Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть I. Основные понятия газовой динамики и элементы прикладной газовой динамики (1163257), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Еспи система (частица среды) геплоизолирована, хотя и может подвергаться различным силовым воздействиям, то процесс изменения ее состояния называется адиабатическнм. Прн адиабатическом процессе ц(у <а~ = О, так что, если процесс обратим, бМ О и, следовательно, энтропия частицы при адиабатическом обратимом процессе сохраняеч ся постоянной: 3. - ссИг+8. При адиабатическом необратимом процессе изменения состояния сКя > О> т.е, энтропия возрастает. В дапьнейшем будут рассматриваться двухпараметрические среды, т.е. среды, у которых лишь две из термодинамических величин являются независимыми, а все остальные выражаются через них с помошью так называемых уравнений состояния.
Соотношения (1.2) и (1.3) показывают, что уравнеьшя состояния двухпараметрической среды определяются заданием лишь одного такого уравнения в виде Е = В~Гя у) ипи в виде 4 =Я(р,э).действительно,в первом случае нз уравнения (1.2) следует: Величина С определеннея формулой С~у.- ~," называется удельной теплоемкостью. Очевидно, что удепьнея теплоем кость зависит от вида процесса изменения состояния. Из выражения (1.1) следует, что при постоянном объеме ,г~"'= ~ гт.
Соответствуюшая теплоемкость С ==, нэзывается удельной теплоемкостью при постоянном объеме. Тэк как при постоянном давлении ~е) ~~4 ~у. М/ а(? ус то величина С,= — есть теплоемкость при постоянном давлении. С ~ИРМЖЖ см Г Р ние, плотность н температура связаны уравнением Клапейрона 4.=С А.— -со й~ Р ук ?О - СОУМИ Е 1С", (1.7) (1.8) 7 ,- =я~т, (1.8) где Х - постояннэя величине (газовая постоянная), разнея для разных п Яе газов. Есин и -масса одного модя газа, то .д ~ где Я, — универсельнэя гезовэя постоянная: Я „= 8Л144 10 эргlмоль грац. Внутренняя энергия совершенного газа есть функция только температуры, ))ействительно, из (1.2), рассматривая э и е как функции ту. и 7, получим Р:4.
с9Е о'э Зе д е Т . т — = — = — +Р— . ОТ 8?" ' ст9 дхк ) дху г~ Искпючив перекрестным дифференцированием э найдем что — ' 1 З1Р = О. При известной е('?) ддя энтропии получаем выражение э- = Р ~'и и +,~ е'( У3 агля совершенного газа Я = ГЯ~'ЯТ, т.е. тепдосодержание есть функция только температуры н с — с =Р. Р Если С ~ саий6 то и с сои46. Модель совершенного газа с постоянными теплоемкостями С и С е широко используется в теоретической газовой динамике и удовлетворительно описывает поведение реальных газов при обычных условиях.
Йля совершенного газа с постоянными теплоемкостями Е=С„?, Я=С,.? а энтропия и- выражается формулой +=УГаи ~-С„А2"- СОМ~. Отсюда и из (1.6) получаем ср где ) - отношение теплоемкостей с„ Уравнение (1.8) при 4- с»тьех есть уравнение адиабаты Пуассона для совершенного газа с постоянными теплоемкостями.
В связи с этим величина у- незывается также показателем адиебаты; она является важной безразмерной характеристикой совершенного гаев с постоянными теплоемкостями. Так как Я О и с ' О, то всегда р. д. Йпя одноатомных газов р"= у для двухатомных р' З..- . Зля воздуха при нормальных условиях г близка к величине 7Л. Пользуясь величиной г выражениям для е и 4 можно придать е= —— Р ~ К Р к-~ У (1.8) Ндйй(альных газ Многие основные закономерности движений совершенного газа с постоянными теплоемкостями сохреняются и для двухпараметрических сред с более общими термодинвмическими свойстввми, если только звдающие эти среды функции е ( ~~ е) или Я ~.0, е.1 удовлетворяют некоторым ограничениям.
Большвя часть этих ограничений вполне естественна с физической точки зрения. Такие среды принято называть нормельными гезвми. Определения нормального газа несколько отличаются у различных авторов, в связи с чем несколько отличается н совокупность свойств совершенного газа с постоянными теплоемкостями> которая сохраняется н для нормальногс газа.
Будем называть нормельным газом двухпараметрическую среду,для которой хврактеризующая ее функция 4 (.>з +) обладает следующими / > свойствами: 1, Фунхпия ух (р, +) олредепена и трижды непрерывно днфференцируема в облвсти О~ р ~со, з с 4ч. 4+,(может быть ~ — » ~ => э). 2. Всюду в указанной области функция 4 и ее производные удовлетворяют неравенствам: в) ДъО б) Ао>0, 4й >О .) А (7 6„,>О М о. 3. Функция 4 удовлетворяет предельным соотношениям Ь й(р,Я=О, 6 й~р,й-О, й"к~ А~р,+>- 1в.м>д Е-мй з е.З,. а ее производная 4 е - соотношениям ф.Ь,(р,ю=-, ам%,С~,м-о Отметим> что свойства а,б,в п.2 физически очевидны или совершенно естественны.
