Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть I. Основные понятия газовой динамики и элементы прикладной газовой динамики (1163257), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Однако, в силу равенства этих слагаемйх, очевидно, что полное теплосодержание газа при переходе через ударную волну сохраняется и в общем случае (в системе координат, в которой ударная волна в данной точке неподвижна). Все выводы, полученные в Ф 4 для скачков, остаются в силе и в общем случае> если под скоростью там понимать ее нормальную составляющую.
В частности, сохраняется соотношение Гюгонио и все следствия, вытекающие из его анализа. Приведем еше условия на ударной волне в системе координат, в которой газ перед волной покоится. После несложных преобразований получим ,)Ог ~ )Оя~ йы ~,) ~ Для поверхности контактного (тангенпиального) разрыва в этом случае И" ~ И' э О, т.е. газ вблизи рассматриваемого элемента поверхности разрыва может иметь лишь касательную к элементу составляющую скорости.
Зля ударных волн, для которых Ьа~~ Ф О, 84» Ф О, преобразуем систему (7.24)-(7.26) следующим образом. Вместо уравнения (7,26) запишем его проекцию на нормаль к разрыву и его векторную составляющую (7.28) в касательной к разрыву плоскости. С учетом того, что Ф, Ф О, это даст Выведем одно важное следствие соотношений (7.20) для ударных волн. Уравнение импульсов в проекции на нормаль к волне умножим почленно на О после чего вычтем из уравнения энергии. Это даст Умножив и разделив последнее слагаемое на с, вынесем за скобки )З(г~',-Я7). Используя уравнение сохранения массы, найцем ~ Я.— „з/-о.
Отсюда следует, что при б Ф 0 полное теплосодержание газа изменяется при прохождении по нему ударной волны, причем ~д,-~сН =~Й~„,— Йи) ~)" ~~-Р— 3©~)Ф-Ьв )- Так как для волн сжатия ~0~ ()О а Ф и Ж- Ф имеют одинаковые знаки, то при Ю Ф 0 всегда А )4„~, т.е. полное теплосодержание газа после прохождения по нему ударной волны увеличивается. 6 8.
Некоторые свойства системы дифференциальных уравнений газовой динамики В предьшушнх разделах было установлено, что параметры движущегося газа (скорость, давление, плотность и другие) являются в общем случае кусочно-непрерывными функциямн координат и времени. Эти функции должны удовлетворять законам сохранения массы, импульса и энергии для произвольного индивидуального объема. Как следствие в области их непрерывности и гладкости они должны быть решениями дифференцналь ных уравнений (7.12), а на Разрывах должны удовлетворять соотношениям (7.20). Уравнения (7.12) вместе с замыкающим соотношением (7.13) представляют собой систему пяти дифференциальных уравнений в частных производных для определения зависимости трех компонент скорости, давления и плотности от четырех переменных: трех пространственных координат н времени.
Эта система квазилинейна, т.е. линейка относительно производных искомых функций и нелинейна относительно совокупности этих производных и самих искомых функций. Важнейшим свойством системы уравнений газовой динамики в общем случае неустановнвшихся движений является ее гнперболичность. Зля установившихся течений, когда распределения параметров движущегося га за в пространстве не зависят от времени, система уравнений приобретает особые свойства и при некоторых условиях утрачивает гиперболичность: становится эллиптической или смешанной' - пиперболической в одной части области пространства, занятой газом, и эллиптической - в другой 107 Изучение общих свойств решений таких систем и получение частных решений, соответствующих конкретным условиям пвижения газа, - весьма трудная математическая проблема.
Теория гиперболических систем квазилннейных уравнений быстро развивается. Тем не менее, построение ее теоретяческого фундамента все еще нельзя считать законченным. Наибопьшее продвижение достигнуто при изучении уравнений с двумя независимыми переменными. Но и для таких систем теории приобрела опредепенную завершенность лишь в случае одного уравнения или системы двух уравнений; дпя систем с большим числом уравнений нет достаточно общих теорем существования и единственности решения задачи с начальными данными. В газовой динамике система уравнений (7.12) имеет две независимые переменные только при одномерных неустановившихся и двумерных установившихся движениях (см, ч.
П н ч. Ш ). Прн этом в общем случае одномерных движений система гнперболнчна л состоит из трех уравнений. К такому же чиспу уравнений можно свести систему дпя двумерных установившихся движений (эта система может быть гиперболической, эппиптической н смешанной), В спепнапьных случаях баротропных движений обе эти системы можно привести к двум уравнениям. Трудности, возникающие при изучении решенкй систем со многими независимыми переменными, в полной мере проявляются уже прн исследовании решений систем из трех или большего числа уравнений с более чем двумя независимыми переменными. С другой стороны, большая часть важных характерных свойств решений многомерных систем обнаруживает ся и у решений систем нз трех уравнений с двумя независимыми перемени ымн. Поэтому мы не будем излагать теоретические данные о свойствах решений системы уравнений газовой динамики (7 12), вытекающих из ее х) гиперболичности, в общем многомерном случае.
