Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть II. Одномерные неустановившиеся движения (1163277), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Проведем далее в ту же сторону от АВ характерйстики второго семейства.На каждой такой характеристике Ь = Ь, = Сопэ(., причем эта константа, очевидно, одна и та же для всех характеристик второго семейства, выходящих из точек характеристики АВ . Таким образом, в области изэнтропического течения АВС имеется интеграл Я = ~3 ° ф = соп.б1 и, следовательно, течение в этой области есть волна Римана (или движение с постоянными параметрами). Таким образом, если,к примеру, покоящийся однородный гаэ приходит непрерывным образом в движение с плоскими волнами, то Рис. 7.2 при этом неизбежно возникает волна Римана. В волне Римана параметры газа сохраняются неизменными вдоль характеристик, распространяющихся в пространстве с постоянной скоростью, зависящей от состояния газа.
Следовательно, распределения параметров газа по координате х в волне Римана меняются при ее распространении. Проследим за этим изменением на примере волн, расдространяющихся вправо. Сначала рассмотрим волну разрежения, в которой первоначальный профиль избыточного давления изображен на рис.7.3а. а~~ С течением времени (при > ) 0) крутизна фронта водны умень- ЭЧ ~к шается, волна становится более растянутой. Напротив> если рассмотреть волну сжатия (рис.7.3б) то, как бьщо показано ранее, прямолинейные характеристики в такой волне сближаются, крутизна фронта волны соответственно нарастает, возрастают по абсопютной величине градиенты всех газодинамических величин.
Так как в волне сжатия прямолинейные хаоактеристики пересекаются, начиная с некоторого конечного времени 20 Рис. 7.3 то при приближении к этому моменту времени производные от газодинамических величин Ъ,~, р и т.д. неограниченно возрастают и в момент пересечения характеристик обращаются в бесконечность. Это явление неограниченного роста абсолютной величины производных образно называют градиентной катастрофой. Начиная с момента времени однозначное непрерывное решение не существует. Пример с простой волной сжатия показывает, что даже при сколь угодно гладких распределениях функций, входящих в начальные или краевые условия описанных выше типичных задач 1-Ш, их решение может не существовать не только в классе гладких функций, но и в классе непрерывных функций.
Рассмотрим следующее начальное распределение параметров газа. Справа и слева от отрезка АВ состояния газа однородны и в общем случае различны (рис.7.4). На отрезке АВ эти два состояния непрерывно переходят одно в другое. Изучим качественно возникающее движение сначала для случая изэнтропического движения (начальные значения энтропии должны бъпь при этом всюду одинаковы).
Решая задачу Коши с начальными данными на отрезке АВ, найдем решение в треугольной области АВС (предполагается, что непрерывное решение существует во всей этой области). Так как состояние газа при х» х однородно, то характеристика ВВ первого семейства прямолинейна и, следовательно, решение задачи Гурса с известными теперь дан- 30 ными на характеристиках ВС и ВВ представляет собой волну Римана, распространяющуюся по газу вправо. Аналогичным образом в области между характеристиками АС и АА возникает волна Римана, распространяющаяся по газу влево. В угловой области между двумя прямолинейными характеристиками, выходящими из точки С, характеристики обоих семейств прямолинейны, так что состояние газа в этой области однородно.
Если в обеих волнах Римана характеристики расходятся, то найденное решение справедливо при всех ~, если же хоть в одной из д В Рис. 7.4 воин характеристики сходятся, то непрерывное решение существует лишь до момента пересечения характеристик. Таким образом при выполнении определенных условий описанная начальная локальная неоднородность приводит к образованию двух волн Римана, бегущих по газу в обе стороны, с областью однородного течения между ними. Если начальные значения энтропии на участке АВ переменны, то Н волны Римана будут только в областях правее траектории 53 и денев траектории АА, так как в каждой из этих областей. значения энтропии постоянны (при условии непрерывности течения), В области между этими траекториями течение не будет изэнтропическим и, следовательно, не будет волной Римана или течением с постоянными параметрамя Однако, и в тех случаях, когда при развитии возмущений течение перестает быть непрерывным и образуются перемешающиеся по газу и в пространстве разрывы, качественно вывод о возникновении двух волн, бегущих по газу в разные стороны, остается в силе.
Ф 1 8, Задача о поршне. Истечение газа в вакуум Рассмотрим задачу о поршне, которая формулируется следующим образом. В начальный момент времени 1 О газ занимает область х~ О справа от подвижной гранины — поршня. Заданы распределения параметров газа при 1 = О и задан закон движения поршня х- Х(О при 1.) О.
