Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть II. Одномерные неустановившиеся движения (1163277), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Для сильных ударных волн соотношения на волне (9Л) имеют вид у(и — ю) = -у Й, р =у и,и), (и.-йМ У вЂ” -) 2 2 (9.15 ) Таким образом, в случае сильных ударных волн состояние газа перед волной влияет на параметры газа за ней только через величину плотности Я; величина давления с и значение скорости и., становятся ~о при этом несущественными. Запишем соотношения (9.15) в системе координат, в которой волна неподвижна уи.'=у,и,', )1+~М =~ 12 и" о — +Е- — ' 2 Эти соотношения отличаются от исходных условий (9.1) на волне тем, что в уравнении импульсов опушена величина давлении р, по сравнению с количеством движения набегающего на волну потока, а в уравнении энергии опущена величина теплосодержания )ь, по сравнению с кинетической энергией набегающего на волну потока.
Пусть ударная волна распространяется по покоящемуся газу со скоростью Я). Газ за волной имеет скорость и., определяемую нз уравнения неразрывности и.=(1 — — )Ю У / 2, 2 22=( — — — -2~В . ~)+( 1У-1))4, ! 2 Я Здесь 1) —. Согласно этой формуле скорость газа и. меняется аь' а (9.19) 40 В ударных волнах сжатия ( (~ > (), ) газ приобретает скорость в направлении распространения ударной волны, причем скорость газа тем ближе к скорости самой волны, чем сильнее уплотнение газа в волне.
Если воспользоваться полученным ранее (ч. 1) выражением для отношеУо ния — в ударных волнах в совершенном газе, то получим формулу ,)' от нуля для очень слабых волн, когда М, 1, до значения — Я к у+1 для сильных волн, когда М,— ос. Таким образом, скорость газа в потоке за ударной волной может быть сколь угодно большой, если скорость ударной волны достаточно велика. Однако, число Маха этого потока,т.е. и безразмерный параметр М вЂ”,„, характеризующий скорость, не может быть большим, так как в ударной волне растет и температура газа, а вместе с ней и скорость звука в нем, действительно, для совершенного газа в ~~ (И~- ()в 1Р~У ((+ ~— 1(,ЦИ, — ~ ~ При М, - ~ число Маха М потока за волной стремится к величине И„,,„1,880', при М .„= г,887. При ~ =14 6 10.
Задача о поршне, движущемся внутрь области, занятой газом. Образование разрыва Рис. 10.1 Рассмотрим ту же задачу о поршне, что и в 6 8, но будем предполагать теперь, что поршень, постепенно ускоряясь от нулевой скорорти, вдвигается в область, занятую газом, т.е. Х(0) = Х(б) = О, Х(()>0 при 1 ~ О. Вновь мы должны заключить (рис.10.1), что к области невозмушенного состояния газа вдоль прямолинейной характеристики ОА примыкает волна Римана, которая в этом случае является волной сжа- цй тия, и, следовательно, при — ~. ~ 0 характеристики первого семейсч ЯУ~ и ва в этой волне образуют сходящийся пучок, так что непрерывное решение этой задачи о поршне, начиная с некоторого момента времени, перестанет существовать, Если пересечение характеристик происходит уже в начальный момент времени или если поршень сразу начинает двигаться с конечной скоростью с (0) ) О, то непрерывное решение вообще не существует ни при каких Ф.
> О. (При сверхзвуковой начальной скорости поршня этот Факт совершенно очевиден, так как траектория поршня попадает при этом в область определенности решения начальными данными и краевое условие на поршне не удовлетворя- в ется), При этом, как и во всех других случаях,в которых,на- А чиная с какого-то момента времени,непрерывное решение не существует,следует рассматривать решения с разрывами- ударными волнами и, возможно, с контактными разрыа вами, Начнем с наиболее простой задачи, когда поршень сразу начинает двигаться с конечной скоростью, которая в дальнейшем сохраняется постоянной. Решение этой задачи легко получить следующим образом.
Рассмотрим стационарную ударную волну с набегающим на нее с некоторой скоростью справа сверхзвуковым потоком (рнс.10,2а; ударная волна расположена при и = О, ее скорость % равна нулю, и.> и и> обозначают величину скорости перед скачком н за ним соответственно), Если это стационарное течение рассмотреть в системе координат, движущейся вместе с набегающим потоком, то оно станет нестацнонарным с ударной волной, распространяющейся с постоянной скоростью % = ~> по покоящемуся газу вправо (рис.10,2б).