В самом деле, свойство а) сдедует нз определения Р 4 Е > — и положительности внутренней энергии й и величины давления (дпя сжимаемых капельных жидхостей, в которых давление может быть отрицательным, условие а) может не выполняться; однако, в обычных усдовиях и капельные жидкости не допускают заметных отри- цательных давлений). Так как величины 4, Р и э- связаны дифференциальным соотношением (1.3), из которого следуют выражения (1.5) К - ~=о. 4-т 1е С х то, очевидно, что условия б) всегда выполнены. Условия в) утверждают, что адиабатическое обратимое увеличение давления должно право- дить к росту плотности нормального газа и его температуры - поведе ние, вполне естественное с физической точки зрения.
И лишь условие г) не является физически очевидным нли вытекающим из каких-либо общих термодинамических сосбражений; в принципе могут существовать реальные газообразные среды, в которых это условие не выполняется. Однако, все распространенные газы, их смеси> пары различных веществ удовлетворяют условию 4~р э = — (» О . д ?у. ар / В некоторых случаях вместо условия г) мы будем пользоваться более сильным условием Л ЛЯ,... г') М),У,1о» Р эквивалентным условию яэР >О Неравенства и. 2 определяют простые свойства аднабат, т.е.
кривых Ф сРЖИ~ ~ НОрМаЛЬНОГО Гаэа В ПЛОСКОСТИ 8Э~~О (ТОЧНЕЕ - В Кналраите 1Г»0, )О» О). Покажем, что через любую точку этого квадранта проходит одна и только одна адиабата 7У' 41о1)О,Ф ).действительно, из второго условия в) следует — / » 0; поэтому прн каждом данном ~О значение байк / Р4 Р 11 монотонно возрастает с ростом э= меняясь в силу предельных соотношений 3 от 0 до оо этим и докезывается утверждение. Соотношеэ ния 3 показывают также, что оси тэ и )с являются асимпто- Р тами для всех адиабат.
Соглас- но условию г) все адиебаты стро- 8 го выпуклы в сторону овей и ~Э. И, наконец, согласно I второму условию в) большим значениям энтропии соответствуют адиабаты, лежащие дальше от начала координат. С В газовой динамике болыиую 4 5, 4»Ь, роль играет производная дР / а„ /+ Эта производная, очевидно равная - — с — для нормального А 6рр ' газа в силу первого неравенства 0 в) не, может быть отрицательной. Величина а определенная формулой Рнс. 1.1 интегрируемые особенности этих величин в точках или вдоль линий и поверхностей в пространстве, Закон сохранения массы В ньютоновской механике фундаментальным законом является свой ство любого материального объема сохранять свою массу во времени. Таким образом производная по времени й' от массы 48 ~~:) материалы- ного объема равна нулю — ~"„,ы =о.
6~ .АЗУ Интегрируя это соотношение по времени от момента 8, до момента усй. — )0ай. 0 Отметим, что для любой аддитивной величины А (скаляра или вектора), определенной для частиц среды, вследствие сохранения массы каждой частицы и массы всего материального объема справедливо соотноше- ние ф~уАА- Д~ААпа ) ~ ~ йт ~р~~Ы, ~~А Р а'А ~» М ,Ф эь» где — „г~Г есть индивидуальная производная по времени от гъ т.е. производная по времени от значения А в частице, Дакон сохранения количества движения (второй закон Ньютона) и закон сохранения момента количества движения Основным динамическим соогношением механики сплошной среды яв ляется закон сохранения количества движения. Согласно этому закону скорость изменения количества движения Л (Ц любого материального объема равна главному вектору У всех действующих на него внешних сил — массовых и поверхностных: — ~рог - Я Ы Г— (2Л) ф» В проинтегрированной по времени форме это соотношение имеет вид1 ~Ура ) -(ХуГ~) -.)1К и называется уравнением импульсов, так как его правая часть представляет собой импульс внешних сил, действующих на материальный объем в течение времени от 8р до ь .
Стоящее под знаком интеграла выражение для внешних сил не обязательно непрерывно по времени и может иметь при некоторых значениях 8 особенности, приводящие к мгновенным конечным изменениям импульса внешних сил, а следовательно, и количества движения материального объема. В общем случае независимо от закона сохранения количества движения формулируется закон сохранения момента количества движения.
Согласно этому закону скорость изменения момента количества движеши Я произвольного материального объема равна сумме моментов Ж 12 Выражение для скорости изменения энтропии Для нахождения скорости изменения энтропии я материального объема используем соотношение (2.2) для величины Б .>> 3У>'>.-ХУ» ~~ ~>> и термодинамическое соотношение (1.4)> которое мы преобразуем к виду Та~4= ~, СН + ~)~ бй., I где Д~ - тепло, подводнмое к частице извне, и ~И - вьшелякхцееся в частице нескомпенсированное тепло, отнесенные к единице массы и единице времени.
В результате получим выражение сЫ ~' У .и у„т — à — (у + уй)ыг. Если приток тепла к частице происходит сквозь ее поверхность, то, введя вектор потока тепла у М), получим для каждой бесконечно - малой частицы с объемом >И>Г и поверхностью >б уют~~» -~у„сй" —,~йл~~ йс — сйо у~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
