Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть II. Одномерные неустановившиеся движения (1163277), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В следующий момент разрыв распадется, образуя две ударные волны, бегущие по газу в разные стороны, и кон- ' х1 тактный разрыв между ними. Если обе сталкквающиеся ударные волны имеют одну п ту же интенсивность, то ясно> что возникающий после столкновешш контактный раз-, рыв будет неподвижен в пространстве (рис. 13.2). В таком случае можно рассьвтривать течение лишь по одну сторону плоскости его симмеч рии, заменив эту плоскость стенкой (рис.13.3); при этом мы получаем решение задачи об отражении ударной волны от стенки (от закрытого конца трубы).
Рассмотрим это решение более подробно для случая совершенного газа с постоянными теплоемкостями. Газ между стенкой к бегущей по направлению к ней со скоростью (Д+ ударной волной (область 0 на рис.13.3) первоначально покоится и имеет давление (> и плотность и о ,1о Рис. 13.3 Рис. 13.2 За вол; ~область 1) давление и плотность газа повышаются до значений (>, и ~, и газ приобретает скорость и, по направлению к стенке.
При столкновении движущегося газа со стенкой в момент прихода к ней ударной волны образуется отраженная волна, бегущая от стенки со скоростью Ю . Между отраженной волной и стенкой (область П) газ вновь покоится и имеет давление о и плотность о более вы!к о, сохне, чем их начальные значения с и 0 Го оо Определим величину давления р на стенке после отражения от нее ударной волны и скорость отраженйой волны Ы-. Воспользуемся для этого следующим соображением.
Так как параметр ры газа в областях О и П связаны законами сохранения с параметрами одного и того же состояния в области 1, то эти законы сохранения на падающей и отраженной волнах имеют следующий вид: х) Можно показать, что для совершенного газа с постоянными теплоемкостями всегда образуются две ударные волны; для нормальных газов с другими термодинамическими свойствами более слабая из стелкивающихся ударных волн может превратиться в волну разрежения (см. ( 3,31). 59 Здесь величины без индексов обозначают либо И,, Р,, ~,, либо Ж, р, у~, так что эти две совокупности параметров явпяются решениямй одних и тех же уравнений (13.1).
Введи безразмерные величины и обозначив их для сокращения записи просто как Р, У Ы Р. ' 3~ ' Я, перепишем уравнения (13.1) в виде -уй = (- Я), р-( -ТМ~а, О 1 р (( ~) —. 1)М ~ ° '(~-)М ' х и~ где М= — к. а, ' Заменим в последнем уравнении у и Ж их выражениями через р из первых двух уравнений. В результате для опредепення р получаем уравнение р'- р(й+ — М ) + ((- — И )= О . Я) Я- 2 2 Корни этого уравнения и есть р и р . Так как )'(У+11 Рэ Р=2 ).(З=() ь р,р,=1 —,и, то> исключив отсюда Я~ и эозврашаясь к исходным переменным, полу- чим (5т-Цр;(ГЦР.
Р- Р, (РГ~~Р,Ф()р. или (1-0р,'(1 Рр. ()-1) р,+ (у. ()р, При очень слабой падаюшей ударной волне, когда р,-р е, р отсюда находим — =Я, рь РО Р. Р. т.е. избыточное давление на стенке вдвое превышает увеличение давле- ния в падающей волне. При сильной падающей волне, когда р ~ р р,— р.
З~-~ Р, р. Х1 избыточное давление за отраженной водной превышает увеличение дав пения в падавшей волне уже не в два раза, а значительно сильнее.Так, при 1 1.4 это превышение составляет 8, а при у - 1.2 — 13 раз. Этим сильным возрастанием давпения при отражении интенсивных ударных волы в значительной мере объясняется нх разрушаюшее действие. Ы Для отношения скоростей волн —, из первых двух уравнений (13.1) находим + О ~,-Р, Р.-Р, и.„ Отсюда, учитывая формулу (6.16), для очень слабых падающих волн ! Р,— Р, — Р,— Є— ".„' — 0~ а- и„й. ')+ а для сильных волн ( —" Ю+ ~ъ1 — 2д— И,.
)р1 При сильной падающей волне скорость отраженной водны намного ~-- 1, йменьше скорости падающей водны. Так, ==- — при г = 1.4, 'ч) 3 0 '' Р при Г = 1,2, Пусть теперь по однородному газу распространяется ударная волна постоянной интенсивности и вслед за ней по газу идет еще одна ударная волна. Ранее уже было выяснено, что вторая волна должна догнать первую. В момент встречи обеих волн в распределении параметров газа образуется разрыв, на котором вновь не удовлетворены законы сохранения, так что в следующий момент этот разрыв распадется (рис,13.4). В этом случае после распада разрыва по газу в ту же сторону, что и встречающиеся волны> пойдет ударная волна большей интенсивности, чем была первая волна, т.е.
догоняющая волна усиливает первую (в этом нетрудно убедиться, учитывая параметры начального разрыва и перебирая все возможные при этом комбинапни волн), Количественный анализ показывает, что в обратном направлении от контактного разрыва по газу может распространяться как ударная волна, так и волна разрежения.
Для совершенного газа с ) — отраженная волна есть всег 5 5 ~ 3 да волна разрежения. При 1> — достаточно слабая вторая волна отража- 5 ется как ударная волна ) 61, Рис. 13.4 61 Задача о распаде произвольного разрыва возникает и при столкновении ударной волны с поверхностью контактного разрыва (это взаимодействие называют также преломлением ударной волны на границе двух сред). Грусть ударная волна поцхоцит к контактному разрыву, разделяющем,у. фща покоящихся газа.
