Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть I. Основные понятия газовой динамики и элементы прикладной газовой динамики (1163257), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Наряду с объемом (/ (подвижным> если поверхность разрыве перемешает- Ф ся в пространстве) введем подвижный объем ~/", свяэенный с частицами среды и совпедеюший в момент времени ь с объемом '~, Рис. 7.1 102 Коэффициенты в этой системе суть функции )о и 4 . Одне из употребительных форм уравнения импульсов получается при использовании тождестве ~~Р ~~~,у ~~ Л~', ~~~ ру.;,„~~) где Ы ~ кФк и - вектор вихря скорости.
Заменив в уравнении импульс(р' сов (7.15) производную ~х согпасно этому соотношению, получаем уравнение в форме Лэмба-Громеки Звконы сохранения массы, импульса, момента импульса, энергии и интегральное вырэжеяие для скорости изменения энтропии в индивидуаль-' ном объеме Ъ'", приведенные в 6 2, можно записвть в следующей общей форме (А, Л и С - величины, о которых говорилось ренее): » ) А Ы» = )(3 к) "' )ссй . У~Й) о У' В том же Ф 2 была получена формула, связывающая производные интегрела, от функции А по индивидуельному объему Ъ"" н по подвижному объему 1~: —,)Аг~ж = ~~ ~Асй .",~А(О„-а)сй.
(7.17) ~Г "й) 1~Ф гк Используя эту связь между производными, для объема Ъ» можно нз- писэть соотношение ЯА(Оп З)- ~В. Й)Лб =- — ~ Ясй"~ ~ Сб(5'. (7,18) аЫ Перейдем теперь в этом соотношении к пределу при ут О, Твк как выражение под знаком интеграла в левой части ограничено,а плошадь боковой поверхности Ю стремится к нулю, то в пределе этот интегрэл перейдет в интеграп по резным сторонэм области 6' с противополож- ными направлениями нормалей 5 = — Я,, Обозначим пэраметры гэзв с одной из сторон учестка поверхности б' индексами 1 и условимся направлять нормаль к поверхности раз- рыва в сторону, которой соответствует индекс 1.
Первый интеграл в правой части (7.18) можно звписать в виде — )АЫ»- 4 — )А Ы», Ъ~ б' где А - среднее значение А на отрезке длиной Х нормальном к поверхности разрыва. При Ф - О это выражение стремится к нулю, поскольку предполагается, что функция А ограничена вместе со свои- ми производными по координатам и времеви с каждой стороны поверх- ности разрыва. Второй интеграл в правой чести при ограниченных внешних объемных воздействиях С, очевидно, стремится к нулю. Однако, в некоторых неж- ных теоретических вопросах и в приложениях допустимы сосредоточенные воздействия на поверхности разрыва: сосредоточенные поверхностные си- лы, сосредоточенный подвод энерлш.
В этом случае величине 4/г С»= Йж СЫЮ (7,18) остается конечной при л О. В силу произвольности области с" после предельного перехода К О получаем общий вид соотношений между параметрами газа на поверхности рвзрывэ (для векторных уравнений таков соотношение спра- веддиво дпя каждой компоненты уравнения): Здесь знак ~у~7 означает разность значений О> с двух сторон по верхности разрыва. При отсутствии сосредоточенных на поверхности разрыва воздейс> вяй законы сохранения массы> импульса и энергии (без учета тепловых потоков сквозь поверхность Я ) дают (7.20) /Уф ->. Е) ~7ӄ— Ю)+- Р-П~ О . условие, получаемое иэ уравнения моментов количества движения, тождественно удовлетворяется в силу соотношения, следующего из уравнения импульсов.
Равенства (7.20) указывают на два возможныхтипа поверхностей разрыва. Ппя поверхностей первого типа (7.21 ) т.е, нормапьные составляющие скорости газа с обеих сторон поверхности разрыва одинаковы и равны ее скорости (предполагется, что ~0 Ф Ф О). Частицы среды не пересекают разрыв или - иначе - разрыв не распространяется по среде. Такие поверхности разрыва называются контактными. Плотность с обеих сторон контактного разрыва может быть произвольной; однако, согласно второму уравнению (7.20), давпение с обеих его сторон должно быть одинаковым. При этом уравне~ ние энерп>и (третье уравнение (7.20)) тождественно удовлетворяется . Обозначим через $~ составляюшую вектора скорости 1 в плос» кости, касательной к поверхности разрыва.
Из уравнения импупьсов и уравнения сохранения массы тогда следует (7.22) Таким образом> на разрыве рассматриваемого типа составпяюшая скорости в касательной к разрыву плоскости может меняться скачком: массы газа, находящиеся в контакте и отделенные одна от другой непроницаемой для них поверхностью разрыва, могут с разнымн скоростями с обеих сторон "скользить впопь этой поверхности. В связи с этим контактные поверхности разрыва называются также тангенцнальными (иногда — касательными) разрывами, На них всегда ») Уравнение импульсов допускает наличие нормальной сосредоточенной поверхностной силы фЖ на контактном разрыве (тнпа силы поверхностного натяжения на границе раздела двух сред).