Требуется определичь движение газа при 1 ) О. Ограничимся пока случаем, когда в начальном состоянии газ однороден и неподвижен, скорость поршня в начальный момент равна нулю Х~О) - О и ХО ~ О, т,е. скорость поршня во время его выдвигания влево растет по величине. 31 Рис. 8.1 Обратимся к рис.8.1. На этом рисунке область 1, ограниченная слева характеристикой ОА, есть область покоящегося однородного газа и характеристика эта, следовательно, прямолинейна.
Действительно, параметры газа в каждой точке области 1 определяются значениями инвариантов Римана на характеристиках> приходящих в точку из области ее зависимости на оси ш; значения же этих инвариантов одинаковы во всех точках оси х. Задача, которую нужно решить для определения течения в области П межцу характеристикой ОА — передним фронтом возмущений от начавшего двигаться поршня — и траекторией поршня 0В, совпадающей с траекторией частицы в силу требуемого краевого условия и (Х, 1.1 = Х (1'), есть частный пример задачи Ш типа, рассматривавшейся ранее.
Так как область П граничит с областью однородного состоянии газа, то течение в этой области представляет собой волну Римана ц. — о(а1 =- п(а. 1 х — (и+ а)(.= 1(и~. р Ъ (8,1 ) Константа в правой части первого соотношении определилась из условия непрерывности значений 'о и ц. на характеристике ОА, вид функции ( ('Ю определяется по известному закону движения поршня ос Х((). действительно, представим этот закон движения в параметрической форме, взяв в качестве параметра скорость поршня ц,„= ХИ.
Подставив после этого параметрические выражения для х и (, во второе сооч ношение (8.1), получим ~(ц~ = дс„(ц.) - ((и а(ц.~~ 1„(ц.1. с(ц.„ Так как по условию — и ( О и в волне Римана д.ц.— — = О, то Н. уа ° возникающая волна есть волна разрежения и,согласно доказанному в пра 0 дыдущем' параграфе при -А ) О характеристики образуют расходящий- 3Ч ся пучок, При адиабатическнх движениях нормального газа функция '0' монотонно убывает при уменьшении давления или плотности и обращается в нуль вместе с ними; при этом обрацается в нуль н скорость звука. Лля таких движений н при других баротропных процессах, обладщощих этими свой- 32 ствами удовлетворить условию и.=и.„(() при х-ХИ) можно только, если ~и.„(01 не превосходит некоторого предельного значения при котором давление и плотность газа у поршня обращаются в нуль.
Если после того, как дввление н плотность газа у поршня обратятся в нуль, (точка В на рис.8.2), скорость поршня продолжвет возрастеть> условие на траектории гранячной частицы газа, требующее совпадения ско- рости этой частицы со скоростью поршня, следует заменить условием равенства нулю давления )> = О на грвничной траектории. (Здесь мы встречаемся со случвем, когда заданное первонечально условие на гра- нице области движения газа оказыввется, начиная с некоторого момента времени, невыполнимым и требует звмены его другим).
форма траекто- рии прн этом должна определиться из решения. В рассматриваемом слу- чае эта граничная траектория частицы совпвдает с прямолинейной акус- тической характеристикой первого семейства, т.к, на последней и. О. Между траекторией поршня х ХЯ и передним фронтом движущегося гв.— за образуется зона> где давление равно нулю и газа нет, т.е. зона ва- куума (нв рис.8.2 заштрихована), Величина скорости в волне Римана, определяемая первой формулой (8.1) при '0(п-) = О, называется максимальной скоростью нестационар- ного расширения газа или скоростью нестационврного истечения газа в векуум. Величина максимальной скорости и само ее существование зависят от видв связи между дввлением и плотностью при истечении газа.
Рис. 8.2 Лля адиабатических движений совершенного гвзв с постоянными теп2а лоемкостями М = —. Поэтому это предельное значение скорости 1 — 1 определится формулой 2о'о ВОЗ> т-1 (8.2) При изотермическом расширении совершенного газа, как следует из вндв функции о(у) (формула (8.18)), предельной скорости нет. Способность газа приобретать при изотермическом расширении сколь угодно большую скорость связана с тем, что при этом к газу извне должна подводиться энергия в виде тепла.
Ранее при изучении установившихся квазиопномерных течений мы уже сталкивались с понятием максимальной скорости адиабатического ЗЗ истечения газа, которая может достигаться в сопле Лава>и при неограниченном его расширении, В этих условиях максимальная скорость для совершенного газа с постоянными теплоемкостями дается формулой где а, есть скорость звука в покоящемся газе в резервуаре, откуда происходит истечение. Как видим, максимальная скорость расширения газа в вакуум из одного и того же состояния покоя зависит от условий истечения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
