Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть I. Основные понятия газовой динамики и элементы прикладной газовой динамики (1163257), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Из етого расположения следу- ют неравенства — — Ф- (тй~ --4-'- > откуда — б' -~ Таким образом й'у ~ ау, 1> ~ а т.е. скорость газа перед скачком уплотнения больше скорости звука, а скорость газа за скачком - меньше ско1юстн звука. Иначе»скорость скачка по отношению к газу перед ним сверхзвуковаи, а по отношению к газу эа ним - дозвуковая.
При уменьшении интенсивности скачка значения скорости газа перед скачком и эа ним приближаются к скорости звука, как это следует и из формул (4,8): и аналогично для К Таким образом, скорость бесконечно слабого скачка и по отношению к газу перед ним и по отношению к газу за ним равна скорости звука.
Йля совершенного газа с постоянными теплоемкостями согласно (4Л) Заменив здесь 1ту через Я» по формуле (ЗЛ1), получим В разрешенном относительно уо виде (4.17) На рис.4.2 препставлена соотвеч ствуюшая этим формулам адиабата Гюгонио 0«)0» при Д 1.4.Там же приЬедена адиабата Пуассона, проходяшая через начальную точку (пунктнр). Адиабата Гюгонио для совершенного ~о» А» - '( газа имеет аснмптоту — = т к 1е которой она приближается при 7о ~'.
При — = — адиабата Гюгонио Р~ й' 1 пересекает ось Ф'. Можно показать, что и для нормального газа вдоль адиабаты Гюгонис Р У' «~ О при)с ф и Ф1-» ~~(ее при 7О О Таким образом плютность совершенного газа за скачком не возрастает ~-,ф ФХ Рис. 4.2 ~У~ = б,~~ (4.16) Это соотношение, иэ которого, очевидно, следует, что при ~~ «ш» будет T~ »»,, называется соотношением Прандтля. 11ля совершенного газа с постоянными теплоемкостями уравнение Гюгонио (4.10) принимает вид беспредельно при >о -, а стремится к конечной величине (при 1.4 эта величина равна шести, при 3" = 1.2 - одиннадцати). Как показывает рис.4.2, для скачков в газе с 3' = 1.4 при величие не до двух нзэнтропа . = и- является очень хорошим прй- 7% ближением адиабаты Гюгонио. При увеличении интенсивности скачка энтропия газа за скачком резко возрастает.
Так хак согласно уравнению энергии (4,4) полное теплосодержание газа при переходе через (покоящийся) скачок сохраняется, то полное давление газа за скачком с увеличением интенсивности скачка падает. Получим, используя формулы (3.30) и (4Л), выраже> ние для отношения полных давлений. газа за скачком и перед ним: = л,~ ~=х1-.='Гх=х ~ ~-А 3' 3' / 3' Ф ~)Ау (4.18) Рис. 4.3 На рис.4.3 приведен график этой зависимости при у 1.4.
При числах Маха Н~, близких к единице, уменьшение полного давления невелико и выражается формулой А -) —. ж 1- >Г~~:~ф~~-13 . Однао., ЗФ М' г»> ко при росте РГ~ полное давление за скачком >>о начинает быстро г падать; при М~ ~) 1 уо Г ~-У .;~я, ~-У нтенсивные скачки уплотнения явл 3 Ф ляются мощным механизмом диссипации механической энергии - в них механическая энергия газа необратимым образом переходит в тепловую.
Следовательно, в тех случаях> когда необходимо при торможении сверхзвукового потока с достаточно большими значениями числа Маха получить возможно высокое давление газа, следует избегать возникновения интенсивных скачков уплотнения. Наоборот, если необходимо снизить высокое давление, развивающееся прн торможении сверхзвукового потока, то можно использовать для этого скачки уплотнения. Применим теперь законы сохранения (4,1)-(4.3) к более общему случаю, чем рассмотренное ранее течение в цилиндрической трубе без притока массы и импульса извне.
Рассмотрим (рис.4.4) течение в трубе из двух соединенных между собой цилиндрических участков с общим направлением оси и с разными плошадями сечения. Пусть газ течет в трубе слева направо из части с меньшим сечением в часть с большим сечением. Билнндрические участки трубы непроницаемы для газа, а на соединяющем их участке может подводиться газ,обладающий некоторыми импульсом и теплосодержанием. Примем, что в сечении левой трубы перед соединительным участком па- раметры газа распределены равномерно.
1(опустим также, что достаточно далеко вниз по потоку и во второй цилиндрической части трубы параметры газа распределены по сечению равномерно. На соединительном участке трубы и в примыкаюшей к нему части правой цилнндрни ческой трубы могут происходить слож- ные движения, вызванные перемешиваниРис. 4.4 ем втекающего снаружи газа с газом, текущим нз левой трубы, и резким изменением площади сечения трубы, 11ля нахождения зависимости параметров газа в сечении 2 достаточно далеко вниз по потоку,где завершилось их выравнивание по сечению трубы, от параметров газа в сечении 1 перед соединитепьным участком 'и от параметров газа втекающего на участке 11 (рис.4.4), применим вновь законы сохранения (4.1)-(4,3), Заметим, что если найдена какая-либо система значений параметрсв газа в сечении 2, то обязательно существует (дпя нормального газа) еще одна система значений, связанная с первой соотношениями на скачке.