Эта сила будет уравновешиваться соответствующей разностью давлений: ()з >'= у . Уравнение энергии при этом по-прежнему тождественно удовлетворится, так как работа сосредоточенной поверхностной силы ,фЗ равна ~Р~~1=Г~ЗЪ. 104 0 и ~р3 *' О, но, в общем случае, ~у~ Ф О, ~е/ Ф 0 и Я')>> ~ о. 11ля разрывов второго типа Ф Ф О, т.е.
гж> течет сквозь разрыв, или - иначе - разрыв распространяется по газу. Согласно (7,22) на таких разрывах Г Разрывы второго типа называются ударными волнами (ранее> в 6 4 и палее, говорилось об этих разрывах как скачках уплотнения). На ударных волнах ~ф7 О, но, в общем случае, 1' 1Р, 1' Ф О, ~у~ Ф О, ~р.7 ~ О, ~еУ т' О. 1)ля ударных волн индексом 1 будем обозначать параметры газа, по которому распространяется волна.
Установленные соотношения на разрывах должны выполняться в каж дой точке разрыва и справедливы в любой инерциальной или неннерциальной системе координат (в неинерциальной системе координат в интегральных законах сохранения появятся распределенные по объему конечные массовые силы - силы инерции> которые, как было показано,не виня ют на вид получаемых из этих законов соотношений на разрыве), Предельный переход в уравнении для изменения энтропии требует некоторых пояснений. Уравнение (7.18) для этого случая (вновь без учета тепловых потоков сквозь поверхность Я ) имеет вид '. ,~ рб (в~ — Ю) Ыб' =- — ~рак .~.
Я (у+у~ с~г. "' ~Г Даже при отсутствии сосредоточенного теплоподвода на ударной волне (т.е. при ограниченной величине ~ ) нельзя полагать> что второй интеграл в правой части при 4 0 стремится к нулю. Ранее, в 6 8, было установлено, что переход газа через скачок (ударную волну) представляет собой существенно необратимый процесс, в котором при адиабатическом течении энтропия возрастает.
Таким обрезом > (728) где согласно (7*19) ф Д + Дму. / Я- ф~ +с~ ) сИъ ° г Система (7,20) в случае ударных волн содержит пять скалярных связей между одиннадцатью величинами: пятью параметрами газа (три составляющих скорости и две термодинамические величины) с каждой Зз сторон волны и скоростью З.
Поэтому, если задакь состояние газа с одной стороны волны и ее скорость Ю то соотношения (7.20) опреде лят состояние газа с другой стороны. В частности, при этом определится и величина, стоящая слева в выражении (7.28), т.е. поверхностная плотность притока энтропии из-за необратимости процесса перехода газа через разрыв (и сосредоточенного внешнего теплоподвода> если он ие равен нулю). Подчеркнем, как следствие этого, что хотя прирост энтропии цри адиабатическом переходе газа через разрыв обусловлен необратимыми диссипативными процессами, сопровождаюшими этот переход, величина прироста энтропии не зависит от конкретного вида диссипативных процессов. 108 Выпишем условия на разрыве (7.20) в системе координат, в которой скорость распрошранения поверхности разрыва О в данной точке равна нулю: Рс ~~' ~ =Я г~ я (7.24 ) Рг ВиК Рсй Р г~,Х Рап (7.26) О~ $УЫ (~ .В~у~)О~~ЪжГ =,Я юг~ ю "Га) ~уОя Йг .
(728) ГЖ' ~~М г ~Ь Оп4 ~ОУ .РЯ ~~У 7Ъ х (7.28) В уравнении энергии (7.26) разделим все слагаемые на ~О И, Ф Ф Р. Так как согласно (7.28) ~~э~ = Ъ~~~ то в результате получим: Р я Яи Ос 8Уээ — +е " — ° Г ° Я ~ ~Ж Я ~ Яг ' (7.29) Система соотношений (7.24), (7.27) и (7.29) имеет точно тот же вид, что и полученная в э 4 система условий на скачках, нормальных направлению потока, есля в последней величину скорости Ъ' заменить ее составляющей; нормальной к скачку. В общем случае к этой системе добавляется условие (7.28) сохранения касательной составляющей скорости газа при переходе через ударную волну. Подчеркнем, однако, что выражения в левой и правой частях соотношения (7.29) не равны в общем случае полному теплосодержанию газа до разрыва нэ после него, так как они не содержат слагаемых .ф и ф, соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
