Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть II. Одномерные неустановившиеся движения (1163277), страница 2
Текст из файла (страница 2)
11ля непрерывных движений функция Ьс > сохраняет свой вид во все время движения и должна быть задана дополнительными условиями. Особенно простым становится уравнение (1.8) при Р 1 для изэнтропических движений (т.е. при условии Ьсп~> = совами ] совершенного газа с постоянными теплоемкостями.
В этом случае и уравнение (1.8') приобретает вид (1.9) Аналогично плоскости течения щ, 1 при эйлеровом подходе, при лагранжевом представлении можно ввести плоскость течения Траекториями частиц в этой плоскости будут прямые Ь Сопя~. 6 2. Начальные условия и внешние граничные условия Лля решения задач об одномерных или квазиодномерных неустаиовившихся движениях газа необходимо кроме уравнений (1.1) ((1.16)5 — (1.5) сформулировать в математической форме дополнительные усповия, которым должны в соответствии с физической постановкой задачи удовлетворять параметры газа в данном конкретном движении. Эти усповия могут быть весьма разнообразными. Как правило, при рассмотрении нестационарных движений задают начальные значения параметров газа во всей занятой им областй> т.е. !.
задают значения трех параметров газа на отрезке оси х, являющемся частью границы области движения в плоскости х,1 и(х,О) -и,(х), р(х,О) - р,(х), у (х,б) или другие, эквивалентные этим, условия. Начапьные распределения газодинамических величин могут не быть гпадкими, могут иметь разрывы и могут обладать другими более снежными особенностями. Если область, занятая движущимся газом, ограничена по координате щ с одной стороны или с обеих сторон, то кроме начапьных условий нужно задавать и условия, который должны удовлетворять параметры газа на границах - граничные или краевые условия. При интерпретации одномерных движений, как движений в трубках, неподвижную границу х. = сопвГ.
часто называют стенкой, а подвижную границу Х . х.„(1) — поршнем. Если граница соприкасается с газом и непроницаема для него, то скорость границы и скорость соприкасающегося с ней газа должны быть 8 одинаковы, т,е, на поршне должно быть выполнено краевое условие (2,1 ) и( ) при (точкой вверху обозначено дифференцирование по времени $ ). В частности, на непроницаемой стенке х„= сопз1 скорость газа должна равняться нулю и.= 0 при Х-х е сопЗ(.. (2.2) и В некоторых задачах на поршне задается давление газа р= р„(1), а скорость перемещения поршня ш ((.1 и, следовательно, равная ей п скорость газа, прилегающего к поршню, определяются при решении задачи.
Таким образом, на части границы области движения в плоскости х,(., соответствуюшей непроницаемым стенке или поршню, задается одно граничное условие. В случае, если газ может протекать сквозь неподвижную нли подвижную границу, вопрос о числе требуемых краевых условий на такой границе ннтуитивно не так ясен. Рассмотрим пример. Пусть газ может вытекать наружу из занятой им области в трубе сквозь проницаемую правую границу трубы х= т,, и пусть массовый расход газа рц, сквозь гранииу есть некоторая, например, линейная функция разности давлений р- (» по обе стороны границы, причем - наружное давление — задано.
Граничное условие ггэ рц=~(р-р~ прн х=х, (2Л) связывает на границе значения трех искомых функций и,, р, р . Если это условие остается справедливым и при р . р , когда гаэ втекает снаружи в трубу, то физическая интуиция подсказывает, что одного это- го условия недостаточно и дополнительно на границе нужно задавать эн- тропию втекаюшего газа, Однако, как будет показано далее (й 6), в некоторых случаях выте- кания газа сквозь границу даже одно условие может оказаться излишним, а при втеканин - и два условия могут быть недостаточными н нужны три граничных условия, подобно тому, как это необходимо при задании началь- ных условий на части границы прн 1 = О.
Условия (2,1)-(2.3) связывают значения искомых функций на границе (н скорость движения граниды, если она подвижна) конечными соотно- шениями. Однако, в некоторых случаях граничные условия могут быть и более сложными. Так, представим себе, что поршень с массой И, огра- ничивающий со стороны больших значений х. занятую газом область в цилиндрической трубе, движется под влиянием разности сил давления,прн ложенных к нему со стороны газа н с внешней стороны, где давление задано.