Заранее отбросить систему с меньшим значением энтропии на основании результатов, полученных при изучении скачков> непьзя> так как в общем случае аднабатических течений может оказаться, что оба решения соответствуют значениям энтродии> бопьшнм,чем суммарная энтропия газа в сечении 1 и газа, втекаюшего в трубу между сечениями 1 и 1, т.е. оба решения не противоречат второму началу термодинами- Ф ки.
Физически допустимое решение ппя адиабатических течений должно удовлетворять условию р»5> ~>>>Ъ;Ю>>> — )р»,>На . 8~ Рассмотрим последовательно несколько важных примеров. Течение в е с внезапным расши ением Пусть длина участка 11 равна нулю (рис.4Л) и в сечении, где соединяются трубы разной плошади, нет подвода массы и энергии.Пренебрежем также внешними массовыми силами. Обозначим через 5 площадь сечения левой трубы н через .> - площадь сечения правой трубы. Уравнения (4.1)-(4.3) примут тогда внд рК5 -у,~~8~ ~~0 0'(~~)8 = (Р РР)Ь|+Х, >>$ 5(~~ 6(-»Ъ~8, ( ~' +А>). (4.18) От соотношений (4.4), использованных при установлении условий на разрывах, эти выражения отличаются тем, что 8> Б~ и тем, что в уравнении импульсов присутствует слагаемое Х равное проекции на ось трубы внешней поверхностной силы> действующей на газ ( кроме 64 сил давления в сечениях трубы 1 и 2).
В рассматриваемом случае, пренебрегая трением газа о стенки между сечениями 1 и 1, эту силу можно записать в виде /> > к./ / (4,20) / где /о есть среднее давление на стенке трубы, образуюшей ступеньку Рис. 4,5 В предельном случае несжимаемой,среды скорость 1/ определяется уравнением расхода — = — а из уравнения импульсов находится дав- У й ~/; 8 ление ~0: .1С~ ~~с (4.21 ) площадью 5' — 5'~ . Отметим, что уравнение энергии в системе (4,19) с учетом уравненкя сохранения расхода приобретает вид Ы~~ — - 4= — А р / > так что полное теплосодержание газа в сечении 2 равно полному тепло содержанию газа, текущего в левом участке трубы.
Система трех уравнений (4.19) после замены Х по формуле (4.20) позволяет выразить /кэ> р и 1/' через заданные значения )с/>)о~,~/у> плошади сечений труб 8у и 8 и величину р/. Поэтому для нахождения /з, >о н У необходимо еше одно условие, позволяющее определить и величину )о~ Если скорость втекаюшего газа в сечении 1 дозвуковая, то, как и при дозвуковом истечении газа в неограниченное пространство, можно / принять> что давления )/у~ и )с одинаковы. При сверхзвуковой скорости втекаюшего газа давление уз может / сильно отличаться от давления )су н его можно найти лишь в резуль тате спепнального расчета, учитывающего перемешнвание газов на гранипе вытекаюшей струи и области медленного пнркулядионного движения газа за уступом стенки трубы.
Если скорость в сечении 2 дозвуковая и в этом сечении труба выходит в пространство с заданным давлением >се, то следует принять р ~/з > после чего система (4.19) с учетом (4.20) позволит определить ~0> 1/ н )с )с~ (а, следовательно, и расход газа через трубу). Нужно подчеркнуть, что выравнивание параметров газа по сечению трубы при сверхзвуковой скорости происходит медленно н требует значительного расстояния; при- этом становится заметной роль треви га.- за о стенки> что необходимо учитывать в расчетах. Из уравнений неразрывности и импульса при уо ~с получаем Таким образом, при течении с малыми скоростями в трубе с внезалным расширением происходят потери полного давления, тем большие, чем больше увеличивается сечение трубьь Так как для несжимаемой среды "г,1~ А =у "'С~~" о > где С - теплоемкость и С7 — внутренняя энергия, то из уравнения сохранения полного теплосодержания найдем Это соотношение позволяет вычислить температуру среды после прохождения ею внезапного расширения трубы и показывает, какая доля кинетической энергии среды необратимо переходит в тепловую.
Эта потеря кинетической энергии аналогична ее потере при неупругом ударе сталкиваюшихся тел; поэтому и в газодинамике потери полного давления газа при внезапном расширении трубы называют потерями на удар, При течении сжимаемого газа формуле (4.21) верна с точностью до членов порядка М~ включительно . 1(ля получения точного выражения для потерь полного давления разрешяв1 сначала систему (4.19) с учетом (4.20) относительно К для случая совершенного газа с постоянными теплоемкостями. В результате получим ~г~з ~~у ~~а)~~(Б ~) (Я) ~5 (4.22) сх Р 8 Пва параметра — и — входят в это соотношение в комбинадяи ,д Р~ 8у При ЮlЯ~ 1 верхний знак перед корнем дает равенство )' а нижний знак - значение скорости за скачком уплотнения при.М~э 1 и разрежения — при М~ ( 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
