Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть I. Основные понятия газовой динамики и элементы прикладной газовой динамики (1163257), страница 6
Текст из файла (страница 6)
в частице, то скорость называвтся дозвуковой1 при К) ~2. скорость называется сверхзвуковой, Отношение Я = — является фундаментальным бэзразмэрным парамета ром в газовой динамике и называется числом Маха. В ряде случаев величину а, удобно считать одним нз термодинамичес- кнх параметров, характеризующих состояние среды. Если теплосодержание 4 принять за функцию энтропии ~ и скорости звука Ы т.е. л.
4(э- д) то из соотношений (6.9) и (5.10) следует, что прн установившемся адиабатяческом обратимом двнжэнии газа скорость T и скорость звука а связаны условием '~/Я у у+ ь ~+, а3- 4 (3,22) где Д и б- - константы. Для совершенного газа с постоянными тэплоемкостямя эта связь име- ет простой внд (см. формулу (1.10) для ф, ) у'~ д а $/" Л + ~ Ф и не содержит энтропии В заторможенном состоянии 1 '" 0 и й. принимает наибольшее зна- чение а,; при Ъ~ Ъ.
величина а, О, В этом и в более общем случае' нормального газа прн данных 4 н + можно представить состояние, в которому О,-У~э ° Это состояние называется критическим, а соответст- вующие эму значения скорости 1яр и термодинамнческнх параметров )о,~, )0~,, Ткр — крнтичэскими значениями. Очевидно, что при критичэскоь1 состоянии Н М„а " 1 Покажем, что для нормального газа критическое состояние существу- ет и единствэнно. Зля этого, полагая в условии (3.22) T~ д,~=.-ф- подучим уравнение для нахождения хритического давления ~'~ 4-4. — -' — =о.
Ю~ 3 Юру 30 с ростом числа Маха падает; при очень больших числах Маха скорость газа при изменении площади сечения трубки почти не изменяется — она достигает своего максимального значения Ъ' „гс)ело" Йля того, чтобы при движении сопли вдоль трубки при переходе сечения, где Ж = 1, величина >Х 1" сохраняла знак, необходимо, чтобы величина сК8 в Рис. 3.3 этом сечении обращалась в нуль и меняла знак. Прн Н = ! площадь сечения минимальна, трубка имеет в этом сечении пережатие - так называемое "горло".
Таким образом, непрерывное ускорение квазиодномерного потока газа от дозвуковой скорости до сверхзвуковой или непрерывное горможение сверхзвукового потока до дозвуковой скорости возможно лишь в трубке с "горлум". Такая трубка, изображенная на рис.3.3, называется соплом Ла- валя Формулы для совершенного газа Для совершенного газа справедливы соотношения '~/'д ~е,»» — ~с У'=с Т = —. (3.27) Отсюда 7" $/~ — = 1 — — у У' Обозначим — =~~ и — =4- .
Тогда Кр — - У-Л т и т. т. При обратимых адиабатическнх течениях (3.28) (3.29) и> следовательно> (3,30 ) и) Шведский инженер Лаваль (1845-1913) впервые применил такие трубки для создания сверхзвуковых струй водяного пара, вращающих рабочее колесо паровой турбины. Так как Л = 1 при >>> = 1, то критические значения параметров газа ~7„у>, О 7, связаны с параметрами торможения формулами В табл, приведены значения этих отношений для нескодьких значений Записав соотношение (3.27) в виде а,~ р' ,)> — 1 н поделив в нем все слагаемые на — получим связь между величи> ной Л ндн >ь н чнсдом Маха Н: у+1 СГУ)мг Лл ~:7 Г (3 31) Пользуясь этой связью н формулами (3.29) ° (3.30), можно выразить зависимость температуры, давления и длотности от числа Маха: (3.32) На рис.3.4 приведены зависнмост и — и — от Л.
при т р. О = 1.4> а на рис.3.5 — связь между Я и Н ддя этого же значения Запишем уравнение сохранения расхода газа Я через трубку в вице Рр~ =1х ущ ~я~я (З.зз) о й4 аг уй хи яд д * При заданных параметрах тормо.кения введенная здесь величина Ю4р одределяется значением расхода Д и может использоваться вместо Я.
Рис. 3.4 33 Иэ уравнения (ЗЛЗ) найдем связь между плошадью сечения трубки Я и безразмерной скоростью Л или числом Маха М в виде: (ЗЛ4) й-Д ~Ф функция у Я), представляющая собой зависимость от Я. безразмерной плот- ,ой/ ности потока массы ~ иппюстри» й у-»р яр рована графиком на рис.3,6а. функция ~у (Л) обращается в нуль при Л. =О (из-за того, что обращается в нуль скорость Ъ"; плотность при этом равна плотности торможения )О ) я при а, д у я я +,аи Я~+7 — (нз-за того> что обращается Рис. 3.6 в нуль плотность; скорость при этом рав- на ~~ )1 при Я. " 1 функция уЯ) имеет максимум, равный единице. Полезно величину у Ф+- выразить как функцию отношения Пользуясь соотношением = (4~— ~ -( .