Днфференциальные уравнения движения поршня '(Л" и ~(шп г1 — = (о- о~5, — "= и при х=ш (1) 1 ~ \ о0 и ( 5 - плошадь поршня) вместе с начальнымн условнямя для решения о уравнений и-„[0) = х и,„(0) = и,„связывают значения двух искомых функций и, н ~ йа поршне н закон двнженнн поршня х= ж,„(1) и служат в рассматриваемой задаче требуемыми граничными условиями. Если центр нля ось симметрии течений со сферическими нлн цнлин~~- рическимя волнами принадлежат границе области, занятой газом в плоскости ш„1, то должно быть выполнено условие О -О при ос= О.
(2.4) Это же справедливо н для течений с плоскими волнами, если для ннх плоскость х = О есть плоскость симметрии. Однако, параметры течения со сферической нди цилиндрической симметрией и симметричные течения с плоскими волнами могут подчиняться и другим условиям при Х = О. Так, если при х = О имеется источник массы с мощностью ~(() „то условие (2.4) нужно заменить условием (лл. 6„ри.х = (((1), х О > (2.8) й 3. Уравнения в характеристической форме Вернемся к уравнениям 6 1 в эйлеровых переменных ,, ар ар~ З,„р" -х~~ — чь — ~ с — + (ч'-() — = О, а~31 Зх1 ~ Зх х (3,1 ) с 1 ар — + и.— + — =О Ы Эх у 3х (3.2) — +ц, О.: Ъ Ъ Ы 3ю (ЗЛ) Система (3.1)-(ЗЛ) дннейна относительно частных производных искомых функций по координате х. и по времени 1 .
Коэффициенты при производных и свободный член зависят от искомых функций. Такие уравнения называются квазилинейными (в отличие от линейных уравнений, которые линейны не только относительно производных искомых функций, но линейны и относительно совокупности производных и самих этих функций). 10 где бе = 1, 2эг, 4эг для течений с плоскими, цилиндрическими н сферическими волнами соответственно. При Ч 2 и 4 = 3 условие (2,8) задает особенность в поведении плотности потока массы ~и.
при х — О. Аналогично в некоторых задачах могут задаваться особенности в поведении на границах области течения потока импульса или потока энергии. Могут быть и другие следующие нэ постановки физической задачи особенности поведения параметров газа прн приближении к части границы области движения в плоскости х, 1 или к отдельным точкам этой грани цьь В конкретных механических задачах выбор начапьных н граничных усдовий обычно не вызывает особых трудностей поскольку он диктуется непосредственно Физическими соображениями. Однако в более сложных случаях, как показывает приведенный выше пример течения, может возникнуть вопрос о числе условий, которые необходимо задавать на отдельных частях границы области движения.
Как уже было сказано, этот вопрос будет рассмотрен позже при изучении свойств решений системы уравнений одномерных нестационарных движений. Попытаемся преобразовать уравнения (3.1 )-(З.З) таким обрезом, чтобы каждое уравнение содержало производные от входящих в него функций только по одному направпению в плоскости х,1, т,е, чтобы ~С -ое уравнение содержало только производные вида д д — + С— д1 "дх (3.4) Системы кваэилинейных и линейных уравнений, которые допускают такое преобразование, причем у преобразованной системы определитель иэ коэффициентов при производных (3.4) отличен от нуля, называют гиперболическими.
Направления дифференцирования в ппоскости х,1, определяемые формулами бх ,и =Ск (ЗЗ) — + (и..иа) — + ди, ди Ж дх др др ~ аи. ра д1 | — + (и а) — 1+ (4-11 — = О дх1 — ~ — + (и.-а)-~ — ~ — (Я-(.) — = 0, 1 ~до дб1 аи. Ра ~д1 Ъ~~ х. (3.8) — + (и-а1 —— ди.
