Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть II. Одномерные неустановившиеся движения (1163277), страница 15
Текст из файла (страница 15)
При увеличении скорости фронта горения он приближается к ударной волне и при значении скорости медленного горения, равной скррости газа за ударной волной по отношению к ней, фронт горения сливается с ударь ной волной, образуя волну детонации.
При поджигании газа у открытого конца трубы перед фронтом горения ~вновь должна пойти ударная волна. Течение за фронтом либо однородное в случае малых скоростей фронта, либо с примыкающей к фронту центрированной волной Римана - в случае больших скоростей фронта. В последнем случае возможно истечение газа из трубы со звуковой скоростью аналогично случаю детонационного горения, э 18, Акустическое приближение Рассмотрим одномерные неустановившиеся движения газа, в которых его давпение р и плотность (> мало отличаютсш от постоянных значений (>,, о,, а скорость частиц и. мала по сравнению со скоростью звука цо, соответствующей р, и С, .
Такие. движения назовем мелыми возмушениями однородного состояния покоя. Будем считать малыми не только сами величины С вЂ” р о — о и и., но и их производные по т и ь. Тогда, пренебрегея в уравнениях (1,1)-(13) малыми величинами по сравнению с оставшимися, придадим этим уравнениям спедуюший приближенный вид; Зр 3ш о ш +О +(Π— 1) — = О 31 "дх х (18.1 ) (18.2) — =о. Эв д1 (18.3) Аналогично преобразуем к приближенному виду соотношение (1.4) (18.4 ) Система уравнений (18.1)-(18.4) линейна и называется линейным или акустическим приближением системы (1.1)-(1.4). Последнее незвание связано с тем, что ета система описывает, в частности, распространение звука, который представляет собой малое колебательное возмушение давпения в газе (скорость частиц газа при распространении звука очень большой интенсивности составляет всего несколько сантиметров в секудду).
Уравнение (18.2) позволяет ввести потенциал возмущений ~р такой, что Р Р = ра~' ао Учитывая (18.3), заменим в уравнении (18.1) производную — сойр 3(, гласно равенству (18.4) величиной 1 — после чего выразим в нем око а, 8~1 рость и давление через потенциал у . В результате получим уравнение 1 д р Эр се)1 Зр а', ЗР а.' а" (18.6) ~> Г(,ъ — а,т.) + 9 Ст ч- ш,(1. (18.7) Ъи скорости и.
и давления р попучаем выражения ~С з - а,(.) + д Ск+ ае~) у, ~~сх — а,).)-~ сх + а,(,)~, Р Р.= (18.8) 76 Это - волновое уравнение, которое в случаях Р = 1 и Р 3 допускает простые аналитические представления общего решения; при Р = 2 выражение общего решения несколько более сложно. Очевидно, что такому же уравнению удовлетворяет давление )~, а при У =1 и скорость и, Отметим также,что уравнение (18.6) дпя потенциала Ц~ ипи давления р одинаково для баротропных и небаротропных движений. Если движение баротропно, то уравнение (18.3) является лишним, вместо него замыкаюшим соотношением служит связь о = р <р1 и в соотноуении (18.4) отсутствует 1 последнее слагаемое (при этом производная -5к- берется согласно принятой связи между У и р ). После нахожденнря решения для потенпиапа ~р скорость и, и давпение р находятся по формулам (18 6), распределение энтропии в случае адиабатических течений есть согласно уран нению (18.3) функция только т (определяемая начальными условиями), плотность р находится из выражения (18,4).
Начнем с рассмотрения движений с плоскими волнами ( О = 1). В этом случае общее решение уравнения (18.6) имеет вид обозначены производные функций ) и 6 по их где через ~ и 1~ аргументам. Таким образом распределения давления и плотности представляют са- У бой суммы двух волн, бегущих с невозмущенной скоростью звука по в обоих направлениях. При этом в волне, бегущей вправо, давление и скорость связаны соотношением Р Ре ц,+ — '= О, о,а, (18,9а) а в волне, бегущей влево, - соотношением (18.96 ) Сравнивая выражения (18.8) и (18.9) для волн, бегущих в одном направлении, с формулами (17.1) и (17.2) для волн Римана, граничащих с состоянием покоя ц.+ ~ — =0 оа ц, = ~~ а — (ц.
+ а) 1) Ро а= ~~а — (и+а)ц, а — — р-=О ~Р(3. ~ оа получим, что первые получаются из вторый при пренебрежении в выражении ц. + а величиной скорости газа и изменением скорости звУка сРавнительно с начальной скоРостью звУка 1Хо и пРи сР АО замене интеграла ~ — его линеаризованным выражением (р — р ')~~, а, Рю ра В отличие от точной теории, в акустическом приближении бегущие волны разных семейств не взаимодействуют одна с другой, профили распределения параметров потока в волне не деформируются при ее распространении, так как каждое состояние в волне распространяется по газу с одинаковой скоростью а,. В плоскости а, 1.
это распространение происходит вдоль акустических характеристик невозмушенного состояния. Лействнтельно, характеристики системы уравнений (18.1 )-(18.3 ) определяются формулами а'х. — = а„ йЛ Аа (Ь. (18.10) и представляют собой три системы параллельных прямых линий, не за- висящих от решения, Как и в точной теории, вдоль этих характеристик могут распростра- няться слабые разрывы. Поскольку сильные разрывы - ударные волны— в предельном случае малой интенсивности распространяются со скоростью звука, т.е. их траектории в плоскости а, 1 совпадают с акустическими характеристиками> а контактный разрыв при любой интенсивности распро- страняется в плоскости х, х вдоль контактной (энтропийной) харак- теристики, то в линейном приближении и слабые и сильные разрывы распространяются вдоль характеристик (18.10).
