Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть II. Одномерные неустановившиеся движения (1163277), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Обе волны на участке взаимодействия имеют параболическую форму с аснмптотическим направлением х = о. л; протяженность волны Римана, ограни- $/ ченной ударными волнами, растет как 1 ~. Интенсивность обеих волн уменьшается с течением времени. Действительно, из выражений (11.9) и (11.10) следует,что скорость первой волны пд газу перед ней уменьшается, стремясь к скорости звука ал квк —, ', скорость же второй 7~с" Ф волны относительно газа за ней (этот газ имеет то же состояние, что и гаэ перед первой волной) увеличивается, а, следовательно, относитепьно газа перед ней — уменьшается и тоже стремится к скорости звука а, как — . Давление в первой (головной) ударной волне скачком воз- /Г растает, в волне Римана оно непрерывно уменьшается н становится ниже давпения р, в невозмущенном газе; затем во второй (хвостовой) ударной волне давление скачком вновь возрастает до величины р,.
Это распределение давления показано на рис,11.4. В связи с таким поведением давления совокупность затухающих головной и хвостовой ударных волн с волной Римана между ними называют (ч - водной. Часть волны Римана влево от характеристики х ал1 не взаимодействует с первой ударной водной, поэтому поведение первой ударной волны одинаково при любом и~ е 0 (при ае 0 интенсивность второй ударной волны обращается в ноль,). При 0 к а к и~ задний фронт волны Римана, 60 образующейся при изменении скорости поршня в точке О, взаимодействует с ударной волной (11.9) конечное время, после чего интенсивность ударной волны будет сохраняться неизменной, пока ее не догонит фронт волны Римана, идущей от точки второго изменения скорости поршня,после чего вновь начнется ослабление ударной волны, Совершенно аналогично предыдущему можно решить задачу об ослаблении или об усилении удар-.
ной волны в случае, когда волна Римана за волной нлп перед ней не является центрлрованной, но газ с одной из сторон ударной волны покоится.В этом случае вместо связи (11.7) между М, Х. и ь будем пметь Х и, = сц. + а> ~ + ~ Си.1 Рис. 11.4 с ) (М Ф О. Это соотношение вместе с уравнением (11.6) дает в параметрическом виде (с параметром и. ) дифференциалыюе уравнение для определения формы ударной волны. Естественно, что предыдущие выводы справедливы лишь в рамках приближений теории слабых волн. В более точной теории при взаимодействии простых волн с ударными волнами образуются отраженные волны и возникают возмущения энтропии.
Этн эффекты для волн небольшой интенсивности имеют порядок (р — р ) 3 Рассмотрим теперь задачу о движении газа при наличии контактного разрыва. Пусть контактный разрыв разделяет области однородного состояния различных газов или одного и того же газа, но имеющего в обеих областях разную плотность и температуру (давления с обеих сторон контактного разрыва одинаковы). Для простоты допустим, что газ вначале неподвижен (рис.11.5). Пусть к контактной поверхности подходит, например слева, бегущая волна и, начиная с точки А 1 взаимодействует с ней.
От точки А по правому газу вдоль известной прямолинейной характеристики АЬ будет распространяться фронт возмущений, к которому слева примыкает бегущая волна (проходящая или преломленная волна). Влево по газу передний фронт отраженной волны будет распространяться вдоль извест- Рис. 11.5 51 ной характеристики второго семейства АС. Требуется определить движение газа в угловой области между характеристиками АВ и АС и найти> в частности, траекторию контактного разрыва. Отметим, что для правого газа контактный разрыв служит поршнем, движение которого, однако, заранее неизвестно и определяется при решении задачи.
Движение в правом газе является волной Римана с интегралом Ь = а — ч> ивй~дающим связь между давлением и скоростью (11.11 ) а- п,(р1 = -'п,(р,1. Здесь индексом 1 обозначена функция и(р'1 для правого газа. Так как на контактном разрыве скорость и давление газа с обеих сторон одинаковы, то эта же связь должна выполняться на контактном разрыве для правого газа. Таким образом, для левого газа нужно решить задачу Ш типа в области между акустической характеристикой (второго семейства) и траекторией частицы, на которой задано условие (11.11) между искомыми функииямн.
Решение этой задачи было приведено ранее в й б. Если подходящая к разрыву волна Римана переходит сзади в зону однородного течения, то характеристика второго семейства за точкой С будет прямолинейной и, следовательно, к ней будет примы:- кать волна Римана, бегущая по газу влево (отраженная волна). Контактный разрыв за точкой >>1 будет в этом случае двигаться с постоянной скоростью, отделяя две области однородного состояния газа за проходящей и отраженной бегущими волнами. Ладим качественный анализ поведения проходящей и отраженной волн.
))ля этого установим связь между изменением параметра Римана ч. в падающей волне и изменением параметра Римана Ь в отраженной волне и параметра к — в проходящей волне. Согласно определению (3,15) в левом газе к+ Ь ч.— Ь Н = — > ~~(р1 = —, р так что условие (11.11) на контактном разрыве можно записать в виде связи между параметрами Римана " ' —,~»( — '')1 =-,<>,>. Здесь Р(ч>> - функция, обратная и ()11. дифференцируя это соотноше- ние вдоль контактной поверхности, найдем ()л.