Простыми рассуждениями вновь нетрудно убедиться, что сквозь контактный разрыв всегда проходит ударная волна (эта вол- на называется проходищей или преломленной). Количественный анализ по- казывает ь6,1, что отраженная от контактного разрыва волна может быть и ударной волной и волной разрежения (рис.13.6а и 13.3б). Поскольку в слабых ударных волнах соотношения между параметрами те же, что в волнах Римана, то для слабых ударных волн справедливы те же выводы об их взаимодействии с контактным разрывом, что и получен- ные в Ф 11 для волн Римана.
Если с обеих сторон контактного разрыва газ совершенный и имеет одно и то же значение )", то независимо от ее интенсивности ударная волна отражается от более плотного газа тоже как ударная волна. Если же ударная волна идет из более плотного газа в менее плотный, то о~ раженная волна есть волна разрежения 1 6 ), В предельном случае бес- конечной плотности газа отражение от него происходит как от тверцой стенки. В другом предельном случае нулевой плотности давление на контактном разрыве остается прн отражении постоянным и зада- ча совпадает с задачей об отражении ударной волны от свободной по- верхности. Этот предельный случай можно использовать также для решения за- дачи об отражении распространяющейся в трубе ударной волны от откры- того кониа трубы.
Открытым назовем конец трубы, выходящий в простран.— ство, где давление сохраняется равным начальному давлению газа в тру- бе, Итак, рассмотрим автомодельную задачу об отражении ударной волны от свободной поверхности. Так как давление в газе за отраженной волной равно начальному давлению перед падающей волной, то отраженная волна должна быть волной разрежения, При этом возможны три случая. В пер- вом случае, когда интенсивность уцарной волны невелика, схорость га- за за ней меньше скорости звука н отраженная волна Римана несмотря на ее снос движущимся газом вправо, движется в пространстве влево от первоначального положении свободной поверхности х, (рис.13.6а).
62 Рис. 13.6а Рис. 13.6б Если интенсивность ударной вол- ны настолько велика, что скорость Р> газа за ней сверхзвуковая, то от г' раженная волна Римана сносится газом вправо от сечении х, ( рис.13.6б ), ! В промежуточном случае пе ,г Редний фронт волны Римана раоича пространяется в простршстве впево> а ее задний фронт — впра/ во (рис.13.6в) от первоначального места свободной поверхности. Ограничимся теперь в попучец- 3 ном решении рассмотрением об- ласти слева от сечения х,, приь ®о Ж нимая это сечение за открытый конец трубы.
В случае рис.13.6а Рис. 13в при подходе к этому концу ударная водна отражаегся в инде бегущей внутрь трубы волны Римана, газ истекает из трубы с дозвуковой скоростью н давпение в нем при выходе из трубы равно давлению в окружающем пространстве. В случае рис.13.6в внутрь трубы отражается водна Римана, простирающаяся вплоть до выходного сечения трубьц истечение газа происходит со скоростью звука.
Наконец, в случае рис.13.6б'ударная водна не отражается от открытого конца трубы, газ истекает из трубы со сверхзвуковой скоростью. В двух последних случаях давление истекающего из трубы газа не рав но давлению в окружающем пространстве, а превышает его, Возможность использования решения задачи об отражении ударной волны от контактного разрыва пишь в области слева от сечении х о при изменении условий справа от этого сечения в задаче об отражении волны от открытого конца трубы основана на том, что в двух последних спучаях изменение условий справа от сечении х, не влияет на течение газа слева от него; (вспедствие того, что все характеристичес кие юиорости в области справа от сечения х, положительны ) в первом же случае условие, соответствующее открытому концу трубы, удов-' летворено.
6 14. Ударная труба. Задача о взрыве Задача о выравнивании давления при первоначальном произвольном его разрыве в покоящемся газе имеет важные приложения в теории взрыва и в теории так называемых ударных труб. И в той и в другой теориях основой служит рассмотрение следующей проблемы. В полубесконечной трубе (рис.14.1) перегородка отделяет прилегающий к закрытому концу трубы газ от остального газа; оба эти газа могут быть разными и вначале покоятся. давление газа между закрытым концом трубы и перегородкой выше давления газа в остальной части трубы. При мгновенном удалении перегородки возникает разрывное распределение параметров газа. Требуется найти возникающее движение, Несмотря на наличие в формулировке задачи масштаба длины (этим масштабом служит расстояние между перегородкой и закрытым концом трубы) движение будет автомодельным до того момента, пока идущая к закрытому копну трубы волна Римана не дойдет до него; решение соответствующей автомодельной задачи можно при этом использовать за ударной волной в области, ограниченной передним фронтом возмущений, возникающих при отражении волны Римана от стенки.
В ударных трубах распространяющаяся по газу ударная водна испопьзуется для создания кратковременных потоков газа с большой скоростью и высокой температурой. Так, на рис. 14.1 в сечении трубы, соответствующем координате ж,, сохраняются стационарные условия от момента времени ( прихода в это сечение ударной волны до момента 5 времени 1 я прихода переднего фронта отраженных от стенки возмущений, Наличие второй стенки трубы при достаточном ее удалении (рис.14.1), очевидно, не меняет эти условия в сечении х, . Помещая в сечении Ш иссдедуемые модели, можно изучать их взаимодействие 1 с газовым потоком большой скорости.
То, что при большой интенси~ ности ударной волны газ за ней имеет и очень высокую температуру, важно ддя многих исследований. Х1 Рис, 14.1 Рис. 14.2 Рис. 14,3 Еще более высокая температура будет у газа в области за ударной волной, отраженной от правой стенки ударной трубы, Вблизи этой стенки газ за отраженной волной находится в состоянии покоя с однородными параметрами в течение интервала времени ( 1.м , 1.„, ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
