Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть I. Основные понятия газовой динамики и элементы прикладной газовой динамики (1163257), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Пример использования законов сохранения при установившемся течении: вертолет в режиме "висения" Пусть вертолет с распопоженным горизонтельно несущим винтом непфдвижен относитепьно удаленного от него воздухе. Представим схематически вертолет (рис.2.4) в виде диска в плоскости вращения винта и подвешенного к нему груза с общим весом Я, От винта вниз отходит струя воздуха> в результате чего на винте возникает нвпревденная вверх подъемник сила Р, уравновешиваюшея силу веса ьх . Окружим вертолет замкнутой контрольной поверхностью 8 удепенной от него настолько, чтобы, пренебрегая весомостью воздуха, давление всю ду на поверхности можно было считать постоянным и равным давлению в бесконечности, и применим к гезу внутри поверхности 8 зеконы со хранения в интегральной форме. Отходящую от винта вниз струю будем считать цилиндрической. Пусть Я = Уз+Во, где зс - часть поверхности 8 пересекаемая струей; примем, что участок 8 горизонтален и скорОсть газа на нем распредепена равномерно и направпена вниз.
Из уравнения баланса массы (2,8) получим 18 УР1)в~б ~Рс с~с (217) ~а Уравнение баданов импульсов (2.9) в проекпии на идущее вниз направление дает рту ыбЫ+~о,У~Я аа — Р— )р мг. ~ а, х) ~а . Ю (2.18) Так как в точках поверхности 5, при ее удалении от вертолета скорость яС может быть сделана сколь угодно малой, а давление уп стремится к постоянной величине уО это с учетом (2.17) оба интеграла в равенстве (2.18) стремятся к нулю при удалении Я в бесконечность, так что Л )Ос ~с ~с (2.19) Рис. 2.4 ~~" ~ .у Ж ")-р' аа Так как при удалении контрольной поверхности в бесконечность величина Яа под знаком ннтеграпа стремится к постоянной Я ,то учитывая (2.17), получим и -р,гу,(д, .к.-к ) .
(2,20) Отличие от нуля разности 4 — 4 4~~ й )-Я~~ й )связано с ростом энтропии при необратимом процессе подвода механической энергии к воздуху в винте. Эта разность положительна при аА у, так как — у у ~й и, следовательно, при постоянном давлении теней/р' лосодержание есть монотонно возрастающая функция энтропии. Как следует из выражения (2.19), дпя создания тяги винта испоиьзуется лишь та часть мощности Ь1, подводимой к газу, которая превращается в его кинетическую энергию, Мощность Ю согласно формуле (2.20) минимальна при б = э и равна ' онж~ ~1ид )0с с с д Отношение мощности Ь/„у идеального винта к ее действительной величине есть коэффипиент полезного действия винта д ( ~ С 1): )0с ~~ ~с д (2.21) 20 т.е, подьемная сила винта равна по величине импульсу отбрасываемого винтом в единицу времени геза в струе. Обозначив через И1 мощность, сообщаемую винтом воздуху, из уравнения бапанса энергии (2.13) находим Исдользуя выражения (2.19) и (2.21), находим Отсюда следует, что при данной мощности двигателя, вращающего винт, целесообразно лопасти винта иметь по возможности длинными для того, чтобы площадь сечения отбрасываемой винтом струи бьша наибольшей и, соответственно, скорость воздуха в струе- наименьшей.
На практике значения ~ ограничиваются прочностью винта и его весом. Отметим, что и в других случаях, когда требуется получить болыпой поток импульса при заданной величине потока энергии (если эта энергия в значительной мере является кинетической энергией) выгодно иметь малую скорость и, соответственно, большой массовый расход газа, а не наоборот. 6 3. Установившиеся движении газа в трубке Рассмотрим установившееся движение газа в объеме внутри контрольной поверхности, имеющей внд трубки (рис.3.1), замкнутой с концов плоскими поперечными сечениями 5'у и 5' (этими же буквами будем обозначать и площадь соответствующих сечений).
Боковая поверхность трубки с' может быть поверхностью тока, мысленно выделенной внутри потока газа, но может частично или целиком совпадать с ограничивающими газ твердыми поверхностями, Внутри трубки могут находиться обтекаемые газом тела; в этом случае их поверхность принимается за часть поверхности Я„. ((опустим, что в плоских сечениях 5у и,5' параметры газа распределены равномерно, а скорость направлена нормально поверхности сечений; скорость в сечении Я у будем считать направленной внутрь объема. Йопустим также, что вязкими нормальными напряжениями и тепловыми потоками в сечениях 5,~ и Я можно пренебречь. Применим при сделанных допущениях к газу внутри контрольной поверхности законы сохранения (2.8)-(2.11). Рис.
