Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть I. Основные понятия газовой динамики и элементы прикладной газовой динамики (1163257), страница 13
Текст из файла (страница 13)
с 1, то она неизвестна, но известны ~>-)ое и Т=7,», если же Л = 1, то известны * и 7р х а ~о неизвестно). В результате получим уравнение то величина Л~ находится из (5,15), а условие (5.14) служит для определения давления )О в выходном сечении трубы. Фа Значение отношения давлений -г —, прн котором наступает критичес .Р кое истечение, определяется зависимостями С ростом приведенной длины трубы величина Л.~ и вместе с ней ~(Л~) уменьшаются, так что отношение давлений потребное /зэ1 для достижения критического истечения газа, возрастает. При этом расход газа через трубу при наличии трения при данном .0а отношении всегда меньше, чем без учета трения, и тем меньше, Р~~ чем больше приведенная длина трубы.
Лействительно, расход газа через сечение Я можно представить в аиде где йЮ= При течении газа с трением р уменьшается, вместе с ним уменьшается и )Э„р, У~~~ остается неизменной. Таким образом, при заданном ~Р в сечении выхода нз трубы С®) меньше для меньших )о (см. рис.3.6б). Следовательно, при дайном ~с и меньшем )о и расход газа 8 будет меньшим. Пусть теперь сверхзвуковой поток газа, создаваемый, например, в сопле Лаваля, истекает через пилиндрическую трубу в пространство с давлением рд . Как будут меняться режимы течения в трубе в зависимости от длины трубы и от внешнего давления 0 Р В этом случае, в отличие от предыдущего, во входном сечении трубы известны не только знаэения параметров торможения, но и величина Яу .
Если длина трубы меньше нли равна предельной для данного значения Лу,то из уравнения (5,15) определится 4 ~ 1, а из уравнения (5.14) — давление уо газа в выходном сечении трубы. Если при этом давление ~Ои. меньше пли равно ~э илн больше его, но меньше, чем давление за прямым скачком в выходном сечении, то течение в трубе непрерывно и гаэ истекает из трубы со сверхзвуковой скоростью. Если давление ~О,~ выше давления за прямым скачком, расположенным в выходном сечении трубы, то течение в трубе перестанет быть непрерывным, В нем возникнет скачок уплотнения, истечение из трубы станет дозвУковым с давлением ~9 пРи выходе газа, Равным 10а . Из уравнения (5,14), справедливого и при наличии схачка уплотнения, 69 определится Л.
Ддя нахождения положения скачка нужно воспользоваться исходным соотношением (5.11), учитывая, что значения Л. перед скачком ( Я ) и за ним ( Я ~ ) связаны формулой Пранцтпя Л.'>> = 1. Пусть ~с = О - координата начального сечения трубы, А - длина трубы> х~ — координата скачка. Применим соотношение (5.11) к сечению перед скачком, определив константу в правой части из условия при зс О. Это даст — ~ — АЛ = — "- — х — —,-~,д Г 4. У+1 .Р к 2Л~ У'(5.17) Применим далев соотношение (5.11) к сечению за скачком, определив константу из условий в выходном сечении - при ю=Л . При этом заменим Л, по формуле Прандтпя. В результате получим 4' — + ~дД'- — 4~ — Хк- — ~ -Д Я вЂ” — 4- — ~ ~>+У Я 8Я~ ~> ч-У Р ' (5,18) > Соотношения (5.17) и (5.18) определяют хк и ~ по известным Л и Лу и по найденному из уравнения (5.14) значению Л ° Из (5.14) следует, что при росте )О величина Л падает. Вычитая (5.18) из (5.17), получим выражение, из которого нетрудно установить, > что при уменьшении А.
величина Л растет, так что скачок смещается в сторону сопла. При некотором,о скачок достигнет сопла > ( ~'я = О, >>. 4,> ). После этого дальнейшее повышение )о приведет к перестройке течения внутри сопла, которая была уже описана ранее в й 4. ~/ Рассмотрим теперь течения газа в трубе без учета трения и действия массовых сил> но при наличии теплоподвода. Ранее уже говорилось, что в уравнении энергии под теплоподводом можно понимать не только приток тепла извне (например, вследствие теплопередачи через стенки трубы),но и - прн соответствующем опредепении внутренней энергии - тепловыделение внутри газа вследствие превращения некоторых видов внутренней энергии (химической, ядерной) в тепловую.