Важные сведения о свойствах решений гиперболических систем будут получены ниже при рассмотрении одномерных неустановившихся движений (ч.П) и двумерных установившихся движений (ч. Ш ). Напомним некоторые кинематические свойства поля скоростей и динамические свойства движений газа> определяемых системой (7.12). Важными кинематическими характеристиками поля скорости являются вихрь скорости и пиркупяпия скорости вдоль линии .г= ~Р8Е С (иа линии С выбрано направление и д 8 есть векторный элемент этой винни). Остановимся кратко на основных теоремах о пиркуляпии скорости и о вихрях, подробно налагаемых в общих курсах механики жидкости и газа и механики сплошных сред ( 1-43. х) Подробное изложение этого вопроса дпя общих квазнпинейных систем дано в книге ( 6~ н с приложением к уравнениям газовой дянамики — в ( б 1 .
ф--ф > ~ .гУ--('( ~~ '~ ~р)~.,>. я С помощью тождества чмэ~ ('А ~уз«Ы~) (р ккрм,'А Х ~ вакф) преобразуем это выражение к виду кР Р У (88) Если воспользоваться равенством , =~ ЫЮ-7 то> аналогично (8.3) > получим — У~~ ~гх 6>) ы Соотношение (8Д) для скорости изменении циркуляции по замкнуто- му жидкому кинтуру или равной ей удвоенной скорости изменения пото- ка вектора вихря сквозь такой контур выражает собой теорему Вьерк песа; эта теорема используется в динамической метеорологии. При соблюдении условий теоремы Томсона вихри в движущемся газе сохраняются, т.е. если их нет в некотором индивидуальном объеме в данный момент, то их не будет в дальнейшем и не было прежде. В этом утверждении состоит теореме Л этранже.
'3й Отсутствие вихрей равносильно существованию потенпиала скорости '. Р ужч8уя. Поэтому согласно теореме Лагранжа при условиях теоремы Томсона потенциальные движения обладают свойством сохраняемости; этим объяс- няется большая роль, которую играет в теории изучение потенциальных движений, Подчеркнем еще раз, что все предыдущие утверждения теряют силу, если либо движение не баротропно, либо внешние массовые силы не об- ладают однозначным потенциалом, либо поле скоростей не непрерывно. Лля потенциальных баротропных движений в потенциальном поле внеш- них массовых сил уравнение импульсов в форме Лэмба-Громекн может быть проинтетрировано. Лействительно, при со = 0 это уравнение име- ет вид: Подставляя в него ~~.
д"иЫу>=ф ими и у~~утчза~)с. ~~иЫ/-4 . - Я йЫР~~о3, получим ф >,".. -с)-о, я) Отметим, что при заданном поле скорости т потенциал определяется с точностью до слагаемого, которое может быть функцией времэнн > !16 откуда (8.4) Возникшая при интегрировании произвольнэя функция от времени положенв без огрвннчения обшности. равной нулю, поскольку потенциел ~р определен с точностью до слагаемого, зэвисяшего от времени. Интеграл (8,4) называется интегралом Коши-Лагранжа и заменяет в случае потенцнэльных баротропных движений векторное уравнение импульсов.
Уравнение неразрывности (7.6) для потенциальных движений с учетом того, что с(ыР 1' сй~Ру~кЫ~Р"Л(~( Я - оператор Лаплеса), можно записать в вице (8.6 ) Уравнения (8.4) н (8.5) образуют систему для опрецеления двух функций: потенциала скорости у и плотности ~0~ которыми описывэются потенциальные баротропные (в частности, изэнтропические) движения сжимаемого газа. Из этих двух уравнений можно получить одно уравнение второго порядка для потенцнэла у>, если записать уревнение нерэзрывности в виде — + а~~~о)Л ~р = О с(Е с~Р АР сЫ сЫ а.~кй (зпесь использовано преобразование — = — — у- — ~~)и под~р~у ~Б ~М ставить в него Р из интеграла Коши Лагранжа.
При этом оперетор сЫ тэюке выражается с использованием потенциале у~: ы =а~ ~Р ~~'Р Приведем полученное твким путем кваэилинейное дифференциэль ное уравнение с частными производными второго порядка для у~ в декартовых координатах: ~~ее т~ у -ей Щ Жб .~ — а~) ~ +йту -а,д)~уу+ ~ у -а З~д 8сстУ ~~юиУУ ~ ГМИНУ' О. Здесь ы =у~~, ту ~~, иР = ~ея, скорость звуке а. вырежается через производнйе от ~о с помошью интеграле (8.4) и условия баротропии ~О ~О~~О) .. 111 Литература 1.
Седов Л.И. Механика сплошной среды> т. 1. - Мл Наука, 1983; т. П. — Мл Наука, 1984. 2, Бэтчелор .Йж. Введение в динамику жидкости. — Мд Мир, 1073. 3. Кочин Н.Е„Кнбель И.А„Розе Н.В. Теоретическая гидромехани- ка, ч. 1 и ч. П. Мл Физматгиз, 1083. 4, Лойцянский Л;Г. Механика жидкости и газа.
- М: Наука 1078. 6. Овсянников Л.В. Лекпии по основам газовой динамики. - Мл Наука, 1073, 8, Курант Р. Уравнения с частными производными. — Мд Мир, 1984. Г.Г.ЧЕРНЫЙ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ И ЗЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Учебное пособие Объем 2,0'1 уч.пзд.л. 9,8 усл.п.л. '1 ехпический редактор И.В.Топор:пгга Подписало к печати 11.П.1985 г. форе ат УО х 108 1/16 Заказ 3236 Ротапринт 11ыстптута механики ИГУ Л вЂ” 63026 Тирах 300 зкз. 11ена 20 коп. Цена 20 коп, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