3.1 21 Уравнение сохранения массы Уравнение (2.8) дает следующее соотношение уФ Я у~В~8~ —,),.ое„Ы6'. (3.1) Ю~ Произведения )Э~)~~ Юу иф/8 называются массовым расходом (или просто расходом) газа в соответствующих сечениях трубки. Величина .Ю = —,~р о„сЫ (е) Г есть суммарная масса газа, втекающего за единицу времени в трубку между сечениями 5, и 3 через поверхность Ю~.
Сотношение (3.1) определяет .~А~ по известным значениям расхода газа в сечениях ~~ Ж) и о. ~еЭ Если величина Ж задана заранее или известным образом зависит только от значений параметров газа в сечениях Я~ и,5', то уравнение (3.1) связывает параметры газа в сечениях,~~ и ~5' соот ношением, не зависящим от распредедения параметров в объеме трубки между этими сечениями. В частности, при .гУ = О это соотношение имеет вид (3.2) и выражает равенство значений расхода газа в сечениях 8у и Уравнения сохранения количества движения (импульса) и момента количества движения (момента импульса) Из уравнения,(2.9) получаем ~ ~~)г —,'=~;,; у)г,В-Х гкь У~1Ъ-,,х,.
ю Ге) Я~ Здесь ф- - внешняя сила, действующая на единицу массы газа внутри трубки, а ---,Ь ' 8а (3.4 ) есть главный вектор сип, действующих на поверхность Я, со стороны протекающего в трубке газа. Если поверхность Яа твердая (рассматривается участок трубы и скрепленные с трубой тела внутри нее; последних может не быть), то Я есть действующая на 8 сила реакции протекающего сквозь трубу газа. 17 Величина ()О'~~О~~8р называется полным импульсом газа в сечении трубки. Величина Л' 1у~Ж~а~6' есть суммарный импульс газа, втекаю- Ф щего за единицу времени в трубку межцу сечениями Я, и 8 через поверхность 5 При отсутствии массовых сип формула (3.3) связывает силу Я со значениями полного импульсе газа в сечениях Бу и 8 н импуль- В этом выражении И Я' МГ+~ Ри" сааб представляет собой работу, совершаемую в ецийилу времени йац газом в контрольном объеме внешними массовыми силамн и силами на поверхности Б~, а Й есть приток сквозь эту поверхность тепла и других немеханических видов энергии.
Произведение 0 ГЯМ„называется потоком полного теплосодержания в сечении трубки. Величина «Р~ =-.>.Ртужм а~б'есть суммарное полное теплосодер- ~'е) /' Ф жанне газа, втекаюшего за единицу времени в трубку через Поверхность 8 / Соотношение (3.7) определяет величину И~=1чу» Й через значения потока полного теплосодержания газа в сечениях 8~ и 8 и приток полного теплосодержания с втекаюшим сквозь поверхность Я газом.
В общем случае Ъ1 зависит от распределения параметров в объеме трубки межцу сечениями Я~ и Я . Однако, во многих важных случаях величина Ъ~ может быть указана заранее и, в частности, она может равнять/ ся нулю. При отсутствии внешних массовых сил ЪК есть работа одних только поверхностных сил иа Я„. Если 5'„непроницаема для газа и ест. т1 ли газ идеален, то И' равняется нулю нз-за того, что поверхностные напряжения нормальны к направлению скорости газа и потому не произ- вопят работы над газом; если газ вязкий, но Я„неподвижна, то, вследствие прилипания вязкого газа к поверхности, скорость его равна на ней нулю и, следовательно, касательные составляющие напряжения тоже не производят работы.
Приток тепла и других немеханических видов энергии Й может отсутствовать или быть заранее заданным. Во всех случаях, когда три последних слагаемых в правой части соотношения (3.7) известны или зависят только от значений параметров газа в сечениях Я~ и 5 э это соотношение устанавливает связь между параметрами газа в этих сечениях, не зависящую от распределения параметров в объеме трубки между сечениями. В частности, если приток / массы сквозь поверхность Я„отсутствует и работа Ъ~Т внешних сил равна нулю, то из выражения (3.7) получим .Р" ~~.
уХ~~уъО~ ~Й откуда, учитывая (3,2), находим (3.8) где ~ — приток тепла, отнесенный к единице массы протекающего газа, йля ациабатических течений ~ =. 0 и Я.= й„, (3,9) т.е. значения полного теплосодержания газа в сечениях 8 и Яу одинаковы. Соотношения (3.1), (3.3), (3.6), (3.7) применимы как для непрерыв ных движений, так и для случая, когда внутри рассматриваемого объема могут быть поверхности разрыва параметров газа; они являются точными при принятых предположениях о поведении газа в сечениях Дуи 5. Адиабатические обратимые течения Если течение газа между выбранными сечениями трубки происходит адиабатнчески и обратимо, то энтропия газа в обоих сечениях трубки одинакова, т.е. (3.10) Это равенство и соотношения (3.2) н (3.9), следующие из законов сохранения массы и энергии, образуют систему уравнений для определения параметров газа в выходном сечении трубки по их значениям во входном сечении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
