В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В этом случае его решение имеет вид волны де Бройляrp(x) = Aexp(ikx) .Общее решение(2.24)для случая ямы можно записать в видесуперпозиции двух волн де Бройляrp(x) = At exp(ikx) + А2 ехр( -ikx),(2.25)Гл.36гдеAtи А22.-Математический аппарат квантовой .механикипостоянные, а волновое числоk=V2тEjn 2 •(2.26)Поскольку потенциальная яма (и гамильтониан Н) симметрична по отношению к инверсии относительно точки х = О, то I'P(x) 12 = I'P( -х) 12 .Поэтому мы имеем две возможности: либо 'Р(х) = 'Р( -х) (волновая=функция - симметричная, At = А2А/2), либоновая функция- антисимметричная, А 1 = -А 2Таким образом, с учетом(2.25),= -'Р( -х) (вол=!f'(X)Bj2i).имеем два типа собственных функ-ций'Р+(х) =Acos(kx),(2.27)'Р-(х) =Bsin(kx).(2.28)Из граничного условия (2.23) для симметричной собственной функции 'Р+(х) следует, что cos(ka/2) = О, откуда kпа/2 = 1Гnj2, гдеn1, 3, 5 ...
- нечетвые целые числа. Таким образом, граничнымусловиям удовлетворяют не все решения (2.27), а только решения'Pn(x) = .fin cos(kпx) с квантованными значениями волнового числа=kп =1rnja,n = 1,3,5 ...(2.29)Аналогично, из (2.23), в случае антисимметричной функции 'Р-(х),следует, что sin(ka/2) =О, откуда kma/2 = 1rт, где т= 1, 2, 3, 4 ...
целые числа. Переобозначим т = n/2, тогда kпа/2 = 1Гnj2, гдеn = 2, 4, 6 ... -четные целые числа, нумерующие антисимметричныесобственные функции'Pn(x) = Bnsin(knx)с разрешенными квантованными значениями волнового числаkп= 1rnj а,= 2, 4, 6 ...n(2.30)Постоянные An и Bn определяются из условия нормировки соответствующих собственных функций:а/2J I'Pn(x)l dx =21.(2.31)-а/2Используя(2.29)и(2.30)в(2.26),ролучаем разрешенные квантованные значения энергии микрочастицЫ2 1Г21i2En=n - -2 •2ma(2.32)Таким образом, спектр энергии 'Частицы, совершающей финитное движение внутри потенциальной ямы, дискретен.2.3.
Движениечастицы в прямоугольной потенциальной яме37Определяя из условия (2.31) константы нормировки An. записываемполные (зависящие от координаты и времени) волновые функции дляп-го разрешенного значения энергииEn{2 cos (n1rx)iEnt)'1/Jn (х, t ) = у-;;;~ ехр( ------,;-- ,n = 1, 3,5 . ..(2.33){2 . (n1rx)( iEnt)у-;;; sш ~ ехр ------,;-- ,n = 2,4,6 ...(2.34)• t. ('f'nх,t) =На рис . 2.2 показаны два нижних значения энергииющие волновые функции <pn(x).Enи соответствуU(x)Ио----.-----------------r-----а/2Рис.2.2.а/2охСимметричная 1,01(х) и антисимметричная 1,0 2 (х) волновые функциинижних энергетических состояний Е1 и Е2 микрочастицы в бесконечно глубокой потенциальной яме (Ио -4- оо)Правая часть формул (2.33) показывает, что собственная функцияоператора энергии <рп(х, t) представляет собой суперпозицию двух собственных функций оператора импульса, соответствующих движениямв противоположных направлениях вдоль оси х .
