Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть I. Основные понятия газовой динамики и элементы прикладной газовой динамики (1163257), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Изотермические течения В некоторых случаях течений газа (например, при движении газа с высокой теплопроводностью в длинных трубопроводах, имеющих хороший тепловой контакт с окружающей средой) температуру всех его частиц мож ио считать одинаковой и неизменной во времени. Такие движения с Tзс~жй~ называются изотермическими. При установившихся изотермнческих движениях газа в трубах справедливо равенство (3.11) Лвижэния с Т-жив' не могут в общем случае быть адиЮатическими; для поддержания постоянной температуры частиц к ним должен осуществляться подвод или отвод тепла, определяемый уравнением еперь~и. дифференциальные соотношения Обозначим через я: расстояние вдоль средней линии трубки, отсчитывая его, например, от начального сечения Я~ в сторону течения газа, Предположим, что условия о равномерном распределении параметров газа в сечении Я и о возможности пренебрегать в этом сечении продольным тепловым потоком и вязкими напряжениями выполнены при всех значениях ж ~ при которых рассматривается движение.
Если при этом распределения параметров газа по длине трубки являются непрерывно днф~еренцируемыми функпиями от ж (для этого площадь сечения труб ки Б~ж) и внешние воздействия,Ж.'~а~, 'Ж'~а~ и т.д. тоже должнм обладать этим свойством), то соотношения (3.1), (3.3) и (3.7) можно дифференцировать по ю . Ограничимся слччаем, кеглера стенки трубки непроницаемы для газа, так что Ф = Ж'э1= Ф ~= О. Будем считать, что газ либо идеален, либо, если он вязкий, то стенки трубки неподвижны, так что второе слагаемое в выражении для ЪК равно нулю. дифференцируя вдоль зс соотношение (3.1), получим (3.12) или (3.13 ) Из уравнения импульсов (З.З) найдем (3 16) Уравнения (3.13), (3.16) и (3.17) представляют собой математическую модель установившихся непрерывных адиабатических (при ~,г О) и неадиабатических (при ~,,-:Ф О) движений идеального (при ~ = О) и вязкого (при ь ~ О) газа в слабо искривленных трубках с плавно менявшейся формой и плошадью поперечного сечения.
Напомним, что, согласно изложенному ранее (й 2) ° под величиной можно понимать не только подвод тепла извне, но и тепловыделеиие внутри газа, обусловленное превращением в тепловую энергию других видов внутренней энергии газа, Получим еще уравнение для изменения энтропии. Заменив в уравнении (3.17) сь~4 по формуле и пользуясь уравнением импульсов (3.14), получим Угу =У,.с~х "У~' б~;к', (З.19) 4 Таким образом величина — ~К в уравнении (3.13) есть нескомпенси Р рованное тепло, выделяющееся на единице длины трубки в единице массы протекающего газа вследствие необратимого характера движения газа в трубке с трением. Из трех уравнений (3.16), (3.17), (3.19) лишь два независимы; поэтому вместе с соотношением (3.13), следующим из закона сохранения массы, можно пользоваться любыми двумя из них.
Отметим, что уравнение импульсов и уравнение энергии приводят кодному и тому же соотношению — ~ ~- ЪЫУ=~„"'сарж, (3.20) если движение не сопровождается необратимыми процессамн, т.е. если ~„кЬ=К~й- и 4' = 0. Если внешняя сила имеет потенциал 0 то соотношение (3.20) можно проинтегрировать, получив в результате интеграл Бернулли (3.21) При движениях идеального газа в трубке тюка дифференциальные соотношения (3.12) и (3.20), полученные из законов сохранения массы и импульса, являются точными при любых энергетических процессах, сопровождающих движение. Параметры торможения, максимальная скорость Назовем термодинамическое состояние покоящейся частицы газа состоянием торможения.
Для движущейся частицы состояние торможения определим как такое, которое достигается в частице при ее действительном или мысленном замедлении до нулевой скорости. Очевидно, что это состояние зависит от процесса, сопровождающего замедление частицы> и для того, чтобы сделать его определенным, нужно этот процесс конкретизировать.
27 Примем, что замедление частицы до нулевой скорости происходит в соответствии с закономерностями установившегося адиабатического те- чения идеального газа (без подвода внешней работы). При этом условии согласно соотношению (3.18) теплосодержание частицы в состоянии тор- можения равно ее полному теплосодержанию, так что эти два определенйя эквивалентны. Лополнительно к адиабатичности предположим обратимость процесса замедления, тогда состояние торможения определится полностью, так как из сделанных предположений следует сохранение энтропии при замедлении частицы. По известным теплосодержанию и энтропии в состоя- нии торможения найдем остальные термодинамические величины в этом состоянии: давление, плотность, температуру и др.