ди. д1 д*. (3.7) дб- а — +и — =О. д(. дх (ЗЗ) Это - система в характеристической форме (определитель из коэффициентов при производных по характеристическим направлениям равен 2, — — Ф 0). Таким образом, система уравнений одномерных неустановнвуа шихся движений явпяется гиперболической при всех значениях независимых переменных и искомых функций, Характеристические направления и характеристические скорости согласно выражениям (3.4) и (3.3) определяются формулами (а) с.-и-а, — = с =и-а, — = с,-и.
(3а9) 11 называют характеристическими направлениями, а линии, определяемые уравнениями (3.5)," — характеристиками исходной системы уравнений, в нашем случае уравнений (3,1)-(3,3), Уравнения, связывающие производные искомых функций вдоль характеристических направлений, называют уравнениями в характеристической форме или соотношениями вдоль характеристик. Значения с„называют характеристическими скоростяИтак, попытаемся привести уравнения (3.1)-(ЗЛ) к характеристииес кой форме. Не описывая алгоритм такого приведения в общем случае, заметим, что уравнение (3.3) уже имеет характеристическую форму.для того, чтобы привести к характеристической форме уравнения (3.1) и (3.2)> образуем следующие их линейные комбинации: прибавим второе из уравнений к первому, умноженному сначада на —, а затем 'а.
умноженному иа - —. В результате вместе с уравнением (З.З) получа- О. Р' Г ем систему интегрирования определяются в конкрентиых случаях соображениями удоб- ства представления формул. С помошью новых переменных ъ= и+ с. (3.13 ) приладим двум первым парам соотношений (3,10) вид С(Х = (и. + а,1 Сй (3= (~-Π— „а 1х= (и- 1И (3.14) или - в форме уравнений в частных производных — +(и+а) — =-(е 1~ дъ а.и, М Ях ~й 33 .~.
— (и-а) — = (4 31. 6х ~. В этих уравнениях величины и и а. суть известнью в силу формул (3.11)-(3.13) функции '1, и ц, '~, 1У(.у(а)~=— 2 (3.16) Переменные ъ и 3 называются переменными Римана или инвариантеми Римана. Смысл последнею названия ясен из того, что в случае баротропных движений с плоскими волнами (которые изучал Риман) соотношения (3.14) принимают вид ~Ь О с(ос= (и.
аД~Ы д.ф = О сх = (и.- а) с(й, ческих течениях а -5-'~ =5' =' у Г1 1.-1 7 так что 20 'С. 'Ц. + — 1 т-1. 1 (3.17) 13 так что величины 'с и й не меняются (инвариантны) вдоль характеристик первого и второго семейств, соответственно. Таким образом при баротропных движениях с плоскими волнами каж- У дая акустическая характеристика "несет" определенное значение инварианта ч. или 3, В плоскости 'с, й или и., и. (эту плоскость назы:- вают иногда плоскостью спидографа) сеть характеристик, т.е.
линий '~=сокэ1 и й * сэлз1 представляет собой два семейства прямых линий;в т плоскости переменных и,,п., или и,р, или других связанных с ними параметров, эта сеть тоже не зависит от конкретного решения и целиком определяется свойствами газа. йля совершенного газа с постоянными теплоемкостями прн адиабатв- и, обратно, Линии 'с сопФ и 3 -соп.э1 в плоскости и, а представляют со- бой при этом два семейства параллельных прямых, заполняющих верх- нюю половину плоскости (рис.3.1). Рис.
3.1 При изотермических течениях совершенного газа а =фТ = а,= сайЗ( и функция '0 определяется следующей формулой й- а,6ьр+ ссп,б(.=а,6 р ссай (3.13 ) (напомним, что и, и а. суть известные функции от ч. и 3 ).Для адиабатических течений совершенного газа с постоянными теплоемкостя- ми 3 ()+1)ч.+(5-)"13 3( Зх. (3 )"И+Ц+1')Ьа~ ай ~ Зф Ь = ~ % ' 2ю'3 Эти уравнения для последовательности значений ~ — ( и- =-1 0 2п+1 ° ° 1,...) допускают общий интеграл в аналитической форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