э 1 ь — — ', ( с(1. — (( ь ) = О Ч~ (1>) д'(р) откуда, используя определение (3,12) функции ч((>'> получаем локаль- ную связь между изменением параметра ь в отраженной волне и изме- нением параметра ® в падающей волне да — (дп )( ((ь = 'Аь. (>а+ (уа~, Так как коэффициент при (1.ч. по модулю не превосходит единицу, то интенсивность отраженных возмущений меньше интенсивности падающих и лишь при ()>а') ( = О или ((>а)( = о равна ей.
Величина (> а называется импедансом среды и характеризует ее "жесткость". д.к Если в падающей волне происходит разрежение ( — < О вдоль ли- аФ. нии контакта), то оно отражается вновь как разрежение ( > О) Йь ЕТ 52 от более жесткой среды и меняет свой характер, т,е. отражается как Йь сжатие ( — < О) — от более мягкой среды, Анапогичный вывод справедлив для волн сжатия, Йля совершенных газов импеданс уа = оц— р-, 9 ъ поэтому в силу равенства давлений с обеих сторон контактного разрыва при одинаковых ~ у обоих газов вместо более жесткой или более мягкой среды можно говорить о более плотной или менее плотной среде.
Так как на контактном разрыве скорость и, с обеих сторон одинакова, то ч+ ь ~,+ь ц, — 5 (индексом 1 отмечены параметры Римана в правом газе). Отсюда 2 Еи. = 1ъ л- д,ь = Ы, ( ь ~ = сопй в проходящей волне). Следовательно у,оц. Ыи= 6л,= оа+ (рз,'), д.ч.. (11.12) Поскольку ~Ь,, и Ы имеют одинаковые знаки, то проходящая волна всегда имеет тот же характер, что и падающая. Одинаковые зраки у 1ц и Й, показывают, что при падении волны разрежения (д~ < О) контактный разрыв получает ускорение навстречу волне, при падении волны сжатяя — в направления распространения волны.
Отражению от твердой (неподвижной) границы соответствует бесконечная вепнчина импеданса (~>о.1~ = "', так что с ь = -дч., т.е. характер- волны и ее амплитуда при отражении не изменяются. Отражению от свободной поверхности (~ = (1, = зюь)- соответствует нулевое значение импе- данса (~а.), = О, так что с1ь = Ы~, т.е. амплитуда волны сохраняется, а характер ее изменяется на противопопожный1 при этом изменение скорости контактного разрыва вдвое превосходит изменение скорости в "-+ ьо падающей волне (и= — ~ так что Так как коэффициент при зч.
в соотношении (11.12) изменяется от нуля при (ус.~) = со до двух при (~а.') ~ = О, то интенсивность проходящей волны в более мягкой среде может превосходить интенсивность падающей волны до двух раз. Лпя волн конечной амплитуды знак разности . ра — <уа~~ может измениться при следовании вдоль пинии контакта в плоскости х., 1: среда, бывшая первоначально более жесткой> станет более мягкой и наоборот. р1 Для совершенного газа да = (ра1,(р/Я1~так что при одинаковых у контактирующих газов знак разности импедансов на поверхности контакта измениться не может.
(Нетрудно показать, что в общем случае при одном и том же газе с двух сторон разрыва достаточным условием сохранения знака разности импедансов является необрашение в йф нуль в рассматриваемом диапазоне значений давления производной — ~ — ) ача Как н в других уже рассматривавшихся спучаях, если подходящая к поверхности контакта волна есть непрерывная волна сжатия, то в проходящей волне и в отраженной волне, если она тоже является волной сжатия, обязательно возникнут ударные волны. 6 12. Распад произвольного разрыва В некоторых из рассмотренных ранее задач в непрерывном червоначально потоке возникали и продолжали в дальнейшем существовать разрывы.
В других задачах разрывы имелись в распределении параметров газа, задаваемых начально-~сраевыми условиями, и приводили к образованию разрывов и центрированных волн разрежения в потоке с самого начала движения. В связи с этим в газовой динамике важней является задача о .движениях, возникающих при разрывах в начально-краевых условиях. Рассмотрим простейшую из этих задач.
Пусть в момент времени (. = О при х( О находится однородный газ с параметрами 11,, )~,, р, а при х ~ О - газ с параметрами 1А,, ()~, у~, Газы могут быть различными по термодинамическим свойствам, а значения их параметров вполне произвольны. Требуется определить движение газа, возникающее при 1 > О, Сформулированная таким образом задача Коши называется задачей с начальным разрывом или задачей о распаде произвольного разрыва. Последнее название связано с тем, что как показано ниже, начальный разрыв приводит к движению с несколькими распространяющимися по газу в разные стороны волнами — один разрыв "распадается" на несколько сильных и слабых разрывов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
