Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть I. Основные понятия газовой динамики и элементы прикладной газовой динамики (1163257), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Отметим теперь, что при неограниченном сближении сечений условия (4.4) будут выполняться н тогда, когда исходные соотношения (4.1)-(4.3) не упрощаются, т.е, когда есть приток массы и тепла сквозь боковую поверхность трубки, имеются массовые силы, газ в области между сечениями не идеален, трубка не пнлиндрическая и ее ось не прямолинейна. Нужно лишь предположить, что при уменьшении расстоя- 46 ния между сечениями до нуля, т.е. при стремлении к нулю объема междУ сечениЯми и плошади 5'е боковой поверхности междУ ними,стРемятся к нулю и соответствующие объемные и поверхностные интегралы в правых частях уравнений (4.1)-(4,3).
Иными словами, условия (4.4) на разрыве справедливы, если в сечении ряэрыва отсутствуют сосредо точенные внешние воздействия (сосредоточенный в сечении приток мас сы, имеющей некоторые импульс. и теплосодержание, сосредоточенные массовые и поверхностные силы, сообщающие газу конечный импульс и совершающие нац ним конечную работу, Сосредоточенный приток тепла); в противном случае эти сосрелоточеняые воздействия должны быть учтены и условия (4.4) соответствующим образом изменены. Разумеется, что соотношения (4.4) справедливы лишь при выполнении условий, которые были приняты при задйси законов сохранения в виде (4.1)-(4.3), т.е., как об этом говорилось в начале й 3, при пренебрежении в сечениях Лу и У вязкями нормальными напряжения ми и тепловыми потоками. Таким образом, соотношения (4.4) представляют собой условия, кото рым должны в общем случае удовлетворять параметры движущейся идеальной среды с двух сторон поверхности рээрыъв ъп» вЂ” «аэчэ - ствчхь.
Пусть среда движется слева направо, Сторона поверхности или фронта разрыва, в которую газ втекает, называется передней стороной (в нашем случае это левая сторона), а сторона Фронта разрыва, из которой гаэ вытекает, называется задней стороной, Введем обозначение )Л~р~~~-ти ( уп - расхоп газа сквозь единипу плошади поверхности разрыва). Из уравнения импульсов тогда получаем 2 а: у ПЗ " ~ ~ ° (4.6) Р~ Р Отсюда следует, что возможны скачки двух видов. Йля первых (4.7) Эти скачки называются скачками уплотнения.
Во втором случае (4.8) Такие скачки называются скачками разрежения. Поскольку заключение о двух возможных видах скачков в идеальяой среде является следствием лишь законов сохранения массы и импульса (беэ сосредоточенных на поверхности скачка притоков этих величин), оно имеет весьма общую природу и не зависит от возможных фнэнко-химических превраше ний среды при прохождении ею скачка и ог сосредоточенных энергетичеоких воздействий на скачке.
Из (4,6) получаем выражения для скоростей (4.8) л ~ ~ ~ у ~0~ 47 с помощью которых последнее соотношение (4.4) можно преобразовать к виду (4.10) илн, пользуясь выражением ут = С ~,к иному виду е — е~ = у~ — — — )(р -р~). (4.11 ) Выражения (4.10) или (4.11) связывают лишь значения термодннамнческих величин с обеих сторон скачка. Из них, в частности, спедует,что для скачков уплотнения 8-. 6у, е е, а для скачков разрежения е е Мы рассматриваем движения сред, в которых все термодинамические функции, в том числе и внутренняя энерпи, зависят лишь от двух параметров.
В более общем случае внутренняя энергия среды зависит от дополнитедьных параметров физико-химической природы, При изучении непрерывных движений таких срец иногда удается заменить их двухпараметрическими средами. Так, в некоторых случаях эти допопнительные параметры можно считать неизменными (" замороженными" ); в другом предельном случае их можно считать функциями основных термодинамическнх параметров, соответствующими термодинамически равновесному состоянию. Однако, при прохождении поверхности разрыва дополнительные параметры, от которых зависит внутренняя энергия, могут изменяться скачком, например, от значений, соответствующих "замороженному" состоянию перед схачком до значений, соответствующих термодинамически равновесному состоянию за скачком.
Г1ри этом вид функциональной зависимости внутренней энергии от основных термодинамических параметров перед скачком и за скачком может быть разным. К примеру, для модели совершенного газа с постоянными теплоемкостями е - ~ — '(~. -~- е. = с Т+ е ~-~.г Здесь Е, есть, например, химическая составляющая внутренней энергии, т.е. энергия связей атомов в молекулах. При прохождении газа через поверхность разрыва его химический состав вследствие быстрого протекания химических реакций может скачком измениться, в результате чего изменится Ыа и, в общем сцучае, изменятся и тецлоемкости газа.
Равенство (4.10) или (4,11), являющееся следствием всех трех условий на поверхности разрыва, называется соотношением Гюгонио. Если входящие в равенство (4.10) или (4.11) величины 4 или с представить как функции от )з и )о, то при фиксированных Р~ и ф~ в этих равенствах им соответствует в плоскости у., ~о кривая, называемая ацищ>атой Гюгонио или ударной ациабатой (с центром в точке Ре Если функция е~1о,р) совпадает с функцией Е~~р,)Р ),т,е. если термодинамические свойства среды при прохожцении ею скачка не изменяются, то е~;с,,у~) = Е~ (-ок,уД и, следовательно, адиабата Гюгонио проходит через точку д свой центр. Если же, как говорилось выше, определяющие внутреннюю энергию дополнительные параметры изменяются при прохождении разрыва, то 8 (уо~,~7Д Ф е~ и точка у, уос не принадлежит адиабате Гюгонио.