Выберем начало отсчета координаты х и времени в новой системе координат так, чтобы ударная волна прошла через точку 0(0> 0), и рассмотрим движение в угловой;области> ограниченной полуосью Оъ н траекторией частицы, проходящей через точку 0 (границы этой области заштрихованы на рис.10.2б).Если считать,что траектория этой частицы и есть траектория поршня,то ясно,что рассмотренное движение при $ - 0 дает решение поставленной задачи о поршне. Итак, при вдвигании с постоянной скоростью поршня в область> занятую однородным покоящимся газом, по газу распространяется с постоянной скоростью удар- Рис, 10.2а ная волна такой интенсивности, что газ за ней приобретает скорость, равную скорости поршня.
Решение этой задачи автомодельно (что следует, конечно, и из ее 'х постановки); параметры газа постоянны на лучах — = сонь>.. а'р Отметим, что в средах, для которых — у ( О, решение задачи о вдвигвиии поршня с постоянной скоростью в область, занятую однородным газом, включало бы центрированную непрерывную волну сжатия. а решение аналогичной задачи при и,, = сотиА а О, наоборот, включало бы не центрированную волну разрежения, как при — 2~ ь 0> а ска- 9 чок разрежения. Вернемся вновь с задаче, сформулированной в начале параграфа, когда поршень сжимает покоившийся первоначально однородный газ, постепенно разгоняясь от нулевой скорости. 42 Рис.
10.26 Примем за параметр, имеющий постоянное значение на прямолинейной характеристике волны Римана, тот момент времени 'С, когда эта характеристика исходит нз точки траектории поршня, Тогда интегралы (8.1), опнсывающие волну Римана, примут внд а а(ч) + Си, + а)(( — '1), а- 'пса) — о~а,), причем о.+и, во втором выражении есть в силу первого интеграла и того, что и, = жИ) известная функпня от 6: и. + а = 'х.с'6) + 0.~ЖС~)~ и б сч). В й 7 было показано, что в волне Римана, бегущей вправо, а(и+ а — >О (для нормального газа).
Поэтому прн т, > 0 производная Ы б = —.ш > 0 при С > О. ахи.+а)- блл. Найдем огнбающую семейства прямолинейных характеристик. Вдоль огибающей производная от а. ~о параметру ч во втором ' выражении (10.1) должна обращаться в нуль, так .что параметрическое представленне огибающей имеет внд: 0 ф-Х б - й. я+ ~ ' а~~ '"+б 3 Из того, что б > О н б — х асс)>0, следует, что на опюбающей Ъ>ч а > хсч); огибающая находится внутри области течения (доказательство см, ниже); прн м. — 0 ожбающая уходит в бесконечность. Если ъ(О) О, то прн 1 0 ).; если затем при 1.
> 0 х.с1)>0, то при ч. Ъ неогреннченно возрастает, так что 1 сначала уменьшается, а затем увелячнвается, т.е. имеет мвнимум прн некотором я 'С~, Огибающая имеет прн этом угловую точку, которая, исключая 4Э Рис. 10Л Рис. 10.4 спепиальный случай, когда в некотором интервале значений С характеристики пересекаются в одной и той же точке, является точкой возврата (рис.10Л). Если ускорение поршня и, (О) конечно (н, по предположению поло- к ао , а, жнтельно), то 1 (О) ~д-е т (О) = г †- так что огибающая в этом С ) о'в) случае начинается на характеристике х о,,1, т.е. на переднем фронте возмущений, ндушнх от поршня (рнс.
10.4). При возрастании начально- о го ускорения поршни т,(ОЭ значение 1 (О) уменьшается и прн х(О> ~юк 1. (О) О, так что при бесконечном начальном ускорении поршня огибающая возникает в начальный момент н непрерывное движение не может существовать ни при каких Ф, > О. 44 При различных законах движения поршня огибающие могут иметь разнообразную форму. Важно, однако, что при любом законе движения поршня при наличии интервала значений 1., где з ~ О, в области,те-.. чения.
справа от поршня всегда возникает пересечение характеристик. Пусть (рис.10,5) на участке АЬ траектории поршня х 0 ° так что характеристики, выходящие из точек А и Ь, пересекаются в точке 0 при Ъ Ъ,(т,к. на АЬ 6 = О, то точка 0 расположена на конечном расстоянии в плоскости х, Ф. ). Если к моменту Ф.~ поршень находится левее точки 0 (в точке С ), то точка О лежит в обнести движения, Если же в этот момент поршень находится правее точ- ! ки 0 (в точке С ) или совпадает с ней, то траектория поршня пересекает характеристику ЬО при ). = 1~ э 1ч. И тогда характеристика, выходящая из точки % траектории поршня до момента Ф.р, но бпизко к нему, обязательно пересекает характеристику Ь О внутри области движения, Рис, 10.б 6 11. Взаимодействие бегущей волны с ударной волной и с контактным разрывом Рассмотрим некоторые задачи о течениях с ударными волнами и контактными разрывами и покажем, как эти задачи могут быть решены методом характеристик.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
