыва очевидными формулами: для совершенного газа с постоянными теплоемкостями еще один безразмерный параметр Подчерянем еще раз, что характеризуемое этими параметрами движение представляет собой тах называемую промежуточную асимптотику движения, зависящего от всей исходной системы параметров.
Эта асимптотика пригодна тогда, когда выполнены два условия: размер области движения уже достаточно велик для того, чтобы можно было пренебречь в системе определяющих параметров величиной х а, но еще не настолько велик, чтобы стал необходимым учет в этой системе величины ~,, Эти два условия противоречивы и при реельных взрывах большинства взрывчатых веществ не выполняются одновременно ни для какого интервала времени.
Однако, при очень высокой объемной концентрации энергии, достигаемой при взрывах ядерных зарядов или при фокусирова.» нии в малом объеме энергии импульсного излучения достаточно мощных лазеров, оба эти условия выполняются одновременно на значительном интервале времени. В сформулированной постановке задача о взрыве получила название задачи о сильном взрыве, В задаче о сильном взрыве постоянные размерные определяющие параметры Е и О ц не позволяют ввести масштабы длины и времени.
Единственной безразмерной независимой переменной является в этом случае величина з (Е ) ° ~ —,,1 уе (16.1 ) а искомые величины определяются формулами.' с, — 0И1, (~= о( — ~ РШ, р= оК(~~. ъ ~ о Безразмерные функции Ц, Р, К должны находиться путем решения соответствующей краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая получеется из уравнений в частных производных одномерных нестационарных движений после перехода в них к переменным (16.1) и (16.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