При этом интенсивность ни тех, ни других не изменяется при распространении. Отметим еще, что непрерывная центрированная волна разрежения вследствие параллель- ности всех прямолинейных характеристик превращается в сильный раз- рыв - скачок разрежения, 76 Пользуясь общим решением (18.7), (18.8), легко решать различные задачи. Пусть, например, при Ф. = О скорость всюду равна нулю> давление вне отрезка >>В ~- щ>, х>1 равно р, а на этом отрезке Р, + Р, возмущения энтропии распределены произвольно, Найдем возникающее движение (линейный аналог задачи об ударной трубе или о взрыве). Из выражений (18.8) при 1 = О получаем >((с,) + !~Я) = О при всех — 'при )Е ! < к> 1® 3(ю= Ю 0 при )Е! ь х~ Отсюда — при !Е,~ . 'х-, Р~ 1а) =--зи) = Ъ" О при )8,! > и> Следовательно (см.
рис. 18.1) Р Ро = Р> в треугольнике ЯЬС н О, Р> Р> Р Р в попуполосе й СС йр>оо Т + Ро >! в полуполосе ВСС Р> н ЙР,а, Во всей остапьной части попуплоскости т. > О возмущения давпения н скорости отсутствуют. Возмущения энтропии, если они бьши в наяапьном состоянии, сохраняются вдоль линий з = со>чА.. Возмущения ппотности> в соответствии с выражением (18.4), складываются из возмущений давления и энтропии.
Заметим> что характеристики, исходящие нз точек >! и В являются линиями разрыва решения. Таким же образом любые начальные возмущения давления Р (х~ и скорости н,(т! (они могут быть разрывными), заданные на ограниченном интервале-х,с х < 'х> превращаются за конечное время в две бегущие в разные стороны волны, причем — при )Е ! ~ з> Р,(Ю о ао ,Я3 !(о1 = 0 при !Е ! н.( 1) + О при )т(! э щ> Эти волны будут распространяться неограниченно долго, если область, занятая вначале покоящимся однородным гезом, простирается в обе стс>- роны в бесконечность.
При наличии на конечном расстоянии границ об- 77 дастя 1стенка,контактный разрыв и т.п ) в Результате взаимодействия бегущей волны и границы могут возникнуть отраженные волны, распространяющиеся внутрь области. Подчеркнем, что в случае нестационарных движений с цпоскими волнами соглесно линейной теории по однородному состоянию могут распространяться волны конечной ширины, в которых во всей области волны возмущение давления, как и скорость частиц, имеет один и тот же знак. Так, в рассмотренном выше примере распространяются волны в виде областей повышенного давпения, в которых все частицы газа имеют скорости в направлении распространения волны.
А Рис. 18.1 Рассмотрим еше задачу об отражении бегущей волны конечной ширины х, от стенки ~ = О (рис.18.2). Пусть передний фронт волны встречает стенку при 1. = О. В подходящей волне — =и= ((х-а, 1,'1 Р-9о оп э так что функция ~ известна в интервале значейий аргумента -шц0 При х О из условия и. = О получаем у р=-~~-~~. Таким образом, для значений о а+а,,1 в интервале 0, х, функция ~ определена, так что в отраженной волне ' =-и. = ~[-(х.
а,О~ . у,а, При отражении от стенки форма волны и ее амплитуда остаются прежни-~ ми, знак возмущения давления сохраняется, а знак скорости меняется на обратный. Вне интервала О, т, функция ~ равна нулю. В области наложения падающей и отраженной волн и=О = ~с — а.~~- ~ ~-с ° 4 . Р Р. ~а,, При х = О, т.е. на стенке с - р, - Е~ ~- а,11 возмущение давления удваивается по сравнению с его величиной в падающей волне. 78 Рис. 18,2 Если волна отражается от свободной поверхности нли от открытого конца трубы х.
О, то из условия равенства давления в этом сечении начальному давлению (так как движение происходит с малой дозвуковой скоростью, это условие на открытом конце трубы выполняется, см. й 13) получаем Следовательно, после отражения от свободной поверхности форма волны и ее амплитуда остаются прежними знак возмущения давления меняется на противоположный, знак скорости сохраняется; скорость газа у открытого конца трубы в области наложения падающей и отраженной волн удваивается сравнительно со скоростью в падающей волне.
Перейдем к рассмотрению сферических волн ( т' = 3). В этом случае уравнение (17,6) можно преобразовать следующим образом,' 3' 8' — ~ — (х У) — — (ш(1- 0, а 6(э Зшь так что общее решение для потенциала возмущений 1" будет иметь вид ~у- — ) Г(ш- а,()+ 6(х — а,Ц. Отсюда для давления и скорости получаем выражения р ~ ~(х-а,О д(х а,01 уа, х. Х х-а,1 х~а,1 1~(эс-д.,1) ( 1 д( ц,И -=( .' --„)1 ' .' --„~ ~М1, Так же, как и в случае 1 1, общее решение для возмущения давления представляет собой сумму двух волн, бегущих в направлениях от центра симметрии и к центру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
