Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть I. Основные понятия газовой динамики и элементы прикладной газовой динамики (1163257), страница 19
Текст из файла (страница 19)
6.7 Рис. 6.8 На рис.6.8 представлены графики .р в функции от В для некоторых Л,~ (или ~У~ ), Значения '~ на этих графиках ниже приведенных на рис. 8.8 при техже коэффициентах нагрузки, Кроме того, в случае модели несущего диска существуют предельные значения коэффициента нагрузки, зависящие от скорости набегающего потока. Модель несущего диска в приведенной простой форме пригодна лишь при дозвуковой скорости набегающего потока и должна быть изменена при сверхзвуковых скоростях. $7.
Дифференциальные уравнения и соотношения на сильных разрывах для идеального газа форме ,— ', )'Аы Ям.в)м -/'с,ь., чг 8 1/ (7.1 ) где А и С - соответствующие скаляры, а  — вектор (векторные уравнения (2.9), (2.10) представляются при этом в проекциях на оси кооржнат), Вывод дифференциального уравнения, эквивалентного интегрельному соотношению (7.1) ° основан на преобразовании в этом соотношении интеграла по поверхности Я в интеграл по объему К по формуле Остроградского-Гаусса: ДР'п)с~Б ЯР.се~~п,ас)+-у~мй~Рщ)+у~им~п д)~с~б= -Уь.~ -ХЯФ-У'-ФУ~~ -Уа р~.
Здесь аз, Я~, (~к — компоненты вектора у»функции, непрерывные вместе со своими производными в объеме Ъ . Используя приведенную формулу и то, что объем Ъ неподвижен, так с' что производную лр в соотношении (7.1) можно внести под знак интеграла, преобразуем это соотношение к виду Соотношения между параметрами газа для конечных объемов, попученные в й 2 из законов сохранения массы, импульса и энергии, справедливы для произвольного объема, занятого гезом, и допускают существование разрывов в распределениях параметров газа, В области движения, где параметры газа непрерывны вместе со своимн производными по координатам и по времени, из интегральных законов сохранения можно получить эквивалентные им дифференциальные уравнения для нахождения зависимости искомых параметров газа Р, 7с и )О от координат и от времени.
Из этих же интегральных законов сохранения следуют и соотношения, которым должны удовлетворять параметры газа с двух сторон поверхностей разрыва, если они присутствуют в потоке. Интегральные соотношения (2.8)-(2.12) между параметрами газа в неподвижном объеме Ъ" можно записать в следующей обшей скалярной Яру- ~-сто-(АУ -В)-С~Йч =О. ч В скпу произвольности объема ~ подынтеградьное выражение в соотношении (7.2) должно равняться нулю, т.е.
(7Л) При сделанных предпопоженкях о непрерывности течения газа это дифференциальное уравнение эквивалентно интегральному соотношению (7.1) . Преобразуем уравнение (7.3) к несколько иной форме. 11ля этого воспользуемся тождественным преобразованием — ~ се~А К= — +Асй~Р дА . — а(А ЗМ ЫИ (7.4) где дифференциапьный оператор у,уг +м,у — Р~ — "иУ~~ рЕ~"~Р1) есть оператор дифференцирования по времени вдоль траектории частицы. Примененный к какой-либо величине,он дает полную илн индивидуальную производную этой величины, т.е. скорость ее изменения в движущейся частице газа.
С использованием пресбрезования (7.4) уравнение (7.3) можно запксать в виде (7Л) Применим теперь это уравнение к конкретным законам сохранения, сопоставляя общий вид интегрального соотношения (7.1) с выражениями (2.8)-(2.12). В законе сохранения массы (2.8) А р, З = О, С " О, так что ' из (7Л) сдедует (7.6) Это уравнение сохранения массы в дифференциальной форме называется уравнением неразрывности. Векторное уравнение импульсов (2.8) рассмотрим в проекциях на оси координат. Обозначим через м,Ф,иУ компоненты вектора Р вдоль осей ж, у, М .
Йля проект на ось ю будет А -~оы, В-р8, С=Р~ ~ где у — проекпия на ось .х внешней массовой силы, действующей на среду. Таким образом, проекция на ось ю интегрального соотношения импульсов (2.8) эквивалентна дифференциальному уравнению ~уЬ~с сИ~й/ -+ сИля~р~) -у~ -О. После преобразования с учетом уже полученного уравнения (7.6), най- дем )0 — -~-)0('Г (У)-и "~Ф= О~ Преобразуя аналогичным образом проекции соотношения (2.8) на оси ~ и Я и объединив затем три скалярных уравнения в одно векторное, получим (7.7) — ~'( ~~ р)~1 ~- — у~~с~р=~. ~Р (7.8) дифференциальное уравнение (7.7) или (7.8) называется уравнением импульсов или уравнением количества движения. Можно проверить, что получаемое иэ интегрального соотношения момента количества движения (2.10) векторное дифференпиадьное уравнение удовлетворяется тождественно в силу уравнения импульсов, т,е.