~г ~- ~ и связью (З.ЗО) между Й. и, получим График этой функции приведен на рис,3.6б. Так как плотность потока массы~ОК при заданных параметрах торможения и, следовательно, при заданном р, 14у~ имеет максимум, 0.8 О йэ ай и уа. ~» Д 0 О') а+ аб ОВ Рис. 3,6 34 то ясно, что при заданных параметрах торможения существует предедьное значение расхода газа, который может протекать сквозь зацанное сечение трубки. Это наибольшее значение расхода газа называется критическим.
Наоборот, при заданном расходе газа С сечение трубки не может быть меньше предельного, опредепяемого формулой Я 0 )О~р Ъкр Эта минимальная величина площади сечения трубки называется критической. Подчеркнем, что при критическом значении расхода скорость газа равна скорости звука. формулы (3.27)-(3,30) при заданной совокупности значений парамет ров газа Р; ~О ~ (О и 7 могут служить просто опредепеннямн вепнчин 7~, ~~, Л, уц,,~о .
Эти величины можно ввести для любого потока, Как уже подчеркивалось ранее, удобство их введения для установившихся адиабатяческнх обратимых течений состоит в том, что в таких:течениях значения Т„, ~l~,;о,~о, остаются неизменными вдоль трубки. Формулы (3.23) и (3.30) дают при этом зависимость температуры, давления н плотности от скорости газа. Формула же (3,34) при постоянном значении Я в,опредепяемом расходом и параметрами торможения, устанавливает связь между скоростью и площадью сечения труб- Течение в сопле Лаваля (1) Рассмотрим возможные режимы истечения газа из сосуда больших размеров через сопло Лаваля (рис.3.7) с заданными площадью минималького поперечного сечения ~~.
и плошадью выходного сечения Изучим сначала изменение режимов течения газа в сопле при изменении расхода газа через сопло В. При В = 0 скорость газа всюду в сопле равна нулю, а давление постоянно н равно давпению уэ в резервуаре (прямая 1 на рис, 3,7,), При малых Й величина Якр в выражении (3.33) будет меньше,% . Согласно зависимости (3.34) величина 9 .(см. рис. 3.6), равная нулю при Зг 4 неограниченно больших значениях 8, возрастает при движении вдоль трубки с уменьшением Я, достигает наибольше- Якя го значения, равного в горле' ог Рц сопла, а при дальнейшем движении вдоль сопла вновь убывает до значения Зе 8, в выходном сечении.
Согласно г Як с таким поведением величины ~ дав пение газа в сопле уменьшается при приблаженни к минимальному сечению, а затем вновь возрастает к выходу из сопла (кривая 2 на рис.3.7). Скорость газа всюду дозвуковая и имеет максимум в горле. При увеличении В до Рис. 3.7 некоторого значения О ~ величина 5~р 38 станет равной Я ..
При этом наибольшее значение функции 0 в горле сопла станет равным единице, т.е. функция <р достигнет своего максимума. Скорость газа в горле достигнет критического значения, т,е. станет равной скорости звука, а давление упадет до значения ?о,~ (кривая 3 на рис.3.7). Очевидно, что дальнейшее увеличение О прн данных условиях в ререзервуаре и данной плошади горла невозможно,так как при этом отно- 8 щенке, а, следовательно, и величина у достигли бы наибольшего возможного значения, равного единице, еще до горла. Так как при О О„,.
функция ~ достигает максимума в горле сопла, то дальнейшее движение вдоль сопла, сопровождающееся ростом Я и соответствующим уменьшением ~, может происходить с уменьшеныем скорости и увеличением давления (кривая За на рис.3.7) или с увеличением скорости и падением давления (кривая Зб на рис.3.7). Иными словами, при достижении скорости звука в горле продолжение течения в расширяющуюся часть сопла может происходить двумя различными способами; это может быть либо замедляющийся дозвуковой поток, либо ускоряющийся сверхзвуковой поток.
Таким образом, изменению расхода О от нуля до 0 О„о сост ветствует совокупность возможных установившихся адиабатических обратимых течений в сопле Лаваля, в которых давление в выходном сечении сопла меняется в интервале от -0 при О = 0 до некоторого минимального значения ~0у ) ?0чэ при О б) . значению Д ОА?, соответствует также второй - сверхзвуковой-режим течения в расширяющейся части сопла, при котором давление геза в выходном сечении сопла равно некоторой величине 70 . ( ~0„а . Рассмотрим теперь истечение газа из резервуара с давлением Фз, через сопло Лаваля в пространство с давлением 0а ж -0 . При ~0 )0 газ покоится, так что б' = О.
Как будет показано в последующем, при дозвуковом истечении газа нз сопла давление газа в выходном сечении следует принимать равным давлению в окружающем простРанстве. ПоэтомУ пРи понижении давлениЯ 70з в интеРвале от ?О до )0у давление в выходном сечении изменяется как ~0 и расход газа через сопло возрастает от нуля до максимальной возможной величины 0,7к Что пРоизойдет, если Оа бУдет падать дальше — ниже значения ру ? Изложенная выше теория не позволяет ответить на этот вопрос; из этой теории следует, что при р„ ( ?0у не существуют установившиеся адиабатические обратимые течения с давлением в выходном сечении сопла, равным ?0д. Исключение составляет лишь случай так называемого расчетного сверхзвукового истечения из сопла, когда Ре;0 Ответ на поставленный вопрос требует дальнейшего существенного развитии теории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