Поэтому в состояниис определенной энергией En импульс частицы не определен, точнее,определен по величине, но неопределен по направлению.Квадрат модуля волновых функций (2.33) и (2.34)дает плотностьвероятности wn(x) обнаружить частицу в момент времени t в точке х:Wn(x)=1'1/Jn(X, t)l( )WnX=12а2)1('1/Jnx,tвнутри интервала2= - COS2 1rnx-,а2 . 2 1rnx=-Slll - - ,а( -а/2, а/2)аиwn(x)n = 1, 3, 5 ...(2.35)n = 2,4,6 ...(2.36)=О вне его. Из(2.35), (2.36)видно, что плотность вероятности стационарного состояния не зависитот времени .Гл.38На рис.2. Математическийаппарат квантовой мехапикипоказаны зависимости плотности вероятности2.3низших квантовых состояний с квантовыми числамиwn(x) дляи n = 2,сn= 10.
В осnа также для высоковозбужденного квантового состояния=1новном (n = 1) состоянии вероятнее всего обнаружить микрочастицув центре ямы. Это предсказание квантовой механики качественно отличается от предсказания классической теории. Плотность вероятностиобнаружения классической частицы, совершающей движение с постоянным импульсом внутри бесконечно глубокой потенциальной ямы, независит от координаты х: плотность вероятности w(x) - постоянна.С ростом квантового числа n растет число максимумов плотностивероятности, равное n, и максимумы располагаются все ближе другк другу (рис. 2.3). При очень больших n плотность распределенияwn(x) практически равномерна, т.
е . в этом пределе частица ведет себяклассическим образом.Wn(x)/'111111111\,"..\\1\\\\\ 1.01111\\10.5\1\- 0.4\1.5\-0.21\1\о0.2х0.4-0.2о2.3.0.2хбаРис .0.1Нормированная в интервале-1/2 ";;х";; 1/2плотность вероятностиобнаружения микрочастицы wn(x) = 2 cos2 1rny для n = 1 (сплошная кривая)и wn(x) = 2sin2 1ГnX для n = 2 (штриховая) (а) и для n = 10 (6)2.3.2. Прямоугольная яма конечной глубины. Рассмотрим теперь движение частицы в яме конечной глубины Ио (рис. 2.1).
Формально, в данном случаеоднакоф изическиительно,посколькуuанализвдИF = - -8t= оо, как и в случае Иодпоказывает,реальнойсистемечтоэтонетак .=оо,uеистви-приращение потенциальной6-U = Ио < оо происходит на конечном расстоянии 6-х, тодИи,.·F ==-д=- д: < оо . Поэтому проЦедура решения уравнения Шреэнергиидингера (2.22) отличается от процедуры, описанной в п . 2.3.1.<Разобьем ось х на три области: область I (х-а/2), II ( -а/2:::;и III (х;;:,: а/2).
Далее следует использовать уравнение Шредингера (2.22), где вид функции U(x) показан на рис . 2.1 . Для каждойобласти надо найти его решения Ч'I(х), rp 11 (x) и rрш(х), а затем сшитьэти решения на границах х = ±а/2, используя условия непрерывности:::; х:::; а/2)2.3.Движение частицы в прямоугольной потенциальной ямефункций ср(х) и их производныхdcp(x)fdx.39Мы исследуем эту задачукачественно.Внутри ямы, в области Il, где U(x) =О, уравнение Шредингеразадается формулой (2.24). Его решение имеет видВ областиI,гдеU(x)= Ио >Е, решение уравнения (2.22) имеет видАналогично, в областисрш(х)III= Азехр(k1х) +Взехр(-k1х).Имеется шесть неизвестных коэффициентовAiи(2.39)Bi (i = 1, 2, 3).Поскольку решение должно оставаться конечным, мы должны положитьВ1 = Аз = О.
Таким образом, остается четыре неопределенных коэффициента и неизвестная энергия Е-всего пять неопределенных величин. Условия непрерывности функций ср(х) и их производных dcp(x)/dxна д.вух границах х±а/2, при подстановке в них (2.37)-(2.39), даютчетыре уравнения.