закон сохранения момента копичества движения для конечного объема, в общем случае независимый от интегрального закона сохранения количества движения, не дает в рассматриваемом спучае идеальной среды покального соотношения между параметрами, отличающегося от уравнения импупьсов.
11ля закона сохранения энергии (2.11), при отсутствиии притока тепла сквозь поверхность Ю, но с учетом тепловыделения )у в единице массы газа, следует положить А =~ОЯ~"- И), В >оК С )О(~В /Оу, так что согласно (7Л) получаем уравнение — о ( — + Е~ -~р ( — + ЕУс~иМ' а(иУ;-о1 '= и~ (а / ( г / — (7.8) =яТ~) м- С использованием уравнений неразрывности н импульсов это уравнение можно привести к виду (7.10) уравнение (7.8) есть уравнение энергии в дифференциальной форме,' уравнение (7.10), являющееся его следствием, называется уравнением притока тепла. ПользУЯсь теРмод инамнческим соотношением 7Ы5 сЫ" )ОЫ~~ / х справедпивым ддя движущейся частицы, иэ (7.10) получаем (7.11) В интеграпьном выражении (2.12) для скорости роста энтропии А )Зй, С ~~~1 (при отсутствии нескомпенсированного тепдоподвода ) так что с учетом уравнения неразрывности уравнение (2.12) приво/ дит к тому же дифференциальному выражению (7.11), что и закон сохранения энергии (2.11).
Итак, для непрерывных движений получаем следуюшую систему дифференциальных уравнений газовой динамики: (7.12) Для замыкания этой системы необходимо привлечь термодинамические уравнения состояния, выражающие ~О, ~0, д и 7 через какие-либо две термодинамические величины, и задать внешнюю массовую силу ф и приток тепла ц. В дальнейшем будут в основном рассматриваться адиабатические движения ( у О) без учета внешних массовых сил ( ~г О), В этоМ случае для замыкания системы (7.12) достаточно одного уравнения состояния ~-й" ) (7,13) Система уравнений газовой динамики (7.12) в некоторых случаях упрощается путем замены последнего уравнения в этой системе конечным соотношением, связывающим „с и )О.
В таких случаях из дифференциальных уравнений находится лишь скорость 1/ и одна из двух других искомых величин — )З или О, вторая же определяется конечной связью (7.14) 11вижения с заданной связью (7.14) называются баротропными. Так, в случае адиабатических движений ( и О), последнее уравнение системы (7.12) показывает, что при непрерывных движениях энтропия каждой частицы сохраняется во времени. Отсюда следует> что если в некоторый момент времени энтропия всех частиц в каком-ли бо объеме газа одинакова, то она останется одинаковой и при дальнейшем движении этого объема (при условии сохранения непрерывности движения), В таких случаях в уравнении состояния (7.13) в союФ; движения с 5=слтьЬ~ называются изэнтропическими и представля ют собой частный пример баротропных движений, Баротропными являются и изотермические движения, в которых тем.- пература всех частиц газа в рассматриваемой области одинакова и не изменяется во времени.
При задании определенной связи (7.14) между давлением и плотностью баротпропное движение в общем случае не будет адиабатическим (исключение составляют нзэнтропические движения)~ для обеспечения наложенной связи между у и ~о должен происходить подвод или отвод тепла к частицам, который может быть найден из уравнения притоха тепла (7,10) или (7.11) после определения движения газа, Система дифференциальных уравнений (7.12) может быть преобразована к различным эквивалентным формам, В честности, при изучении некоторых общих свойств системы (7.12) удобно использовать в качестве основных термодинамическнх переменных )с и б и преобразовать эту систему к виду 101 д1 ~ .Р— уи~сС вЂ” +2Ых~д — уии~р= ~ (7.10) Учитывея, что Тус и~б у ~а ~6 — — уВа,а~р этому уравнению можно придеть вид — +~(ш1хР~=7~;~а,~б — ~ас~Яч у )~ ~, часто употребляемый при изучении установившихся движений (подробнее об этом сказано в ч.
Ш. Перейдем теперь к устеновлению соотношений не поверхностях сильного разрыве. Выделим на поверхности разрыва некоторую гпадкую часть 6' с гладкой греницей (рис.7.1) Проведем иэ всех точек области 6' в обе стороны от поверхности отрезки нормалей достаточно малой длины у . Эти отрезки заполняют Т х объем У, поверхность 8 которого 4 8 состоит из эквидистентных поверхности рэзрыва участков Г и 8~ и "боковой" поверхности 8, образован(-; ной отрезками нормалей длиной 4 в точкех грвницы области б'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
