Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть I. Основные понятия газовой динамики и элементы прикладной газовой динамики (1163257), страница 3
Текст из файла (страница 3)
а ч. б ° >ъ ( ~ж - составляющая вектора ~~ по внешней нормали к поверхности 6' ). Поэтому можно написать Дую- — /'фут --Да ~х.~,(у~ гтрк. у~ >> ф~>> у>> --~ — ',ц~ ~г)а -~ф-ы;, ~У" >к я> ( 8 — поверхность объема с~ )> так что .) т у'Ыт — (> ('у у»»>'Т)>~г —.( у~ »>в'. Если гепловые потей обусловлены теплопровсдностью среды, то для вектора теплового потока справедлива формула (закон Фурье) ~ — Жфж4М 7 ( эб > О - коэффициент теплопроводности). Из найденного выражения для скорости изменения энтропии, полу- чаем, в частности, что при отсутствии диссипативных механизмов, приводящих к выделению нескомпенсированного тепла, т.е.
при уа =О, / н при теплоизолированной границе материального объема, т.е. йри О, я) Вектор у определяет направление передачи тепла, а величина его равна количеству тепла, протекающему в единицу времени через перпендикулярную этому направлению единичную площадку, ~д 1= це~умЫТ~) Таким образом энтройяя теплоизолированного объема теплопроводной среды не сохраняется неизменной, а возрастает, если при движении в объеме возникает неоднородность температуры. Этот вывод дает пример продесса, необратимого в целом (для конечного объема среды), при котором изменение состояния каждой частицы можно считать равновесным, Законы сохранения для газа в контрольном объеме Используя сформулированные законы сохранения основных физико- механических характеристик материального объема, можно получить выражения для изменения этих величин в произвольном контрольном объе- ме.
Эти выражения в ряде случаев более удобны . для приложений, Выведем предварительно формулу дифференцирования по времени функ- ции, заданной в виде интеграла по подвижному объему. Пусть функция А (скаляр, вектор) зависит от координат щ и времени Й гтак что интеграл )А ~х, Мйг уР по подвижному объему И' есть некоторая функция ь . По определению /А~»х,Е»Е)х» -,/А~а,д)й. ~ ~АЯД4 ххй Р'"' МЯ А$ ь ,) ~АЩ» ~3-А ~яхг 6)»~г+,/А ~, ~»х ~)х»г =©ув- "® йв~йедй)-Фф) Аач д Отсюда ,)~ ~А(хЯАг - )~~Ыг" /Айюйг. гХ у~л Поясним более подробно, как получен второй интеграл в правой части этого выражения.
На рис.2,2 изображена поверхность Я объема Р' в моменты времени х. и цгдь, На площадке ЖФ' поверхности Я® взята внешняя к объему~)л~Д) нормаль К . Пусть длина отрезка этой нормали между поверхностями З~~~ и Я~ф~-д6~ равнадг „ АА Величина с»' гк»гъ — называется скоростью перемещения в пространАбгд Д стае поверхности Я в рассматриваемой точке. Беря в интеграле УА~зс,Е+дЕ)пй при дЕ -' О в качестве эле6УФ$~~-8Ф мента интегрирования пС~ = сь б.дух найдем 4» а»у.)А ЙЕ»Охи -Д»х» г )АЯ~~~»6»А а~г- )АЙА)ФАх А8ч.О Рй А~~-~РФ) А~ .0 8 Если Р'~8) есть индивидуальный объем Р ~83 то для него величина й равна нормальной к Я составляющей скорости $Р' частиц газа, составляющих поверхность Я так что — (А/~.ОЫ-'1 АЦйа-~-/А и„Ы.
7У ю ~.« (2.7) Комбинируя выражения (2.6) и (2.7) можно получить формулу ЯАЪ,бич-ЦА(-.йаЬс~ /А(оЖ>Ю. которая связывает производную интеграла от функции А по индивидуальному объему Р «и производную интеграла от той же функции по подвижному объему 0~Д), совпадающему в момент времени с индивидуальными объемом ряЯ вЂ” -ургия„'сй"- д; ЬУ вЂ” ГР и„ГЫ'Е = У = — ~Р 77,Ыа + У '; — -ь IР7У„~)~хР),рй - Й --,~Рйхп)3х+%,( 8 8 (2.10) — + ~,О7У„~~ + Е)дЛ=У+а--$~~~У~ Ъ~+а; ф-~рч ьа -~~'(~~,)ы. Здесь в правых частях уравнений (2.9) (2.!1) вьщелены в явной форме слагаемые, связанные с действием на среду в объеме ъг сил давления на поверхности Эти уравнения часто называются уравнениями в балансовой форме или просто уравнениями баланса массы, импульса и т.а.
Отметим важную для дальнейшего форму записи уравнения баланса энергии (2.11). Перенеся слагаемое и работе внешних сил, соответст- 16 йля стационарных движений, когда — = О, формула (2.7) сА 0~ принимает вид Рис. 2.2 — '~ )АЙ.- )Аи„сЫ. ф» и выражает скорость изменения суммарного значения величины Я индивидуального объема через поток этой величины сквозь поверхность объема.
Для неподвижного объема И законы сохранения массы, количества движения, момента количества движении, энергии и выражение пля скорости изменения энтропии имеют вид вующее работе снл давпения на поверхность Л, из правой части уравнения в левую, прндадим уравнению баланса энергии в объеме бЬ следующую форму: — ~ /~рр„ф е у- )ыг -ьг'ж ш — + эО Я сй' "И~'""Я. а~ .~У (2.13 ) 8 Введенная здесь величина Я опредепяемая формулой Р Я = — "е~- — = — "ю э Д Я Д (2,14) и равная сумме кинетической энергии и теплосодержания единицы массы газа, называется полным теплосодержаниэм. Таким образом, (ионная) энергия с объема $~ изменяется вследствие потока полного теп'- досодержания газа сквозь границу объема, обмена теплом с внешней средой и вспедствие работы внешних сил за вычетом работы сип давления на поверхности Ю.