Т?ким образом, функция ср(х) находится с точностью до неопределенного коэффициента (амплитуды), причем система=уравнений имеет решения, когда параметр Е принимает определенныедискретные значения. На рис. 2.4 показаны два нижних энергетическихуровня и соответствующие волновые функции.U(x)Ио----.-----------------...----а/2Рис.2.4.оа/2хСхематическое изображение двух волновых функций для низшихэнергетических состояний микрочастицы в потенциальной яме конечной глубины. В соответствии с(2.38),волновая функция возбужденного состояния'Ф2(х), приникает дальше в классически недоступную область, чем волноваяфуНКЦИЯ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ 1/JI ( Х)40Гл.2.Математический аппарат квантовой .механикиРассмотрим более подробно основное состояние с энергией Е1.Внутри ямы( -а/2 :::;;х:::;;а/2) волновая функция ведет себя, анало-гично случаю бесконечно глубокой ямы: rрп(х)rvcos [(2mEI/n 2 ) 112x],а вне ямы в области положительных х (х ~ а/2) волновая фrнкцияэкспоненциально затухает: rрш(х) ехр [-J2m(Uo- E1)/n2 х .Анаrvлогично она затухает и в области х :::;; -а/2 .Область, в которой полная энергия меньше потенциальной энергии, Е <И(х), называется классически недоступной областью.
Этонеравенство не выполняется в классической физике, где полная энергияЕ= К+ И(х) > И(х), поскольку кинетическая энергия К >0. Классически недоступными на рис. 2.4 являются области х :::;; -а/2 и х ~ а/2.Поскольку экспоненциально затухающая волновая функция отлична отнуля за пределами ямы, то квантовая микрочастица может проникатьв классически недоступную область .2.3.3.Туннелированне через барьер. Ток вероятности.Способность квантового объекта проникать в классически недоступнуюобласть об~славливает эффект проникновения (туннелирования) микрочастицы через потенциальный барьер (рис.
2.5).И(х)Ио1II-а/2Рис.2.5.оIIIхТуннелированне микрочастицы через прямоугольный потенциальный- высота барьера, Е - полная энергия частицы. Классическаябарьер, Иочастица с энергией Е< Ионе может проникнуть через такой барьер и отражается назадНа рис. 2.5 схематически изображенЬ поведение волновых функций :осциллирующее в областях х :::;; -а/2 и х ~ а/2 и экспоненциальнозатухающее в классически недоступной области -а/2 :::;; х :::;; а/2. Вероятность прохождения микрочастицы через барьер задается выражением(2.40)2.3.Движение частицы в прямоугольной потенциальной ямегде <рп(х)-волновая функция в областиII(рис .412.5).Физический смысл коэффициента прохождения через потенциальный барьер Т становится ясным, если ввести понятие плотности потокавероятности. Рассмотрим микрочастицу с массой т, летящую свободновдоль оси х.
Нестационарное уравнение Шредингера имеет видih дф = - .!!:':_ !:_'Ф.дt(2.15):(2.41)2mдх 2Умножаем обе части уравнения (2.41) слева на 'lj;*, а уравнение, комплексно сопряженное уравнению (2.41), умножаем справа на 'lj;. Затемвычтем второе уравнение из преобразованного уравнения (2.41). В результате получаем уравнение для плотности вероятности 'Ф*'Ф в видеih дф* ф = - .!!:':_дt2m('Ф* !:_'Ф- (!:_'Ф*) 'Ф)дх2дх2Оно преобразуется к виду(2.42)где введена плотность потока вероятности вдоль оси х :. = !.!!:._Jx2mУравнениености(2.43)уравнение непрерывности для плотности вероят(2.42) -'lj;*'lj; .(дф*·'·- ·'·* .!!.._.,,)дх 'V'V дх 'V •Оно выражает закон сохранения вероятности: вероятностьобнаружения микрочастицы в точке х в физически бесконечно маломобъемеdxне создается и не уничтожается, а изменяется во времени засчет разности приходящего и уходящего из данного локального объемапотоков вероятности.Для микрочастицы с волновой функцией 'lj;(x, t) = Аехр [i (kx- wt)](свободное движение в положительном направлении оси х) для плот-ности потока вероятности имеем из (2.43): jx = 1ik 'Ф*'Ф = v'lj;*'lj;, гдеv-скорость микрочастицы .тПусть к барьеру, показанному на рис .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