(давление торможения принято называть также полным давпевием). Таким образом, параметры торможения - это значения термодинами- ческих величин, которые имела бы частица после адиабатического обра- тимого замедления ее при установившемся течении до нулевой скорости, Пользуясь обратимостью предполагаемого процесса, можно определить параметры торможения по-иному - как значения термодинамическях ве- личин в резервуаре с покоящимся газом, при установившемся адиаба- тическом обратимом истечении, из которого частица может иметь дан- ные значения скорости и термодинамических параметров.
Параметры торможения будем снабжать индексом 0 внизу, например, р„- давление торможения; энтропию торможения будем называть прос- то энтропией вследствие их совпадения. Покажемь что полное давление всегда больше действительного давле- ния, и что в случае нормального газа то же справедливо дпя температу- ры и плотности. 11ействвтельно, из определения полного теплосодержания как суммы 4+~ и определения параметров торможения следует 4„4~~ +)> > 4()о,+) . Так как Ь =Р > О, то всегда ~э,~уз .
Отсюда и из того, что У-Ь, (р,Ф), Р-Ау(р ф и 7;-4г,(р.,я),Ч.-Д (р ц~,полу- чаем, что при М ~э ) О, ~, < О (два аз условий, прийимаемых для нормального газа) всегда Т~ >У О - — > 17-— э ~а Из определения параметров торможенди следует, что при установив- шемся адиабатическом обратимом движении эти параметры в частицах газа сохраняются неизменными несмотря на изменение скорости и тер- модинамнческого состояния частиц, При нарушении предположений об адиабатичности и обратимости про- цесса при установившемся течении газа параметры торможения изменя- ются.
Полное теплосодержание (оно же - теплосодержание торможения) из- меняется согласно уравнению (3.17). Энтропия меняется согпасно соотно~иению (3.10). Эти соотношения связывают параметры состояния в действительном движении. Наряду с ними рассмотрим связь между параметрами тормо- жения Т ~й=Ы4 — -4' . о ~ р Отсюда при адиЖатических движениях ф=-т.«+, т.е. полное давление газа в течениях с необратимыми процессами уменьшается: происходят, как говорят, потери полного давления или просто "потери". 28 Происхождение зтсао термина можно уяснить из следующего. Рассмотрим (рнс.3.2) установившееся адиабатнческое перетекание газа через трубку из одного большого резервуара (пусть это будет левый резервуар) в другой.
Вдали от соединяющей резервуары трубки гаэ в них можно считать покоящимся. Согнасно предыдущему, есни состояние текущего газа изменяется обратимо, два термодинамических параметра газа - теплосодержание и энтропия - будут в правом резервуаре теми же, что и в левом. Таким образом, термодннамическое состояние газа в обоих резервуарах одно и то же и, в частности, температура н давление в них одинаковы. Если процесс течения необратим и энтропия газа при течении возрастает, то павление в правом сосуде будет ниже давления в левом сосуде, Рис. 3.2 Таким образом, после необратимого перетекания газа из левого сосуда в правый произошла с технической точки зрения потеря ценности запасенного газа - давление в нем упало.
Рассмотренный пример показывает также, что в согласии с нашим интуитивным представлением, газ не может стационарным образом перетекать из резервуара с меньшим давлснием в резервуар с большим давлением. Отметим, однако, что зто интуитивное представление несправедливо в общем случае неадиабатического течения: при наличии теплообмена с внешней средой газ может течь в резервуар с более высоким давлением, для неадиабатическнх течений — ~ =(У- — )сну — — Ыу'. т. т. р.
т т Т Величина т — — всегда отрицательна т,к, согласно доказанному т ранее температура торможения выше действительной температуры газа. Поэтому подвод твида к газу в установившемся течении всегда связан с падением полного давпения, отводом же тепла можно полное давление увеличить. ~Ж я Формула Ю + 72 показывает, что если вместо величины 4 ~/Я ввести равную ей величину ч, то К» можно трактовать как наибольшее значение скорости, которое можно получить, если газ с данным состоянием ускорять в трубке при установившемся адиабатнческом течении в ней. При этом теплосодержание обращается в нуль; вместе с иим обращается в нуль давление.
Скорость Ъ~ =~И~, называется максимальной скоростью установившегося адиабатического течения га.- за или скоростью установившегося расширения газа в вакуум, Для совершенного газа теплосодержание есть функция только температуры, поэтому максимальная скорость есть в этом случае функция только температуры торможения, Если теплоемкости совершенного газа постоянны, то Ъ' ='Йс~7; В общем случае нормального газа максимальная скорость зависит не только от тэмпературы торможения, но и от давления газа в этом состоянии. Скорость звука, число Маха) критические параметры 1 Как говорилось в конце Р 1, в газовой динамике важную роль играет термодннамичаский параметр ~.,который определяется формулой а- уЯ и называется скоростью звука, Если скорость частицы газа Ъ~ мэньшэ скорости звука а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