В частности, если Ю О и $$~ О, то поп / ная энергия объема У меняется лишь благодаря приток~~~ в объем пол ного теппосодержания; дпя установившихся движений — О и, следовательно, суммарный поток полного теппосодержания сквозь поверхность Я равен нулю. Полученные выше уравнения в интегральной форме служат не только основой дпя вывода дифференциапьных уравнений движения газа и для получения соотношоний между параметрами газа на поверхностях разрыва газодинамических величин (это будет сделано ниже - в Ф 7) ° но используются непосредственно при решении многих задач.
Пример использования законов сохранения при нестационарном течении: запопнение вакуумированного сосуда газом до ~ = ~, получим о л, -л, =)Др,ь~ы~-о 0 17 Эамкнутый сосуд объемом У окружен газом (рнс.2Л) и откачан, так что давление газа внутри сосуда пренебрежимо мало по сравнению с давлением ~о газа в окружающем пространстве. Прн открывании крана,соединяющего внутренность сосуда с окружающей средой ~ газ извне втекает внутрь сосуда. Кран держат открытым дишь небольшое время ~ достаточное для заполнения сосуда газом и выравнивания давления в нем с внешним давпением, но недостаточное дпя того, чтобы успел произойти заметный теппосбмен на границе У и между гав зом и стенками трубы, После этого кран закрывают. Требуется определить массу газа в сосуде, его температуру Т непосредственно после закрытия крана, а также давление )Оа в сосуде после того> как температура газа в нем выравняется с температурой внешней среды Уме ° Окружим мысленно сосуд неподвижной замкнутой поверхностью Г~ достаточно удаленной от него, и применим к газу в контрольном объеме внутри поверхности 8 уравнении баланса массы и энергии, Интегрируя уравнение баланса массы (2.8) по времени от 8 О сосуд, т.е.
М+ (ри сй' сй д. 0 э" (2.15 ) ~ -э ~- ~(~ряб. ~6)й-д (2.1 8) Рнс. 2Л Вновь из того, что состояния газа вне сосуда прн ье = О н 8„совпадают, заключаем (счнтая газ в сосуде прн ~ ~' однородным н неподвижным н пренебрегая теплоабменом газа со стенками сосуда), что разяость <~~ — Ю равна 4~В ~ гце Е - внутренняя энергия единицы массы газа в сосуде прн 6 ь .
Так как грани- а' ца Ю взята далеко от сосуда, где скорость движения газа сколь угодно мала, то величину Я на границе Я моуз считать совпадаюшей с ее значением в покояшемоя газе Я Ю ч.)~ з4 т.е. одинаковой во Ф о~ у всех точках границы Я в течение всего времени от О до ь . Поэтому, с учетом выражения (2.18), последнее слагаемое в уравнении энергии (2.16) равно -.Ф4, . Таким образом получаем равенство е(~р.,73 А ~р,т ) из которого и определяется температура 7. Из уравнения состояния У связывающего плотность с давлением и температурой,найдем плотность )Р газа в сосуде и массу газа Ф )ОР. Если газ совершенный н имеет постоянные теплоемкостн С~ и С)о ~ то О С 7 6 СаТ так что с т-с,. т нлн ? с,.
м .ю-- р~ ~ и т.е. температура газа в сосуде после закрытия крана превышает температуру окружаюшего газа в у раз. Плотность )О выразится формулой )з ( —,а масса.Ж газа в сосуде формулой У И 3' .Ф =— У 18 Г ! р,Т ~ ! 1 ! ! ! ! ! Так как вне сосуда состояния газа в момент ь О н ь 6 со~- впадают, то разность .Фй Ж раве е на мессе Ж газа, заполнявшего Если в уравнении баланса энергии (2.13) пренебречь в течение времени от М = О до Е- 8о притоком тепла к газу сквозь поверхность У и учитывать лишь работу сил давления на этой поверхности, то после его интегрирования по времени, по- луннм При поспедуюшем выравнивании температуры газа 7 в сосуде и температуры окружающей среды Т плотность газа в сосуде у остается неизменной (сосуд замкнут), давление же в нем изменяется от значения )О )О при 1 ~„до величины уЗ которая определятся .из уравнения состояния.
Лля совершенного газа получаем T~е Уе уС(.ъ где 7Е - температура газа в сосуде после ее вырзвнивения с температурой окружающей среды, так что 7е = 7 Ре 7 р т у Эта формула может служить дпя экспериментального определения отношения теплоемкостей у. по измеряемым в опыте давлениям уо и ф~е ° Из уравнения баланса энергии (2.13) путем его интегрирования по времени от Е ь до достаточно больших ~ ( 1 о ) с учетом притока тепла сквозь поверхность д при выравнивании температур Подучим ФФ ~, = е,-.1'Я ~~ -Я . ~о Отсюда переданное сквозь поверхность О наружу тепло, равное — 0 есть -й =.Ф('е — е )=.ФЯ вЂ” е ) = — ~э А8 Это тепло выделяетсн вследствие диссипации механической энергии газа при заполнении им сосуда и оно равно работе сип давления на поверхности,з (объем 3У' протекшего сквозь эту поверхность газа за .Ф время знполнения сосуде равен — а давление на ней сохраняется э равным .р ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