На практике нагрев воздуха при пвижении его в технических устройствах, которые схематически можно представить в виде труб, часто производится путем предваритепьного образования горючей смеси при добавлении к воздуху раздичных топлив, главным образом, углеводородных (бензин, керосин, природный газ и т.п.) н последующего сгорания этой смеси. При этом к воздушному потоку подводится масса, обладающая некоторым полным теплосодержанием и - в общем случае- импульсом в направпении оси трубы. При необходимости такой подвод массы можно учесть в расчетах течения. Однако> во многих реальных случаях масса топлива, его импупьс и теплосодержание (с учетом только тепловой составляющей внутренней энергии) малы по сравнению с соответствующими величинами дпя воздушного потока (так, в камерах сгорания воздушно-реактивных пвигателей масса топлива обычно не превышает немногих процентов массы протекающего воздуха) и эффехт добавпения массы топлива к потоку сводится лишь к подводу тепла воздуху в результате химических реакций при горении.
Согласно соотношению (5.10) подвод тепла к газу, текущему в трубе, увеличивает скорость газа, еспи она дозвуковая, и уменьшает скорость, если она сверхзвуковая. Таким образом, подвод теппа влияет на тече- — удельный объем), при- нимая во внимание, что при данной плотности О скорость Ъ~ находится из уравнения расхода (5.)й) рУ=р,)~ - ~ - И3. Уравнение импульсов (5.20), преобразованное к виду )О-уОу = = — тая~ О'-Р~ 3, определяет в плоскости Зу; )о прямые, проходяшие через начальную точку Р~ ~ )о~ Я (точка О на рис.5.7) с отрицательным угловым коэффициентом - гп~ .Эти прямые называются прямыми Редея-Михельсона (для краткости мы будем говорить о прямых я.- ск'пью ); состояни Р ям газа в любом сечении трубы при подводе ему тепла должны Рис.
5.7 соответствовать точки одной пря- мой .ги = ск~юИ' независимо от того, подводится ли тепло обратимо нли его подвод сопровождают необратимые процессы. Проведем через точку с7 адиабату Пуассона-линию р =~э( Йд) при 6 6у пожечь. Очевидно,что касательная к этой адиабате в точке О с угловым хоэффициентом яя = Яю м у принадлежит к семейству прямых ~ж-дииу~ при значении тл., определяемом равенством тп,о а~, Я т.е. при схорости У~, равной скорости звука йу. Если в начальном состоянии до подвода газу тепла его скорость дозвуковая, то соотве1 ствуюшая прямая тл.
- сижЫ' наклонена к оси 2у' более попого, чем касательная к адиабате Пуассона в точке О (прямая ОС~ на рисЛ.7). С подводом тепла газу его энтропия начинает расти, так что изображающая состояние газа точка движется по прямой -.в-алто от точки О вправо. При этом плотность и девление газа падают,ско- ° рость же газа Ъ" растет, приближаясь к скорости звука (различие между угловым хоэффициентом прямой лг саиФ6, равным -)о '~ и угловым коэффициентом пересекаемой ею адиабаты Пуассона, равным -4-=-Ода, уменьшается), Если теплоподвод достаточно велик, то энтропия при движении вдоль прямой гж двть4в достигнет максимума - это произойдет в точке касания этой прямой с адиабатой Пуассона (точка С~ на рисЛ.7); скорость газа прп этом станет равной скорости звука, т.е.
гаэ достигнет критического состояния. Так как еше больших значений энтропия на прямой ~п. - с'дтгйь достигнуть не может, то и дальнейший подвод тепла к газу при данном ~п,=р~~~ невозможен - наступает так называемый "тепловой кризис". Если в начальном состоянии скорость газа превосходит звуковую, так что прямая яп. итэт наклонена к оси кг круче касательной к адиабате Пуассона в точке О (прямаи ОС на рисЛ.7), то при подводе тепла, сопровождаемом ростом энтропии, изображающая состояние газа точка движется от точки О по прямой вч-жж й' вверх.
Давление и плотность газа при этом возрастают, а скорость его падает> С) 7, =СР ~",Е +-ЕУ В результате преобразований уравнение для определения Л примет Л Е л.р — Л' л. +~-о. б:~т (5.25) Отсюда находим l у ~ ~ 4 — — (х,-х ) — -;-+ ( . Нижний знак перед радикалом нужно брать при Л.е ( 1, верхний - при ЯЕ ) 1 (т.е.
так,чтобы Л "ЛЕ при ~ =0; при другом выборе знака получим А — прн с) О, что соответствует в силу соотношения Л.е Прандтля (4.16) скачку уплотнения при Л.Е) 1 или скачку разрежения при Яе ( 1). После нахождения Л зависимость плотности от у находится из уравнения (5,19) У Л.Е ЫдЕ Л-Е У~ А Ър А Ср оЕ зависимость температуры от у — из уравнения т тт,7; 7Е 7о ТЕ 7оЕ д' 'Ил' диапазоне — (Ет (У: подвод тепла приводит к охлаждению газа, а ото вод тепла, наоборот, к его нагреванию. Такое поведение температуры, соответствующее отрнпательной теплоемкости газа, связано с тем,что в укаэанном диапазоне дозвуковых значений чисел Маха относительное падение плотности газа происходит при подводе тепла быстрее относительного падения давления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