У Заметим> что при данном начальном состоянии выражение (4.6),где щ~ ~0г т у, опрепеляет в плоскости чг, ~0 прямую с отрицательным наклоном, проходящую через точку, соответствующую начальным значениям ~О~ )о~, т.е. через центр адиабаты Гюгонио. Пересечение этой прямой при данной скорости Ру с адиабатой Гюгонио позволяет найти давление и плотность за скачком, а следовательно, и скорость за ним. Получим выражение для изменения энтропии вдоль адиабаты Гюго- нио 1(ифференуруя соотношения (4.6) и (4.11) вдоль адиабаты Гюгонио, находим(1г,д.) у ф -(р-Р,)' '('-ч-) — и'а~И; д'е -~ (4,— бсср -~ (р.-р,)с~ю. Исключив из обоих соотношений ЫО~ после некоторых преобразований получим Ые -'-РоГР-~ ~~о-~'1г) с~ш~ ~Ь ( ~~~~(~ М' ~ ~ ~~~~~~~~ ~д Из формулы (4.12) находим Тс~Ь ~ ~ ~ 2~Гг/ (я Я~) ф~ + ° ° у или после интегрирования Ууй ~у) уР~ ~ г~„(Я Рд + ° ° .
(4.13 ) Выражение в левой части согласно термодннамическому равенству (1.2) есть 7сй,так что вдоль адиабаты Гюгонио Т И - — ~Р-Р ) ~ — е= — ф~-Р ) с~ — — ~, у ~ ф ф ы т Г у о -р» " (4.12) Будем считать, что среда с обеих сторож скачка имеет одни и те же термодинамические свойства, так что еднабата Гюгонио проходит . через свой центр.
Изучим поведение адиабаты Гюгонио вблизи центра. При малой величине скачка давления можно принять, что вдоль адиабаты Гюгонио Здесь многоточием обозначены члены более высокого порядка, чем ~з Таким образом, при мелом изменении павлення газа ~с>-уп„при переходе через скачок изменение энтропии есть малая величина порядка ("у'-~М' Отсюда следует> что в начельней точке аднабата Гюгонио имеет касание второго порядка с проходящей через ту же точку адиабатой Пуассона, Йействнтельно, представим уравнение адиабаты Пуассона, проходящей через начальную точку, в виде г1' -~Ь -И(я-Н, М. Тогда уравнением ациабаты Гюгонио будет ~ Т =у(~-Н, б ) - Жя-я )' где 6 зависит только от ~~ и )0 Отсщпа н получаем, что в начальной точке Производные от Р по ~Р вдоль адиабаты Пуассона, очевидно,суть частные производные по 1о от удельного объема > " > рассматриваемого как функция от давления >9 н энтропии э .
Таким образом, выражение для изменения энтропии (4,13) можно переписать в виде /,7~8Р~ У~ 7у ( Руса' /б У г ~ * ' (4.14) Здесь производная ( я/ =Уг, определяется термодинамическими а свойствами среды. Так как при адиабатическом переходе через скачок энтропия в силу второго начала термодинамики может лишь возрастать, т.е. должно быть д-б~ ъ О, то выражение (4.14) налагает условие на знак раз- ности )о — >Р> пля физически допустимых слабых скачков.
Йля срел, для /9 ~1У-~ которых ( -х — у~~ О н, в частности, для нормальных газов при уело>7 >Р вии ~~р~,р~)=~~~~~р~) должно быть у~-р~ > О, т.е. допустимы Ф~Р1 к. лишь скачки уплотнения. В средах, для которых( — ~ О, наоборот, ~,.~Г. допустимы лишь скачки разреження, Покажем, что для нормальных газов вдоль всей адиабаты Гюгонно <~О 6~0 — > О, т.е. с увеличением интенсивности скачка энтропия за скач- ком монотонно возрастает. Это свойство вытекает нз следующего оче- видного свойства адиабат Пуассона для нормального газа (см. рис. 1.1): любая прямая А В в плоскости Ф ю проходящая через точку ~~> >о~ ( д~'>'О 1о~> О) с отрицательным угловым коэффициентом, име- ет единственную точку С касания с адиабатой Пуассона; в точке С вдоль прямой Фд = О и энтропия имеет максимум (вдоль АС и вдоль Я С при приближении к точке С энтропия растет).
действительно, пусть при следовании вдоль адиабаты Гюгонио от центра в сторону роста давления в некоторой ее точке С достигается равенство ске О. Тогда в этой точке касательные к адиабате Гюгонио и к ациабате Пуассона совпадают; их общая касательная проходит в силу соотношения (4.12) через центр О» . Как было показано выше, при движении вдоль такой касательной от центра к точке С сй» О. РассмОтРим функцию Л ~ б у9 ' $>у>уз~)- Ю~ й~уО ф,Р~) = Х-А~ — Уф+Р3~Р-' оД х которая равна нулю во всех точках адиабаты Гюгонно и, в частности, в точках Оу и С. Вдоль прямой> проходящей через центр так что Таким образом, функция Н монотонно возрастает при движении от точки б>у .
к точке С вдоль прямой и, следовательно, не может вновь обратиться в нуль в точке С . Полученное противоречие показывает, что энтропия не может иметь стационарного значения на адиабате Гюгонио и, так как вдоль адиабаты Гюгонио Ф д >. О при росте давления вблизи точки О~ > то и всюду вдоль нее при росте давления сй > О. Иэ доказанного следует утверждение: в нормальном газе скачки любой интенсивности могут быть только скачками уплотнения, вызывающи- ми увеличение плотности и давле Р ния и уменьшение скорости газа, Это утвернщение называется теоремой 11емплена. Качественнея картина взаимного расположения адиабаты Гюгонио и адиабат Пуассона для состояния перед скачком и для состояния эа скачком в случае нормального газа приведана на рис, 4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
